数值分析课后习题答案

1、第一章题12给定节点X。=-1,X1=1,X2=3,X3=4,试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：3(1)(1)f(x)=4x-3x2f(x)=x42X3解(1)f(4)(x)=O,f(4)()由拉格朗日插值余项得f(x)-p(x)=FT(x-Xo)(X-X1)(X-X2)(X-X3)=0f(4)(x)=4!由拉格朗日插值余项得4!f(x)-p(x)=(x-Xo)(x-x1)(xXz)(x-X3)4!=(x1)(x-1)(x-3)(x-4)p(x),插题15证明：对于f(x)以X。，X1为节点的一次插值多项式2(X1X。)“f(X)-p(x)<maxf(X)值误差8x。坐坐1f()证由

2、拉格朗日插值余项得f(X)-p(X)=.(X-X0)(X-X1),其中X。'-wX1,f(X)p(x)f()2!maxf<X。名感(x)(X-x0)(X-X1)2七(X1X。)”<maxf(x)8x。a*题22采用下列方法构造满足条件p(0)=p。)=。，p(1)=p'(1)=1的插值多项式p(x)：(1) (1)用待定系数法；(2) (2)利用承袭性，先考察插值条件p(。)=p'(0)=。，p(1)=1的插值多项式p(x).23解(1)有四个插值条件，故设p(x)=a。+a1X+a2X+a3X,a0=0a0+a1+a2+a3=1a1=02p(x)=2+2a

3、2x+3a3X,代入得方程组ai+2a2+3a3=1a。=0ai=0a2=2解之，得a3=-123p(x)=2x-x-(2)先求满足插值条件p(0)=p=0,p(i)=i的插值多项式p(x),由0为二重零点，可设p(x)=ax2,代入p(1)=1,得a=1,j.p(x)=x2；再求满足插值条件p(0)=p'(0)=0,p(1)=p，(1)=1的插值多项式p(x),可设p(x)=x2+bx2(x1)”p'(x)=2x+2bx(x-1)+bx2,代入p'(1)=1,得b=1,2223p(x)=x-x(x-1)=2x-x332x+x0<x<1S(x)=题33设分段

4、多项式、2x3+bx2+cx_11Wx2是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b,c的值.解由S(1)=2得2+b+c1=2,b+c=1;-23x2x0：:x：二1S(x)=2(6x+2bx+c1cx<2,由s'(1)=5得6+2b+c=5,j.2b+c=-1;联立两方程，得b=-2,c=3,6x20：:x：:1S(x)：且此时l12x+2bex",S?)=8=S*1),S(x)是以0,1,2为节点的三次样条函数.2x+4y=113x-5y=3x+2y=6题35用最小二乘法解下列超定方程组：、2x+y=7.解记残差的平方和为2_2_2_2f(x,y)=(2x4y

5、-11),(3x5y3)(x,2y-6)(2xy-7)830x二273113y二91ffn二0:x二f36x_6y_102=0=0令，得6x+92y_96=0,解之得题37用最小二乘法求形如y=a+bx2的多项式，使与下列数据相拟合：x1925313844y19.032.349.073.397.82解拟合曲线中的基函数为九=1,中0(x)=x,Y。90)(90,*)YaJ(fW。)'其法方程组为©鼻)(中0$)八b广9色"其中(：0)=5,(k：；)=(丁，；0)=5327,(；*)=7277699,(f,1)=271.4532a=0.9726547285b=0.0

6、52(f,*)=369321.5,解N得I5696,J.y=0.9726+0.05x.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高,并指明求积公式所具有的代数精度：(2)1f(x)dx0：A0f(-)-A1f(-)-A2f(2)从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，1A0=il()(x)dx-011、，13、3(一)(一-)34244,(x1)(x-3-)414dx一一1113、3(一)(-)32424,-01131(x)(x-)12422dx二一A1=I1(x)dx=0-01A2=il2(x)dx=0031313(,)()444211123()-f

7、()f()43234,(x-)(x-)214dx12f(x)dx:.f.03当f(x)=x3时,、，3,，八rf(x)dx二xdx左边二00右边二2111-f()一一f()3f(-)4113-3233(一)4左边=右边，当f(x)=x4时,f(x)dx=左边二004.xdx二一211123右边=3f(；)-；f(2)3f(4)11-()32占(4)37左边？右边，所以该求积公式的代数精度为题8已知数据表3.x1.11.31.5xe3.00423.66934.48171.5x-1.1试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分edx辛甫生法1.51.5-1.1exdx3.004243.66934.481

