第二章流体运动基本方程和基本规律

1、1.三大守恒定律的简介2.迹线、流线、流管3.流体微团的运动分析4.速度位函数5.基本方程（一）：连续方程6.流函数7.旋涡运动8.基本方程（二）：动量方程9.基本方程（三）：能量方程（教材上没有，属必须掌握内容）10.三大基本方程的基本解法简介自然科学中有三大守恒律：质量守恒、动量守恒和能量守恒。本章将利用这三大原理，推导出流体力学中的三个基本方程：然后粗略介绍这三个方程的解法。2.1 三大守恒定律的简介三大守恒定律的简介焦耳（焦耳（JamesJamesPrescortPrescortJoule,1818Joule,181818891889）英国杰出的物理学家。）英国杰出的物理学家。 184

2、71847年年4 4月月2828日英日英国物理学家焦耳将自己所发现的能量守恒定国物理学家焦耳将自己所发现的能量守恒定律第一次作了全面和充分的阐述律第一次作了全面和充分的阐述 。 JouleDescartesDescartes笛卡尔笛卡尔( (法国哲学家、数学家法国哲学家、数学家,1596-,1596-1690)1690)拉瓦锡（拉瓦锡（Antoine-Laurent Antoine-Laurent LavoisierLavoisier，1743174317941794），），法国化学家，法国化学家，1789 1789 年，拉瓦年，拉瓦锡在他的历史名著锡在他的历史名著化化学概论学概论中第一次用清

3、晰的中第一次用清晰的语言把质量守恒定律表达出语言把质量守恒定律表达出来，用实验进行了验证来，用实验进行了验证 。2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管空气动力学中， 除了要求解以外，还需要绘制流场的流动图画(Flow Patterns)。它能帮助我们直观形象地分析流体运动。为此，引入迹线图和流线的概念。 迹线迹线(Path Line)：流体微团在流场中的运动轨迹。或者说，同一个流体微团，在不同时刻的空间坐标的连线。 流线流线(Stream Line)：流场中的一条曲线，线上各点的切向和该点的速度方向相同。如果流动是非定常的，由于速度矢量的大小和方向随时间变化而变化，所以不同时刻的流线形式也不

4、相同。流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管xyz流线是空间曲线 , 用 表示。2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管ds( , , ) 0f x yz 如何求流线方程如何求流线方程点A处的速度 和 平行。因此，由矢量叉乘的定义得流线方程为：Vds0dsV 设 是流线上的一个微段。dsVAxyz2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管dsdxidyjdzk0dsV , , , , , , , , ,V x y z tu x y z t iv x y z t jw x y z t k在迪卡尔坐标系下，ijkdsVdxdydzuvw0vdzwdy0 wdx

5、udz0udyvdx笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：dsVAxyz2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管 , , , , , , ,dxdydzu x y z tv x y z tw x y z t上式亦可表达为，0vdzwdy0 wdxudz0udyvdx笛卡尔坐标系下流线方程的微分形式：2.2 迹线、流线、流管迹线、流线、流管在三维空间，在流场中在三维空间，在流场中取一条不为流线的封闭取一条不为流线的封闭曲线，经过曲线上每一曲线，经过曲线上每一点作流线，所有这些流点作流线，所有这些流线集合构成的管状曲面线集合构成的管状曲面被称为流管，如图。被称为流管，如图。由于流管由流线组成，因此流体

6、不能穿出或者穿入流管表面。由于流管由流线组成，因此流体不能穿出或者穿入流管表面。在任意瞬时，流场中的流管类似真实的固体管壁。在任意瞬时，流场中的流管类似真实的固体管壁。对定常流动，直接运用积分形式的连续方程，可以证明穿过流对定常流动，直接运用积分形式的连续方程，可以证明穿过流管截面的质量流量是不变的管截面的质量流量是不变的 。流管流管(Stream Tube)xyz 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析流场中的流体微团流场中的流体微团, ,当它沿着流线做当它沿着流线做平移运动平移运动的同时，还的同时，还可能有可能有旋转旋转、变形运动变形运动。微团旋转和变形量取决于速度场，本节的目的就是

