数值分析课后习题与解答

1、课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为8,求f(x)=lnx的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有施uh网g0右rwi附)一“M5I、r%、升L<1.已知x*的相对发差3满足1dl,而f(冷ln及式怪可切”lYi.K,故1IT-r*I叱皿q山片H久Inx+)=13Ll12 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指由它们有几位有效数字，并给由其误差限与相对误差限。z；=1.1021px；=0,031x=560.40解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得戈；有5位有效数字，其误差限"中用、时

2、，相对误差限哥国)1有2位有效数子，5，2-5，6号有5位有效数字，'嘘23 .下列公式如何才比较准确？(1)（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。(1)=g.N+AwtanN|f2,x+Jr=-_,vxvr1r4.近似数x*=0.0310,是下位有数数字。5.计算了=（疙T）'取利用：0+2后式计算误差最小。1（3-272）四个选项：I",99-70立第二、三章插值与函数逼近习题二、三1 .给定产=E的数值表0.40.50.60.7Lnx-0.916291-0.633147-0.510826-0.355675用线性插值与二次插值计算ln

3、0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值In0.54«-0.693147+-0510826+0693H70.6-0,5(0.54-0.5)=-0620219误差限内I4妁。双-。6）|,=lnx,f3=此二黑£鹿丁"彳为芯工，故（xlx4xO.O4xO06=0.0048二次插值时，用0.5,0.6,0.7三点，作二次Newton插值In0.54/-0.620219+/0.5,0.6,0,7(0.54-0.3(0.54-0.0=-0

4、,620219+(740850)x03x(-0.06)=-0,616839岛(初，百时工"-05)5-06)("00/"W峪二髅骁o.=16式KI，故性式利E!x16x0.04x006x016工00010242 .在-4<x<4上给由/"X的等距节点函数表，若用二次插值法求产的近似值，要使误差不超过10”,函数表的步长h应取多少？解：用误差估计式（5.8）,=二炉筌内/（力一P式切工学£4鲁画出|0-看4）（工-西）（工-%）1令-1一，.''）1、jE舞出"5-一1）（"玉）0-七+1）|二孑F

5、*<10一'因3,若依=幼+/+311,求吐，,2和平。3？解：由均差与导数关系一：；/(x)=#M+3x+lJ=71，%)=0于是/22»s27=-x7!=l,/2°T22e=04 .若/付二/“=（工-%）5-占）5-xj*=02互异，求，丽为,，,的值，这里p<n+1.解：/=4+G）ja）=o（i=o,i-，M,由均差对称性/，和，工"?一八r一,1口一明!区；可知当P3有力.，米=0而当P=n+1时P<nI'=n+1/两，小,J=工/（为”%.式/）=，=1，两，于是得5 .求证;S心广瓯-甑解：解：只要按差分定义直接展

6、开得乞尺刀=£如妫)*J-0=%-为*+%y+/+%_%)="一酰6,已知/=由裂的函数表00.200.300.5000.201340.304520.52110求由三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表Xif(X;)一阶均差nra差三阶均差000.200.201341.00670.300.304521.03180.083676500.521121408300.170670.17400由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0

7、.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得|&(023)上孙时，阳。23血23)由于.：L11-(0,23)|工0.033133x0.23x0.03x0.07x0.27三432xlO-67.给定f(x)=cosx的函数表00.10.20.30.40.50.151.000000.995000.9810070.555340.921060.877580.82534用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表f(«i)4W)A7i(v7)L00000

8、-0.005000,99500-0.014930.000130.98007-0.009300.00002-0.024730.00025-0.000020.95534-0.009550.00010-0.034230.00035-0.00001区92106-0.009200.00009-0,04348000044-0.00879-CLO52240.S5234.rcos0,048,=0.048=0U=i=0.48m/口计算h，用n=4得Newton前插公式N式礴历)=1M£+竽&一1)十字山1)«-2)+学-1)«-2)。一3)了一000993/00001300

9、0012“I=1.00000+048-0.00500-0.52：152-2.52x-1I21624)误差估计由公式(5.17)得R4(0.048)|等依-1)0-2)("3)(1-4)忙4L5845xlO-7茸中区=向0国=0.565计算cos0.566时用Newton后插公式(5.18)',cos0.566M(麻+成)=/+7/?+1)+呼"E+1)(2+2)+等t(£+1)(£+2)(1+3)=032534-0.34x00522440.66x<-0,00876.<000044+1.66x2I6+2.66x0.00009?241=0

