用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法

1、1的等差数列，bn=2nan=n一an2n例2、数列%n）中，若ai=2,anan1=13an2A.1916B.158C.53D.4用构造法求数列的通项公式重庆市蒙江县东溪中学任德辉求数列的通项公式是近几年高考重点考察的内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。

2、下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。一、用构造法求数列的通项公式依照构造目标数列的不同可以分为构造等差数列、构造等比数列和构造其他数列。1.构造等差数列1、（2009湖北）已知数列an的前n项和Sn=an（1）n,+2（n为正整数），令2bn=2nan,求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式。解:Sn了+2,'&1+22anHt=an+(1)n等式两边都乘以2n得2n+为书2nan=1,2即bn由bn=1,.数列bn是以1为首项公差为解:an1-an13an113anan1an1an1又一二a111、，.3是首项为1公差3的等差数列。26n-5色：

3、211,八cc56n-5二一(n1)3=3n=,.anan22222二a4=所以选A64-5192.构造等比数列例3、（2010上海）已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n5an85,”N+。证明:an-1是等比数列并求an的通项公式证明：当n=1时，&=&=15优85,4=14,a-1=15当n22时，Sn工=n15an85,anSnSn,=15an+5an6an=5an,+1,an1=0二1)6,5一an1时首项为-15,公比为一的等比数歹U。65、nan-1=-15.()65、n.an=-15.(-)+163、构造其他数列1n_1、_a例4、（2009全国）在数列an中

4、，a1Mlanud+an+上1.设bn=an，求数列n2nbn的通项公式。并求出an解：由已知得t1=a1二1,旦）二包,工，即bn.1bn=nn1n22，1，.-.b2-bi=八,b3-b22122，bn-bn12n1八1以上各式相加可得bn-bl=1-FT，即bn=2-nJ22小结：本题构造了一个数列0,虽然不是等差、等比数列但可以用累加法并用等比数列求和公式求出通项公式。本题还可以用参数法进一步构造另一个等差或等比数列：由1bn噂=bn得2n用bn书=2.2nbn+2,令c=2bn得cn*=2cn+2再用后面例5的2解法求得cn,进而求得bn和a二、构造法求数列通项公式的解题方法由题目给

5、出目标数列与否这个标准来判断，用构造法求数列的通项公式的方法可以分为以下几类：1、如果数列明确要证明一个与原数列有关的新数列是等差或等比数列，此时可以用拼凑法来求解。例5、设数列Q的前项和为&,若2an-2n=Sn成立，求证：6-n2n是等比数列。（2）求这个数列的通项公式证明：（1）当n=1,2al2=6=a11al=2又2%-2n=&n1二2an由一2=Sn书一2an1-2an-2nhan1-an1=2an2nan1-（n1）2n=2an2n-（n1）2n=2（%-n2n）又4-*二1二%n-n'2n'）为首项为1,公比为2的等比数列，2n1n-4n-12,

6、an=（n1）2小结：本题在求出an书=2an+2n后的构造过程非常巧妙，在明确题目要证明的数列是等比数列的前提下，结合等比数列的概念，我们只需证明这个数列的后项与前项的比值为常数就可，所以我们只需在an+=2an+2n的左边拼凑出数列N-n2n口）的第n+1项，在右边顺势就可以得出第n项。此法我们不妨就叫做拼凑法2、数列没明确给出要构造的目标数列，此时满足一定条件的数列可以考虑用参数法来求解(I)递推公式为2中=Pan+q型(其中p,q均为常数，(pq(p_1)#0)的数列一般可以构造出一个等比数列，解题思路为：设小平=P(an-t),由对应项系数相等求出参数t的值，再利用换元法转化为等比数

7、列求解。例6、已知数列Q中，a1=1,an书=2an+3,求an.解：:an1=2an3，,设an4t=2(ant)即an书=2anT=t=-3.即ani3=2(an3),令bn=an+3,则bi=ai+3=4，且皿=a3=2.bnan3+n是以bl=4为首项，2为公比的等比数列，贝Ubn=4M2n-=2n*,所以an=2n+-3.例7、数列§n中，a1=2,an+=2an,求an13an的2an113an311斛：.an1,=13anan12an22an11113二令十九二一(一十九)，则_一=一,，九=-3am2an221an111-3（2an一153），又一3二一a12151二

8、-3是首项为-一公比为一的等比数列©nJ221-3-an51nl一22an51n4=3（一）22an3-；(2严小结:若递推公式为an+=f(an)且f(an)为一次分式，此时的解决办法为先两边取倒数，分离常数后直接构成等差数列(例题省略)(或用参数法构造出倒数加常数成等比数列)，(n)递推公式为*=P%*q型(其中p,q均为常数，(Pq(P-1)9-1)*0)。n(或an4=panrq型，其中P,q,r均为常数)的解题思路为：两边除以qn化为bn噂=pbn+q型。或直接用参数法(p¥q)设an由+kqn41=p(an+kqn)再求解例8、已知数列Q中，a1=5,an+=1

9、an+(1)n*,求an。632解：(法一：转化为an4=pan+q型)在an4=1an+(1)n*两边乘以2n卡得：32on12/on2.ani=(2.an)132 2n令bn=2n.an,则bn+=bn+1,应用例5解法求得：。=3-2()3 3所以an小=3(；)n-2(；)n223(法二：用参数法)设an由+k(-)n+=同+k(-)n,整理得an由=-an-(-)n+232332k=1。k731111C21.an书3()n=an-3()n,即数列an3()n为以为首项，公比为的等2322332比数列，an-3(1)n=2(1尸即an=3(1)n-2(1)n233232此外还有型如an+=pan+rn+s,为由=%+pn+qn+r,%七=p4+q%的递推公式等，均可采用参数法解决，在此就不一一赘述。从以上几个例题可以看出，构造法求数列的通项公式最关键的就是如何对条件给出的递推公式进行正确的处理。总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方