7、用速度微团旋转和变形量取决于速度场，本节的目的就是用速度场量化分析微元的旋转和变形运动。场量化分析微元的旋转和变形运动。 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析yx考虑考虑 xy 平面内的二维流动。取流场中的一个微元体。假设在时刻平面内的二维流动。取流场中的一个微元体。假设在时刻 t t ，流体微元是矩形。一般情况下流场是不均匀的，即流场中的各点速度的流体微元是矩形。一般情况下流场是不均匀的，即流场中的各点速度的大小和方向都可能变化。因此该微团从大小和方向都可能变化。因此该微团从 t t 时刻的位置时刻的位置 ABCD ABCD 运动到运动到 t+t+D Dt 时刻的位置上，流体微团的体

8、积、形状都发生了变化，而且也发生时刻的位置上，流体微团的体积、形状都发生了变化，而且也发生了旋转。整个运动是同时发生的，可以将这样的一个复杂的一般运动分了旋转。整个运动是同时发生的，可以将这样的一个复杂的一般运动分解为几个简单的运动的合成如图所示。解为几个简单的运动的合成如图所示。 BADCtBADCt+D Dt流体微团在流体微团在 xy 平面的角速度定义平面的角速度定义为为AB 边和边和 AC 边边的的角速度的平均值，记作角速度的平均值，记作 ， 因此，因此，z定义定义 AB 边和边和 AC 边的角速度分别为，边的角速度分别为， 和和 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析2ddt1d

9、dt2vtx DDDD 1,uty D DD D 由，由，有，有，110lim,tdudttyD D D D DD220limtdvdttxD D D D DD121122zdddvdudtdtdxdy角速度角速度 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析上面的分析只考虑了在二维 xy 平面内的运动。对一般三维空间流体微团的角速度是指向某特定方向的矢量， 12xyzijkwvuwvuijkyzzxxy上式用速度场表达了流体微团的角速度，更准确地说，是用速度场的导数表示了流体微团的角速度。 2.3 流体微团的运动分析流体微团的运动分析2V 旋度：定义为旋转角速度 的两倍，记为 。1）如果 在

10、流动中处处成立，流动称为有旋流动。这表明流体微团在流动过程中具有一定的旋转角速度。0V0yuxv0 V2）如果 在流场中处处成立，流动称为无旋流动。这表明流体微团没有角速度，在空间作纯粹的平移运动。3）二维无旋流动条件： 再回到前面再回到前面 xy 平面内的二维流平面内的二维流动时流体微团的运动分析。动时流体微团的运动分析。角变形率角变形率k kD1D2udy ty D D BAvdx tx D D CdydxA设设ABAB和和ACAC之间的夹角为之间的夹角为 k k 。当流当流体微团在流场中运动时，体微团在流场中运动时， k k 也会也会相应改变。相应改变。dydxAuvuudyy BCvv

11、dxx 在在t t 时刻，时刻， k k =90=90o o 。在。在t t+ +D Dt 时时刻刻，k k 也会变化了也会变化了 DkDk， 1k DD DDD D在粘性流动中，角变形量之半随时间变化是一个非常重要在粘性流动中，角变形量之半随时间变化是一个非常重要的量，称为的量，称为角变形率角变形率，用，用个个 g gz 来表示。来表示。 1k DD DDD D1k DD DDD D角变形：角变形：流体微团在流体微团在 xy 平面内的平面内的k k 的变化。规定当的变化。规定当 k k 减减小时角变形为正。因此，小时角变形为正。因此，角变形=2vtx DDDD 1,uty D DD D 21

12、111222zdddvudtdtdtxygk 类似，在类似，在 yz 和和 zx 平面上流体微团的角变形率为，平面上流体微团的角变形率为，12xwvyzg 12yuwzxg 12zvuxyg角速度角速度（以及旋度）和（以及旋度）和角变形率角变形率只取决于流场速度的导数，只取决于流场速度的导数，把速度的导数写成如下矩阵形式，把速度的导数写成如下矩阵形式，uuuxyzvvvxyzwwwxyz 对于对于无旋流动无旋流动来说，存在一个来说，存在一个标量函数标量函数 ，速度矢量，速度矢量 恰好等于其恰好等于其梯度梯度。即一个标量函数的梯度的旋度等于即一个标量函数的梯度的旋度等于0 0。从上面的式子中可以

13、。从上面的式子中可以得出，得出， , , ,0 x y z t , , , , ,V x y z tx y z t 如果如果 在流场中在流场中处处成立处处成立，流动称为，流动称为无旋流动无旋流动。0 V第一章的作业中曾经做过下式的证明，第一章的作业中曾经做过下式的证明，V 就称为就称为或速度势函数或速度势函数(Velocity Potential)。简称。简称。对于对于无旋流动无旋流动来说，存在一个来说，存在一个标量函数标量函数 ，速度矢量，速度矢量 恰好等于其恰好等于其梯度梯度。uivjwkijkxyzuxvywz V , , , , ,V x y z tx y z t zVrVrVzr,1