10、.34405误差估计由公式(5.19)得|&(0一566)归争(£+1)Q+2)(/十3)(/+4)|酎<1,7064x10-7这里仍为0.5658.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足吸KELUpl卜"=1解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造舄使它满足%(0)=0,外=加=1,显然必=”(2-%再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求生A=,于是.U)=?2-z+hx-l)2=l?(x-3)3449.令外=击,加心°鸟称为第二类Chebyshev多项式，试求外的表达式，并证明显)是-1,1多项

11、式序列。上带权"(X)=仄？的正交解：因；.一:1'/1.sin（?+l）arccosx气二-r+i（）=7吊+1J1/令范=cossin（界+1）6fin（阳+1）田己Q,mn予蹬二照10.用最小二乘法求一个形如尸=。十方/的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.苑1925313844*19.032.34973.357.8解：本题给由拟合曲线尸即%（工）=1,例（乃二储，故法方程系数4CWq，仰）-£%（Xj）=52"0（如Q=2#=5327.辆.的）=工向=7277699（Wy）=工月=2714,（研M=二中”=3693215法方程为L+5327

12、3=27L45327<2+727769泌=3693215解得,11最小二乘拟合曲线为均方程为怵二网一（伽力-双外出二0.0150321怫=5122611.填空题(1)满足条件P(gW)=P'Q)飙2K的插值多项式P(x)=().(2)欧)=2婷+5,则f1,2,3,4=(),f1,2,3,4,51=().(3)设取17,1,234)为互异节点，k的为对应的四次插值基函44数，则占=(),%=().(4)设血)是区间0,1上权函数为p(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中例=1,则口畋打=()，牝=()答：P5)=(工土+1)(彳一1心(1)2二.：二3二：,、二铭(0)

13、=。*端+2k*)=/+2(3)o,r063(4)XH510第4章数值积分与数值微分习题41,分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分段说3解本题只要根据复合梯形公式(6.11）及复合Simpson公式(6.13)直接计算即可。对7sx石取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式(6.11)求生4=0/114024,按式(6.13)求得取=0.1115724,工rr八1二=O11157173积分'2 .用Simpson公式求积分卜会,并估计误差解：直接用Simpson公式(6.7)得j(l+柒3+书一】)=0,63233由(6.8)式估计误差，因%)二尸/气)”故

14、I均=<<3.5x10180163 .确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(,)L一，(3)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突生求积公式的参数。(1)令/=代入公式两端并使其相等，得A+B+C=厂1Bxy+l,=|&?+C=-3fef+c=l_1121解此方程组得Xi=2=6'B=rC=6,于是有fy(x)+I/(i)03/64j2,1415再令f=/,得U寸+?=24故求积公式具有3次代数精确度。(2)令了=,代入公式两端使其相等,得41+4+4二电q(-h)+工1力=0t_j4_j+月=04i(My+4层

15、=|(2加3月t+A=今R4加史4二3也4=-三瓦和=一解由得£工明二|枇-打尸+国=o而对了二一不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。(3)令力-=Lm彳弋入公式精确成立,得A+B=2h<-hA+Bn1=0十诙；=|必解得勺寸尾/餐:得求积公式tja）dN4L/T）+3八点）对:故求积公式具有2次代数精确度。4 .计算积分”=?知|#，若用复合Simpson公式要使误差不J_乂15门结1超过5,问区间电矿要分为多少等分？若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间电学应分为多少等分？解：由Simpson公式余项及/二他妈/"=知父得R.s|m备分图同严|%。,4M2即

16、小之665*之5吗取n=6,即区间乡分为12等分可使误差不Ixio-J超过对梯形公式同样广（小1,由余项公式得衣"）|磊（白工父1。%.122用2>1（£）3x0s<646x104即02乂10T辑之2542取n=255才更使复合梯形公式误差不超过25 .用Romberg求积算法求积分赤卜力，取到K=3,结果如下表所示。7?就00.63994010.6452350.63233320.635410O.63213E0.63212230.6329430.6321210,6321200.632120解：本题只要对积分工"心使用Romberg算法(6.20),计算

17、于是积分关miM,积分准确值为0.7132726 .用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.1解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。工由于区间为。，所以先做变换)于是1«10.555556x(1774597+(1-0774597).lum)+O.8S88S9?0j=07182528Gauss-Chebyshev求积公式计算积分Gauss-Chebyshev求积公式计算本题精确值.二.；7 .用三点I=_2dx解：本题直接用于是.1诉,因n=2,即为三点公式，于是-一即【：-1-+l+-r=2.630411故Lr4v1+4.8 .试确定常数A,B,C,及a,使求积公式

