贝塞尔曲线和B样条曲线

1、§ 4.3贝塞尔曲线和B样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲 线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出 的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下， 用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。针对以上要求，法国人Bezier提出了一种参数曲线表示方法， 称之为贝塞尔 曲线。后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest等人加以发展成为B样条曲线。 一、 贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通

2、过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。1. 数学表达式n+1个顶点定义一个n次贝塞尔曲线，其表达式为：nP(t) PiBi(t)0 t 1i 0Pi(i 0,1,2,., n)为各顶点的位置向量，Bi,n(t)为伯恩斯坦基函数Bi,n(t)n!i!(n 1)!ti(1t)n i2. 二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即P0, P1, P2，将其代入曲线表达式:B0,2t0(1 t)200!(2 0)!2(1 t)21 2t tB1,22! 1t1(1 1!(2 1)!t)212t(1t

3、)B2,22! 2t2(1 2! (2 2)!t)22 t2P(t)(1 2t t2)p0(2t2t2)P1121P02t t 1220P1100P2p(t)2(t1)P02(1 2t)p1 2tp2p(0)2P0 2p12(P1 P0)P(0)P0p(1)2p1 2p22( P2P1)P(1)P2当t-时：21p2(1 2 121 14)p0(2212 4)P114P2lp11(P0 P2) 214P02t 2t2i2(2 1)po 2(112 2)P12 2p2 P22Po3. 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即p0、p1、p2、p3p(t)1p0 B0,3 (t )P1 B1,3

4、(t)其中：B°,33!t0(1t)300!(30)!B1,33!1(1、3 1tt)1!(31)!B2,33!2(1、3 2tt)2!(32)!B3,33!t3(1t)3 33! (33)!p(t) (1 3t 3t2 t3)po (3tP2B2,3(t)p3 B3,3(t)323(1 t) 1 3t 3t t2233t(1 t) 3t 6t 3t3t2(1t)1 3t2 3t3t36t2 3t3)P1(3t2 3t3)P2 上乜1331P03236 30P1p(t) t tt 10 t 13300P210 00P3贝塞尔曲线特点：1.n个顶点定义n-1次曲线,当顶点数较大时，拟合

5、的曲线阶次太咼02.任一顶点对整条曲线的形状都有关系，不利于局部修改。二、B样条曲线用B样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。1.数学表达式通常，给定m+n+1个顶点pi(i 0,1, ,m n)可以定义m+1段n次参数函数为:nPi,n(t)Pi kFk,n(t)( 0 t 1)，(i 0,1, , m)k 0其中Fk,n(t)为B样条分段混合函数，形式为:1 n kF"(t)( 1)JC i(t n k j)n! j o?段数、次数 段数二节点数-次数，每段曲线与n+1个点有关;nm!C mn! (m n)!2.二次B样条曲线 n=2,k=0,1,2Pi (t)pi F0,npi 1

6、 F1,nPi 2F2, n1 2 1 21 2Pi(t)2(t1)2Pi 2( 2t22t 1) Pi1-t2pi2Pi(t)(t 1)Pi ( 2t 1)Pi 1 tPi 21P(0)(Pi Pi 1) 1 p(1) 2(pPi 2)P (0) Pi 1PiP (1) Pi 2Pi 1 0 J J 2Fo,n( 1)JC3J(t2 0j)22! j 02( X2)2(1)11(t1)2 (F 1,2F 2,21 r/八03!-(1)(t20!(30)!12(2t2t1)21)21)JC3(t 21)3!1!(3 1)!(t 11)2j)22(1)03! t1!(3 1)!1 2 12j0(

7、1)JC3(t 21 j)2p(2)2 2 p(0)p(1)pi 1ip(2) p(i) p(0)I3.三次B样条曲线n=3, k=0, 1,2, 3Pi (t)3pi kFk,3(t)k 0Fo,3BoF i,3BiF2,3 B2 F3,3B3其中Fk,313!n k(1)jCnj1(tj 0j)Bi(l0,1,2,3）称为特征多边形。F0,313! j 01)jc4(t3 j)316(1)04!0!(40)!(t3)3(1)14!1!(4 1)!(t2)3(1)242!(4 2)!(t1)3 ( 1)34!3(4 3)!t3t3 3t2 3t 1)F1,312 .3!jo( 1)jc4(t

8、j)31-(1)6l(3t3604!0!(40)!(t6t24)2)31)!(t324!1)3( 1)2-2!(4 2)!t31)jc4(t 32 j)36( 1)0而4h(t1)3 (1)14!1!(4 1)!门P(t)p(t)p(0)1326(3t 1)132(t3 3t2 3t 1)Bo6t3t21331j)31326(3t&4旧1（3t3133t 3t 1)芒1(t22t1)Bo1t2 t 1 - 2 213604333110001(3t4t)B1B°B1B2B31( 3t2B0B1B2B3丄® 4B1 B2) (b0 b2) -B1632311 B1 B3

9、2p(1) -(B1 4B2 B3)(3) -B26323P(0)严B0)P(1)2(b3B1)P (0)(B2B1)(B0 B1)P(B3B2)(B1 B2)1例：设 P0(4,3), 5(6,5), P2(10,6),2t1)B2 1t2B3P3（12,4），用以上四个点构造2次B样条曲线。由B样条的定义可知，4个点可定义2次B样条曲线2段:m+n+1=4 n=2 m+1=21 2 1 2 1 2 Pi,2(t) 尹 1) Pi 2( 2t 2t 1) Pi 1 t Pi 2Pi,2(t)A Pi B Pi 1 C Pi 212121 2Po,2（t）2（t1）Po2（ 2t2t1）Pi才P212121 2Po,2 （t）2（t1）P12（