14、,在球坐标系中速度位的表达式为，在球坐标系中速度位的表达式为，在柱坐标系中速度位的表达式为，在柱坐标系中速度位的表达式为，11,sinrVVVrrr 2.5.4 连续方程的物质导数形式连续方程的物质导数形式 2.5.1 连续方程的物理意义连续方程的物理意义 2.5.2 连续方程的积分形式连续方程的积分形式 2.5.3 连续方程的微分形式连续方程的微分形式 连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律：连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律：ndmV dAdt 和前面推导和前面推导 的物理意义不同，那里采用的是运动的控的物理意义不同，那里采用的是运动的控制体，这里我们采用制体，这里我们采用，即控制

15、体固，即控制体固定在空间某个位置，流体从中穿过。定在空间某个位置，流体从中穿过。 在第一章中，我们讨论了几种用来在第一章中，我们讨论了几种用来研究流体运动的模型研究流体运动的模型，现，现在对这些流体模型运用基本的物理原理来推导流体运动的基在对这些流体模型运用基本的物理原理来推导流体运动的基本方程。本方程。VS固定控制体V显然，和前面的推导不同，控制体显然，和前面的推导不同，控制体的体积和控制面都不随时间变化，的体积和控制面都不随时间变化，但是由于流场的非定常特性，控制但是由于流场的非定常特性，控制体内所包含的质量是随时间变化的体内所包含的质量是随时间变化的。 此方程是对在此方程是对在空间位置固

16、定的有限控制体空间位置固定的有限控制体运用运用质量守恒定律质量守恒定律得到得到的结果，称为的结果，称为。它是流体力学中最基本的方程之一。它是流体力学中最基本的方程之一。上式就是连续方程的上式就是连续方程的积分形式积分形式。然而，有时候我们需要关心流场的细节，就必须对所取定点运然而，有时候我们需要关心流场的细节，就必须对所取定点运用连续方程进行分析。在这种情况下，积分形式的连续方程并用连续方程进行分析。在这种情况下，积分形式的连续方程并不适用。不适用。0ggdtSdVS 由于推导时所用的由于推导时所用的控制体的空间位置固定控制体的空间位置固定，所以积分的极限，所以积分的极限形式也是固定的。于是形

17、式也是固定的。于是对时间求偏导数可以放到体积分符号对时间求偏导数可以放到体积分符号里面里面。 0ggdtSdVSggdVdSVnSdVSS0ggdtV根据矢量场面积分和体积分的关系根据矢量场面积分和体积分的关系( (奥高公式奥高公式) )，有，有因此，因此，0Vt分析积分形式中的被积函数，如果被积函数的值是有限的，那分析积分形式中的被积函数，如果被积函数的值是有限的，那么此方程要求它在控制体的一部分区域的积分和剩余的区域的么此方程要求它在控制体的一部分区域的积分和剩余的区域的积分大小相等，符号相反，这样在整个控制体内的积分才为零。积分大小相等，符号相反，这样在整个控制体内的积分才为零。然而有限

18、控制体是任意的，因此然而有限控制体是任意的，因此对任意控制体对任意控制体，都要求要此方，都要求要此方程的积分为零，程的积分为零，唯一方法唯一方法是被积函数在控制体内所有点值都为是被积函数在控制体内所有点值都为零。因此零。因此 上式就是上式就是连续方程的微分形式连续方程的微分形式。该方程建立了。该方程建立了流场中某点流场中某点的流的流动变量之间的关系，与积分形式的连续方程相反，后者反应的动变量之间的关系，与积分形式的连续方程相反，后者反应的是流场中一个是流场中一个有限空间有限空间的流动变量之间的关系。的流动变量之间的关系。 VVV 0 Vt第一章我们学习了第一章我们学习了物质导数物质导数，下面我

19、们把连续方程表示成物，下面我们把连续方程表示成物质导数的形式。质导数的形式。 VtDtD考虑微分形式给出的连续方程考虑微分形式给出的连续方程 上式即是用上式即是用物质导数表现的连续方程物质导数表现的连续方程的形式。的形式。0VDtD0VVt 应用上述的矢量记号，上式变为应用上述的矢量记号，上式变为 此方程中前两项的和就是此方程中前两项的和就是密度的物质导数密度的物质导数 。因此有，。因此有， 0 Vt前面我们已经指出，流体的运动可以分为前面我们已经指出，流体的运动可以分为无旋运动无旋运动和和有旋有旋运动运动两种，无旋运动是流场中微团的旋转角速度等于两种，无旋运动是流场中微团的旋转角速度等于 0