18、fJ石阳Af-a）+劭十寸有尽可能高的代数精确度，并指由所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式？解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令六幻二1，冗/一对公式精确成立,得到A+B+C=dx=4（1）-aAaC=fxdx=。/月+/C=，=?（3）1月+/C=0（4）a由（2）（4）得A=C,这两个方程不独立。故可令入）二小，得a2A+a*C=f4dx=空口5（5）由（3）（5）解得口9,代入（1）得廿9则有求积公式fJ石吟旧+/+,周令"x）二/公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的第五章

19、解线性方程组的直接法习题五1,用Gauss消去法求解下列方程组.fl-za+X,=95*63111n+=8+啊+2-8解本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可O45=-1541315的=-154x153=-17769叼=-60（-4弓的）=476.92十斤/=%9Y”-22708故2,用列主元消去法求解方程组系数矩阵A的行列式detA的值2xx-3为+3餐-15卜18/+3巧+3%=-15r+叼+恐=6并求生18-1-153151731718-155,31不-133行与2行交换1171873-1531了5-18消元37676-1171822-1531T65

20、解：先选列主元,2行与1行交换得回代得解三3rx22,Xj-1行列式得722detA=-18-'=-66673,用Doohttle分解法求解,解：由矩阵乘法得A=LU=14325160-36161451315再由卬5求得1y=(9T-154)丁由胡二沙解得x=(-227.03,47692-177.69/4,下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解，分解式是否唯一？-122446251561546解：A中5二。，台匕目匕”=22+直嚣=%=0m以=42+。+。，相互矛盾，故A不能分解,但皿Axo,若a中1行与2行交换，则可分解为LU对B,显然色=4=0,但它仍可分解为11100-1

21、00匕-2分解不唯及为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯c=5,用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中-12-1000-12-1000-12-1000-1210000解：用解对三角方程组的追赶法公式3.1.2)和(3.1.3)计算得12343=-£用=一与，&=_牙氏=一耳11111r52111ryk2,314J5)'7丁丁5'7似6.用平方根法解方程组解：用力=£8分解直接算得164845-48-422-4310412233由Ui及严兀ny求得126）二工二（-沁产7,设北巴证明心|44店NL解:卜£二嘘卜；|媪+君十十W即IMI吐斗L,

22、另一方面=/十考+十官工也,普忖卜川川:故I-I:''1I-_060.58 .设A卜】0川计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数解：11-rro.37033rArA=,4蚪0丁月）=0.685340.33034加八故MJ、砒痢二0防859 .设阅为Rx上任一种范数，是非奇异的，定义4IH,证明证明：根据矩阵算子定义和乩定义，得令尸二尹，因P非奇异，故x与y为一对一，于是I即=凿力丁=|向尸|11&1110 .求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计词.*240-2-17952解：记240-3191-179240_则从二台的解五二93,J19.5/340图1J,即（

23、工+即（二十团一_o-。5=-0.50_而（H+M）a+笨）=右的解0+番）=（8冉,即做240-319gLm故IkL=司矶"建二240319499179240口兀二,一七ML二626一2IK=05JLIK=056012由（3.12）的误差估计得阿L<12741kL<510表明估计也二4略大,是符合实际的。11 .是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：题目中（1）若A对称正定，XER二则闻上二（山仃严是肥上的一种向量范数（）（2）定义ML广翳同是一种范数矩阵（）X21/2定义凤产%他）是一种范数矩阵（）（4）只要抽工工。，

24、则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（）（5）只要四月=0，则总可用列主元消去法求得方程组火I的解（）（6）若A对称正定，则A可分解为E,其中L为对角元素为正的下三角阵（）(7)对任何Aeb都有MIL之IKhMil()(8)若A为正交矩阵，则e加(4)?=1()答案：(1)(+)(2)(-)(3)(+)(4)(-)(5)(+)(6)(+)(7)(-)(8)(+)第六章解线性方程组的迭代法习题六1,证明对于任意的矩阵A,序列A""加，收敛于零矩阵解：由于Mk阂而之,网*=。1m1氐_n故、2.方程组(5/+2x2+Zj=-12-工+4心+2弓=202

25、ij-3芍+10x3=3(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2)写由用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以了=(0,0,0厂计算到I产".”'IL<1L为止521_A=142解：因为L-310.具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛2 2)J法得迭代公式是铲】#12十2染十球，）制则二（20+承-2球）"犯二5（324切+3球）/=。取工二©0工迭代到18次有工叫（39999962999974199999）了卜一工网L工04145冢1。3GS迭代法计算公式为09156x10"*83 .设方程组的遇1+%勺=4（&