8、7)=1.477541.16复化梯形法1.50.2exdx93.00421.1223.66934.4817)=1.48245_14题17用三点高斯公式求下列积分值7T=7dx-、一一x=一(tI)先做变量代换，设')4.7127dx1-(t1)1+x=45+x94I=3.141068第三章用欧拉方法求解初值问题y=ax+by(0)=0:(1)试导出近似解yn的显式表达式;解(1)其显示的Euler格式为：Vn=yn4hf(XnLVn)=Vnh(aXnJ'b)故yn='n2h(aXnN'b)yi=y0h(ax。-b)将上组式子左右累加，得yn=y。-ah(x0,x

9、。/,x。)nhb=ah(0-h2h-(n2)h(n1)h)nhb2=ahn(n-1)/2nhb题10选取参数p、q,使下列差分格式具有二阶精度:yn1=ynhKiKi=f(Xnph,ynqhKJ解将K1在点(XnTn)处作一次泰勒展开，得-2K1=f(Xnph,ynqhK1)二f(4,yn)phfx(%,y0)qhK1fy(%,y0)O(h)二f(Xn，Yn)'Phfx(Xn，yn)_2_2qhf(Xn，yn),phfx(Xn，yn),qhK1fy(Xn，yn),O(h)fy(Xn，yn),O(h)2=f(Xn,yn)phfx(Xn,yn)qhf(Xn,yn)fy(Xn,yn)O(h

10、)._._._._.一.2代入,得yn1-ynhf(Xn,yn),phfx(Xn,yn),qhf(Xn,yn)fy(Xn,yn),O(h).2.2._3yn1=ynhf(Xn，yn)phfxX，丫0)qhf(Xn,yn)fy(Xn，yn)O(h)2h3y(Xn1)=y(Xnh)=y(Xn)hy(Xn)y(Xn)O(h)2h23二y(Xn)hf(Xn,y(Xn)fx(Xn,y(Xn)f(Xn,y(Xn)fy(Xn,y(Xn)O(h)1q=2时,1考虑其局部截断误差，设yn=y(Xn),比较上两式，当p=Z,-3y(Xn1)7n1=O(h)第四章1xcosx题2证明方程-2有且仅有一实根；试确定这

11、样的区间a，b,1使迭代过程Xk,=28sXk对一切xoWa,b均收敛.1解设"'：'/0'、，则f(x)在区间(q*)上连续,1 1二二1二二f(0)=_cos0=_：-0f()=-cos=02 2,22222,Tl所以“*)在0,/上至少有一根；1二f(x)=1sinx.00,-又2,所以f(x)单调递增，故f(x)在2上仅有一根.11迭代过程*0s"，其迭代函数为9(x)=2C0s*,111.-x0,0<9(x)=-cosx_.9(x)0,2,222,2；9(x)-1sinx2,19(x)<-<12冗由压缩映像原理知一,。0,

12、了，1x.1ccosx.kIk2兀0,一汪这里取a,b为区间2，也可取a,b为区间(3*)等.2x,=4cosx题5考祭求解方程123x+2cosx=0的迭代法3(1) (1)证明它对于任意初值x0均收敛；(2) 证明它具有线性收敛性；29(x)=4cosx(1)迭代函数为3VxW(-,F),9(x)w(g,")；-sinx<<12由压缩映像原理知以0,xk'=4'3cosxk均收敛;kxk_x-sinx1,二0*3(否则，若sinx*=0,贝Ijxmm,Z三_2不满足方程)，所以迭代九十二43cosxk具有线性收敛速度;题7求方程x3x2代过程在区间1,

13、3,1,6_1=0在x0=1,5附近的一个根，证明下列两种迭上均收敛：解(1)1-1卜一2xk；(2)31-x2其迭代函数为VxW1,3,1,6,.g(x)-1,3,1,6改写方程为改写方程为1g(x)=1'x1.3<1,3906：-1,11-1x,相应的迭代公式为,相应的迭代公式为迭代公式为xk”11.32：1,5917：1,62g(x)二一二又x3,-0.9103=21.33-2<一3x2_-=-0,48831,63，g(x)<0.9103由大范围收敛定理知一x01,3,1,6xk1=114xk均收敛;x3-x-1=0：=x=1迭代公式为xk.131-x2其迭代函

14、数为g(x)+X2VxW1,3,1,6,g(x)1,3,1,61,3<1,390831-1,32<31-x2W11+"2江5269<1,6，g(x)一又332x2x0_3"33.(1x)2x33(2x)2=*2_'0,4912g(x)<0,4912<1,由大范围收敛定理知-x1,3,1,6Xk+M+Xi均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组:x15x2i3x35x1-2x22x1x2-5x3二-11(k1)x1(k)(k)二2-5x23x3(k1)x2k1)(2)其雅可比迭代格式为5-2-x12112,=X55,(k)1(k)1+21十一5(k)x3(k)*2取初始向量（0）x,迭代发散;(k1)x1_(k)(k)=2-5x23x3(k1)x2-2其高斯-塞德尔迭代格式为(k1)x