20、 的运动，而有旋运动则是流场中微团的旋转角速度的运动，而有旋运动则是流场中微团的旋转角速度 0的的运动。运动。有旋运动又称作有旋运动又称作旋涡运动旋涡运动。旋涡运动是自然界、日常生活中旋涡运动是自然界、日常生活中以及工程实际中常碰到的现象。例如以及工程实际中常碰到的现象。例如龙卷风龙卷风是一种强大的旋是一种强大的旋涡运动；在船尾的后面，河床的拐弯处以及水管的突然扩大涡运动；在船尾的后面，河床的拐弯处以及水管的突然扩大处等都会产生旋涡；飞机在飞行同时也会产生旋涡。总之旋处等都会产生旋涡；飞机在飞行同时也会产生旋涡。总之旋涡运动是实际存在的一种重要的运动，因而对于涡运动是实际存在的一种重要的运动，

21、因而对于旋涡运动的旋涡运动的研究有着重要的意义研究有着重要的意义。 0V此式表明旋涡场是此式表明旋涡场是无源场。无源场。如同全流场可以用流线描述一样，有旋运动的如同全流场可以用流线描述一样，有旋运动的旋涡场旋涡场也可以也可以用用涡线涡线来描述。因此由来描述。因此由速度向量速度向量所构成的速度场里所引进的所构成的速度场里所引进的关于流线、流管、流量等一系列概念，可以套用到由关于流线、流管、流量等一系列概念，可以套用到由旋转角旋转角速度向量速度向量所构成的旋涡场中来。所构成的旋涡场中来。 涡线涡线：是充满旋涡流场中的：是充满旋涡流场中的一系列的曲线，在任意瞬时一系列的曲线，在任意瞬时该曲线上微团的

22、该曲线上微团的旋转角速度旋转角速度向量向量（旋转轴线方向按右手（旋转轴线方向按右手定则）都和定则）都和曲线相切曲线相切，右如，右如图所示。图所示。zyxdzdydx涡线方程涡线方程： 0dsds涡管涡管：某瞬时，在旋涡场中任取：某瞬时，在旋涡场中任取一条一条非涡线的光滑封闭曲线非涡线的光滑封闭曲线（曲（曲线不得与同一条涡线相交于两线不得与同一条涡线相交于两点），过该曲线的每一点作涡线，点），过该曲线的每一点作涡线，这些这些涡线形成的管状曲面涡线形成的管状曲面称为涡称为涡管，见右图。管，见右图。 涡通量涡通量：通过任一截面的：通过任一截面的涡量涡量的面积分。定义为：的面积分。定义为：涡管的侧表面

23、是涡管的侧表面是涡面涡面。在这个涡面上流体微团的角速度矢。在这个涡面上流体微团的角速度矢量量 与涡面的法向矢量相垂直。这表明与涡面的法向矢量相垂直。这表明涡通量不能穿越涡涡通量不能穿越涡管表面管表面。涡管截面大小和所取的围线的大小有关，因此。涡管截面大小和所取的围线的大小有关，因此涡涡管可大可小，甚至无限小管可大可小，甚至无限小，涡线是横截面积趋向于零的涡，涡线是横截面积趋向于零的涡管。管。 222nVddndd速度场的速度场的旋度旋度 V 又称又称涡量涡量。旋涡强度旋涡强度，或称涡量强度：设在，或称涡量强度：设在涡管上取一截面涡管上取一截面，截面面积，截面面积为为 ，则定义为，则定义为 0V

24、dV dgg 上式就是涡管的旋涡强度。对上式就是涡管的旋涡强度。对于同一涡管，旋涡强度为一于同一涡管，旋涡强度为一常常值值。因为，。因为， 22nVdddkdn应该指出，虽然涡场、涡线、涡量等在概念上和流场、流线、应该指出，虽然涡场、涡线、涡量等在概念上和流场、流线、流量等相似，但不能把两者混淆起来。流量等相似，但不能把两者混淆起来。涡线和流线涡线和流线应该是不同的，如果运动有涡，便存在涡线，应该是不同的，如果运动有涡，便存在涡线，运动无涡则不存在涡线。但是只要有流体运动，不论是否运动无涡则不存在涡线。但是只要有流体运动，不论是否有涡，有涡，流线总是存在的流线总是存在的。 速度环量速度环量：如

