矩阵求导法则

1、矩阵求导法则乘积的导数d(f*g)/dx=(df*/dx)g+(dg/dx)f'理阵.向量求导法财(Dhlil对"求号役yr=l/i是总雄行血f是元彰则曳二但1Ar<m源刊向，I曼元量*四争=宓,dx.加.是用,相唱阵.1是兀豪dx(4)元素对行向求与，设y¥元素，父=|x(“元索时丽T岁求身早；,泡？向、d6r期*小，L、设二回尸是其维方向象x=是p填列向重.则生.空二两'-dx义.»(S)为同而向重来导声,设尸/1.，是E填列向篁.xr=(X1xj是q携行向U则（0）丽拓向量求导设yr=LximJ是n维行向勖xr=x,x/是q维行向矍,则

2、dyr=凶dxT为（10）列向量对列向篁求导是m维列向量，x=是p维列向量，则把dx<u）螭mifS）里求导>11%设丫=：:是tnn矩阵，xr=J,xf）是q维行向量，则yw.设y=1是mx力矩阵,、=：是p维列向量,则设yrs/i%是月雄行回X=是pxg走阵则i%(U)川句重*找我求身=，、/是pxg电箝则鱼11纣.这法则，有,根据(12)矩阵对列向量求导巩2。)巩己)dy2y0O-d2AdXdXdX2x2y19(x2)d(2xy)dx2x2y1dXdXdX02x0UKVy,根据”5)矩阵对矩阵求导法则，有WZdadbdedadbchdududxdxdxdbdedadbdeA3

3、Vdv力力dadbdecbdbde冰dzdzdzddde有dddedudududxdxdxddde孑ddde次加dv力ddde更de更.而dwdwdz击也.Y=A*X>DY/DX=A'Y=X*A->DY/DX=AY=A*X*B一DY/DX=A*B'Y=A'*X'*BDY/DX=B*A'于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：1 .矩年Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意MXN矩阵求导后变成NXM了Y=y(ij)J>dY/dx=dy(ji)/dx2 .标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对NX1

4、向量求导后还是NX1向量y=f(xl,x21,xii)>dy/dX=(Dy/Dxl,Dy/Dx2,.,Dy/Dxn)13 .行向量Y'对列向量X求导：注意1XV向量对NX1向量求导后是NXM矩阵.将Y的每一列对X求偏导，格各列构成一个矩阵。重要结论：(IX'/dX=1d(AX)7dX=A'4 .列向量丫对行向量X'求导：转化为行向置Y'对列向量X的导数，然后转置e注意MX1向量对1XN向量求导结果为MXN矩阵.dY/dX'=(dY'/dX)'5 .向量枳对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。dOJV')/d

5、X=(dU/dX)V'+U(dV'/dX)d(U'V)/dX=(dU'/dX)V+(dWdX)ir重要结论：d(X'A)/dX=(dX*/(1X)A+(dA/dX)X'=IA+0Xf=Ad(AX)/dX'=(d(X'A')/dX)'=(A)=Ad(X'AX)/dX=(dX*/dX)AX+(d(AX)*/dX)X=AX+A'X6 .矩阵Y对列向量X求导：将丫对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。注意该向量的每一个元素都是一个矩阵.7 .矩阵积对列向量求导法则：d(uV)/dX=(du/dX)V+u(

6、dV/dX)d(lV)/dX=(dU/dX)V+U(dV/dX)重要结论：d(X'A)/dX=(dX'/(IX)A+X*(dA/dX)=IA+X*0=A8 .标量y对矩阵X的导数：类似标量y对列向量X的导数，把y对每个X的元素求偏导，不用转置。dy/dX=Dy/Dx(ij)重要结论：y=U'XV=ZZu(i)x(ij)v(j)于是dy/dX=u(i)v(j)=UV*y=U'X*XU则dy/dX=2XUU'y=(XU-V)f(XU-V)则dy/dX=d(U*X*XU-2V'XU+V'V)/dX=2XLU-2VU'<0=2(XU-V)U19 .矩阵丫对矩阵X的导数：将丫的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。10 .乘枳的导数d(f*g