高二数学直线与平面平面与平面的位置关系

1、第2讲：直线与平面，平面与平面的位置关系【知识整合】一、直线与平面的位置关系：1 .直线与平面平行：(1)直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(即线线平行，则线面平行)(2)直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平 面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(即线面平行，则线线平行)2 .直线与平面垂直：(1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。(即线线垂直，则线面垂直)(2)直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于一个平面，那么这两条直线

2、 平行；如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线(即线面垂直，则线线垂直)3 .平面的斜线及直线与平面所成的角：(1)过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，这点与垂足间的线段 叫做这点到这个平面的垂线段。(2)平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，范围是0：90。4 .三垂线定理：如果平面内的一条直线和一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂 直。二、平面与平面的位置关系：1 .两平面平行：(1)两平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行。(即线面平行，则面面平行)

3、(2)两平面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平 行与另一个平面(即面面平行，则线面平行)；如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么所得的两条交线平行。(即面面平行，则线线平行)2 .二面角的大小：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是0=,180)。3 .两平面垂直：(1)两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个 平面互相垂直。(即线面垂直，则面面垂直)(2)两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(即面面垂

4、直，则线面垂直)【典例精析】1 .空间四边形 ABCD 中，若 AB = AD = AC = CB = CD = BD,贝U AC 与BD 所成角 为。2 .如图长方体中， AB=AD=2 J3 , CCi=J2,则二面角Ci-BD-C的大小为()3 .已知空间四边形 ABCD , P, Q分别是AABC和ABCD 的重心，求证PQ/平面ACD4 .正方形ABCD与正方形 ABEF所在平面相交于 AB ,在AE ,BD上各取一点P, Q,且AP = DQ ,求证PQ /平面BCE 。5 .如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点, PA=1, P在平面ABC内的射影为BF的中点O

5、。证明PAX BFAC _L BD, AC与BD相交于点O ,且顶点P在底面上的射影恰为。点，又 BO =2, PO = J2, PB _L PD .(1 )求异面直线 PD与BC所成角的余弦值;(2 )设点PMMC=£，问儿为何值时,PC _L平面 BMD 。B6 .如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形， AB / DC ,7 .在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M, N, P分别是CiC,BiCi,CiDi的中点，求证：(1) AP _ MN(2)平面MNP 平面A1BD8 .在三棱锥S -ABC中，AABC是等腰三角形，AB =BC =2a,/ABC =1

6、20 二，且SA 1平面ABC ,SA = 3a ,求点A到平面SBC的距离。9 .如图，四棱锥 PABCD的底面是边长为a的正方形，PA_L底面ABCD , E为AB的中点，且PA=AB。(1)求证平面PCE _L平面PCD(2)求点D到平面PCE的距离。10 .如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=J2AA,点D是AB的中点，点e在A1C1上，且DE _L AE。(1)求证，平面ADE _L平面ACC1A(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值。【重点题型强化】1 .如图，三棱柱ABC A1B1cl中D是BC的中点，求证：A1B/平面AC1D2 .如图，在AABC中，4ACB

7、=90一，D, E分别为AC, AB的中点，沿DE将AADE折起，使A到A的位置，M是AB的中点，求证,ME/平面 A'CD/c/XM I d .B3 .如图，DC _L平面ABC , EB/DC, AC = BC = EB=2DC =2 , /ACB = 120： P,Q分别为AE, AB的中点，求证：PQ/平面ACDAB4 .如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P -ABCD中, AB _L AC , PA _L平面 ABCD ,且 PA JB ，点 E 是 PD的中点.(I)求证：AC _L PB ;(n)求证：PB平面AEC；5 .在四锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，/D

8、AB =60 , 对角线 AC与BD相交于点 O,POL平面 ABCD ,PB与平面 ABCD 所成的角为60(1)求四棱锥 P-ABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的余弦值6 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面为直角梯形， ADBC, /BAD =90 , PA_L 底面 ABCD,且 PA = AD = AB = 2BC , M、N分别为PC、PB的中点。(I)求证：PB _ DM ;(n)求CD与平面ADMN所成的角。7 .如图，AABC为正三角形，EC _L平面ABC, BD/EC ,且EC =AC =2BD , M是A E的中点。求证：(1) DE=AD(2)平面BDM _L平面ECA(3)平面 DEA 面 ECAA8 .如图，在四棱锥 PABCD中，平面PAD _L平面ABCD , AB DC , APAD是等边三角形，已知 BD =2AD =8, AB =2DC =4、, 5(1)设M是PC上的一点，求证 平面MBD面PAD(2)求四棱锥P -ABCD的高。9 .如图，在长方体 ABCD AB1C1D1中，AB = AD = 1, AA) = 2 , M是棱CC1的中点。(1)求异面直线 AM和C1D1所成角的正切值;(2)求证平面ABM _L平面A