25、果积分路径为：如果积分路径为一封闭曲线一封闭曲线，则，则速度线积分速度线积分值值的定义为速度环量，即，的定义为速度环量，即， 本章前面的内容给出了流场中流体微团的旋转运动以及旋本章前面的内容给出了流场中流体微团的旋转运动以及旋度的概念。而在度的概念。而在同一流动区域中所有流体旋度的总效应同一流动区域中所有流体旋度的总效应则则是以是以速度的环量速度的环量来体现的。来体现的。 速度环量是标量，取速度环量是标量，取逆时针积分方逆时针积分方向为正向为正。sdVdsVzyx斯托克斯定理表明：沿空间任一封闭曲线斯托克斯定理表明：沿空间任一封闭曲线l上的上的环量环量，等于贯，等于贯通以此曲线所成的任意曲面上

26、通以此曲线所成的任意曲面上旋度的面积分旋度的面积分。根据此定理，。根据此定理，一个一个涡管的旋涡强度涡管的旋涡强度可以以此可以以此涡管的围线的环量涡管的围线的环量值代替，所值代替，所以环量也就成了以环量也就成了涡强涡强的同义词。如果曲线所围成的区域中无的同义词。如果曲线所围成的区域中无涡通量，则沿此围线的涡通量，则沿此围线的环量为零环量为零。lSnl dVdS斯托克斯定理表明，流场中若沿任意闭合曲线的斯托克斯定理表明，流场中若沿任意闭合曲线的速度环量速度环量为零为零，则流场中的流动是，则流场中的流动是无旋无旋的。的。通常将围绕包含通常将围绕包含点涡点涡闭合曲线上的速度环量称为闭合曲线上的速度环

27、量称为点涡强度点涡强度。：用来确定诱导速：用来确定诱导速度的大小。该公式指出度的大小。该公式指出, ,在在不可压不可压流动流动中，强度是中，强度是 、微段长度、微段长度 dL 的涡线对周围流场所产生得诱导速的涡线对周围流场所产生得诱导速度为度为 ：诱导速度诱导速度：由旋涡存在而产生的速度。：由旋涡存在而产生的速度。34dLrdwr dLdwBArNMO 2112sin4coscos4wdhh 诱导速度的方向诱导速度的方向是垂直纸面的，按图示方向，它指向外的。是垂直纸面的，按图示方向，它指向外的。如果涡线的一端无限长且如果涡线的一端无限长且M M的投影在另一端点，的投影在另一端点，如果如果涡线两

28、端都延伸到无穷远涡线两端都延伸到无穷远， 对于无限长涡线所引起的诱导速度场，在与涡线垂直的平面对于无限长涡线所引起的诱导速度场，在与涡线垂直的平面上流动都是一样的，因此这种流动可以看作平面流动，通常上流动都是一样的，因此这种流动可以看作平面流动，通常称平面称平面点涡流动点涡流动。 4wh 2wh 21hMdLdrDAB下一步：用流场变量下一步：用流场变量( (压力、密度、速度压力、密度、速度) )来表述来表述(2-18)。amF VmdtdF 动量方程描述的是动量守恒定律：动量方程描述的是动量守恒定律： 控制体中动量随时控制体中动量随时间的变化率等于作用在控制体上的力间的变化率等于作用在控制体

29、上的力。 （2-18） viscousxxffxpVutu tututu 第二项第二项中，把中，把 看成是标量看成是标量 和矢量和矢量 的积。运的积。运用矢量运算，该项可以展开为，用矢量运算，该项可以展开为，VuuV uVuVuVVu 下面用物质导数的形式来表示动量方程。考虑如下形式给下面用物质导数的形式来表示动量方程。考虑如下形式给出的出的 x 方向方向的动量方程的微分形式，的动量方程的微分形式，左端左端第一项第一项可以展开为，可以展开为，Vuivjwk ()DupffviscousxxDtx ()DvpffviscousyyDty ()DwpffviscouszzDtz 因此，动量方程的因此，动量方程的物质导数形式物质导数形式为，为，viscousDVpffDt 对对不可压流动不可压流动，密度密度是常数。流场的主要是常数。流场的主要变量变量是是压强压强 和和速度速度 。连续方程连续方程和和动量方程动量方程都