26、n,小嚣H0）t2】为一琪正叼%证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散解：Jacobi迭代为染二工血-的血7）alX挈电-叼曷）a21其迭代矩阵一如，谱半径为川的迭代法为.工1侬1013超)，心其对二一。-07?)叮算其迭代矩阵Q_aQG二的1。一外一，03L町"，其谱半径为由于十b)=M5,故Jacobi迭代法与时收敛或同时发目攵。4,下列两个方程组Ax=b,若分别用是否收敛？-12-2A-111221«解：Jacobi法的迭代矩阵是步川,而Gauss-Seide|口】巴Gauss-Seidel法同J法及GS法求解，一。：B=D4(

27、£+27)=-10一2:即det/-为二元=0,日>-21|22-21,detf/l/-3)=121=020122X攵Q=0,J法收敛、GS法的迭代矩阵为-100-1'o-22-0-22G=3-£)"?/=11000102-3221000002A2-2det(AZ-G)=0Z-23=2)3=0,=0,=2=2002-2故：-：A二5.设j'iob0解此方程组的GS法不收敛。a010ba二，detA+0,用",b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件解J法迭代矩阵为o-巴10-10100，5bTo,det(-UQ二三一&

28、lt;110a10bio故J法收敛的充要条件是"缸。I入I100'二。GS法迭代矩阵为10b000100a5a0-b01iob-!ooab5001ioa500-b0ab100由Q（;a10证也100a2b5003处Too2）=0精确解要求当卜yw时迭代终止，并b109ab/L1501I.110。（1得GS法收敛得充要条件是幽,行6,用SOR方法解方程组（分别取3=1.03,3=1,3=1.1）对每一个3值确定迭代次数解：用SO昉法解此方程组的迭代公式为乂皿）=（1_的职）+£（；1+/），x严二（1旬婢）+£（4+X产"+才）铲=a-套）+巴（3

29、+d叫k=olu4取网=（0,0,0），当.103时，迭代5次达到要求#5>=（0.5000043,10000002-04999995）7若取m=1，迭代6次得*=（0.5000035,0.9999989-0.5000003）r7.对上题求由SORS代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度,若要使“"产那么J法GS法和SO砒各需迭代多少次解：J法的迭代矩阵为,det(2/-B)=3不：,故；点，因A为对称正定三对角阵,最优松弛因子22田内-/=1.03371+-b?鹏J法收敛速度R(B)=-In。骐)=ln£=L03972由于户故R(0,)=-

30、Inp(GJ=3,4001若要求叫叫邛叫产廿于是迭代次数-Ins>15,425R(B)-R一二七匚上:场二14s5寸对于J法尺103972，取K=15对于GS法：1542537.42R62.07944，取K=8史w一-I"石454对于SO砒W1)3.4001"，取K=58,填空题10'司要使，才三。应满足().12已知方程组0,321g则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度R(B)=()._p-11(3)设方程组Ax=b，其中"I11同其j法的迭代矩阵是().GS法的迭代矩阵是().卜+町=4(4)用GS法解方程组12町+向-

31、3；其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足().-1-叶卜平(5)给定方程组卜LJa为实数.当a满足。，且0va2时SORS代法收敛.答:(1)k】(2)J法是收敛的，R凶223)0J0-E=2'G=2,t,.-0,t,0-(3)J法迭代矩阵是3，GS法迭代矩阵L3(4)&满足同g满足卜|父1第七章非线性方程求根习题七1.用二分法求方程/r7=0的正根，使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间g。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值如表。N即&F(格)

32、符号0121.5.11.521.75+21.51751625+31.5162515625-4L56251625159375-%=1.59375其误差网=瓦2 .求方程二-7二。在漏=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.X=1+限+1=1+3(1) 迭代公式"I(2) /=1+一，迭代公式小7+工凯21_底K-1,迭代公式k+1飙7.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根7解：(1)取区间工且X,在口工1m且sG"一了，在1.3间中488Vm产0.911,则l<1.满足收敛定理条件，故迭代收敛（2）矶

33、月：/”，在1.3,1q中中0）他3,1.6,且2五C"Q）=T（l+/）：在“31向中有同性°46=£J故迭代收敛。解=!"T）:在新=1.5附近防砌1故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取用=1，则盯=1481248通=1472706,为=1468217，冬=1.467048%=1465243,%=1465*77,勺=1465710,/=1465634西二1465599,/。=1465583,/=1465577,利=1465574x13=1465572,x14=1.4655723 .设方程12-3笈42co股-0的迭代法2芯=4+-cos（1）证明对卡而E凡均有巴J铲，其中x*为方程的根.（2）取漏=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过10-并列由各次迭代值.（3）此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论左力/、乩/r>一小乙w（汗）二4+*cos工解：（1）迭代函数3,3<（P（界）工5,故杯（工）（-oo+oa）2.=-sin工（2）取而=4,则有各次迭代值为=3.5642,=3.3920,起=3.3