大学高等数学_12空间曲线及平面方程

1、 第七七章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazyxzao机动 目录 上页

2、 下页 返回 结束 zyxo二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度, 称为螺距螺距 .)(tyy )(tzz M机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为,)(42222a

3、ayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求空间曲线 :)(tx)(ty)(tz)( t绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取点点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 , ),(zyxM则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例如例如, 直线1xty tz2绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋转曲面方

4、程为4)(4222zyxxzoy机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如又如, xoz 面上的半圆周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲

5、线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxyo1C又如又如, ,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0, 122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .机动 目录 上页 下页

6、返回 结束 内容小结内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 P324 题 1，2，7（展示空间图形）P324 题1 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)zxyo oaoa222azx222ayx机动 目录 上页 下页 返回 结束 P324 题2 (1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 yz2x3思考思考: :by 对平面交线情况如何?,3时当b交线情况如何?,3时当bP324 题2(2

7、)19422yx3y机动 目录 上页 下页 返回 结束 P325 题 7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 P324 3，4，5，6, 8作业作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束 22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、平面的点法式方

8、程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七七章 zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji例例1.1.求过三点,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914z

9、yx即1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况 : 过三点)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0

10、 , 0 ,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页

11、下页 返回 结束 特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求

12、通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy(P327 例4 , 自己练习) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录

13、 上页 下页 返回 结束 2特别有下列结论：特别有下列结论：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此有例例4. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyB

14、xA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且机动 目录 上页 下页 返回 结束 外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5. 设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解:设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo0M例例6.解解: 设球心为求内切于平面 x + y

15、+ z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331, ),(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc机动 目录 上页 下页 返回 结束 0212121CCBB

16、AA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(1111CBAn 思考与练习思考与练习P330 题4 , 5, 8第六节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P330 2 , 6 , 7 , 9)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx备用题备用题求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平

17、面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第七七章 一、空间直线方程一、空间直线方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(0000zyxM2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零

18、.mxx000yyxx设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM例如, 当,0, 0时pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,

19、得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji机动 目录 上页 下页 返回 结束 2L1L二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212

20、121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. . 求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为(参考P332 例2 )13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s20101

21、12kjis 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别有特别有:L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: 取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 132垂

22、 ) 1,3,2(nn例例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121c

23、osssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P335 3，4，5，7，9 P335 题2, 10习题课 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL设直线解：解：,2上在因原点LO12:2zyxL相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 的平2L面的法向量为则所求直线的方向向量方法方

24、法1 利用叉积. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直线过点 且垂直于直线 又和直线备用题备用题nOA2L2s机动 目录 上页 下页 返回 结束 设所求直线与的交点为512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点 .即故所求直线方程为 2L),(000zyxB则有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB机动 目录 上页 下页 返回 结束 0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0

25、000,2yzyx将代入上式 , 得由点法式得所求直线方程而) 1, 2, 1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课一一、 内容小结内容小结 二、二、实实例分析例分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间解析几何 第七七章 一一、内容小结内容小结 空间平面空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),( :000zy

26、x点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 为直线上一点; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 面与面的关系面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:2. .线面之间的相互关系线面之间的相互关系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBx

27、A021nn021nn2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 机动 目录 上页 下页 返回 结束 CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm面与线间的关系面与线间的关系直线:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin机动 目录 上页 下页 返回

28、 结束 3. 相关的几个问题相关的几个问题(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)点的距离为DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3) 点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(000

29、0zyxML机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二、实实例分析例分析例例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线提示提示: 所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程. 21nnskji机动 目录 上页 下页 返回 结束 241312zyx例例2. 求直线与平面062zyx的交点 . 提示提示: : 化直线方程为参数方程代入平面方程得 1t从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求过点( 2 , 1 ,

30、3 ) 且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.提示提示: 先求二直线交点 P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点),(7371372P最后利用两点式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为),(312),(011),(123过已知点且垂直于已知直线, ) 1,2,3(P机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求直线0101zyxzyx在平面上的投影直线方程.提示提示：过已知直线的平面束方程从中选择01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程, 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s机动 目录 上页 下页 返回 结束 417211