一轮复习知识点精编--集合知识要点试题

1、一轮复习知识点精编集合知识要点试题1、集合的根本概念集合某些指定的对象成为一个集合。集合中的每个叫做这个集合的元素。一些常见的数集 全体非负整数的集合非负整数集或自然数集记作 非负整数集内排除0的集正整数集,表示成或 全体整数的集合-一整数集记作 全体有理数的集合-一有理数集记作 全体实数的集合-一实数集记作 全体复数的集合-复数集记作注意：1自然数集含有0;2整数集、有理数、实数集内排除 0的集合分别表示为：或、或、 或。集合与元素的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A ； 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A ,记作aA。注意：“ 、“ 只能用在元素与集合之间。集

2、合元素的特性集合的分类有限集一一含有有限个元素的集合。无限集含有无限个元素的集合。特别地，不含任何元素的集合叫做 ，记作。集合的表示法 列举法把集合中的元素一一列举出来的方法。如x1 , x2，xn或xi,i 1。 描述法：有时也可写成 x : px x ； px 文氏图又叫韦恩图： 区间表示法 注意：区分“ a与“ a。对于列举法中用“表示的集 合，应按次序排列。 代表元素不是一定要用x，还可用如：y、t、u、v、x,y、x,y,z等来表示。定义符号表示或数学表达式性质集合与集合的关系子集 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说集合A是集合B的子集。A B或(B A) ? A特别地

3、？ A A 假设A_ B,BC,那么A? Co相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集 合A的元素.A=B? A B,B A如果A B,同时B A，那么A =B。真子集：如果A B,并且A B,我们就说集合A是集合B的真子集。记作A B 假设A工那么有A o 如果AB,BC, 那么A? C运算全集与补集设S是一个集合，A是S的一个子集即A S，由S中所有不属于A的元素组成 的集合，叫做S中子集A的补集或余集。如果集合S含有我们所要研究的各个 集合的全部元素，这个集合就可以看作一。个全集。CjA=x| x S,x A Cj U= C j= Cj (CjA)=

4、(CjA) n A= (CjA) J A= ) =(C jA ) J (Cj B) )=(C jA ) n (Cj B)交集由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集。A n B=x| x A,且 x B a n a= a n= a n b= A n B A，A n B B A n B=A 那么 A B并集由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做 A与B的并集。A J B=x| x _ A,或 x_ B A J A= A U= A U B= A A U B , B A U B A U B=B 那么 A B2、集合与集合的关系说明：“,只能用在与集合之间。“，等

5、只能用在与集合之间。一般地，假设一个集合有 n个元素，那么它有 _个子集，个真子集。个非空子集个非空真子集一般地，对任意两个有限集合 A,B,有card(A U B)=对映射的概念了解吗？映射f: A B，一对一，多对一，允许B中有元素无原象。 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从A到 B的映射个数有nm个。函数 的图象与直线 交点的个数为个。8. 函数的三要素相同函数的判断方法：(两点必须同时具备)9. 求函数的定义域常见类型？函数定义域求法：分式中的不为零；偶次方根下的数或式零；指数式的底数；对数式的底数真数零。正切函数余切函数 实际问题有意义当以上几个方面

6、有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 复合函数的定义域 复合函数定义域的求法： f(x)的定义域为D，求f(h(x)的定义域，可由h(x) D解出x的范围， 即为f(h(x)的定义域。 f(h(x)的定义域为D，求f(x)的定义域，求得(h(x)的值域，解即为f(x)的 定义域。 f(h(x)的定义域为D，求f(gx)的定义域，先求h(x)值域E由g(x) E解出x的范围，即为fgx的定义域 2求函数的解析式的主要方法有：1凑配法2待定系数法3换元法4消元法函数值域的求法1、直接观察法对于一些比拟简单的函数，其值域可通过

7、观察得到。例求函数y=x的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一。3、判别式法对二次函数或者分式函数分子或分母中有一个是二次 都可通用，但这类题型有 时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我 们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三 角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一， 在求

8、函数的值域中同 样发挥作用。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等， 这类题目假设运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。9、不等式法利用根本不等式a+b>，a, b，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添 项和两边平方等技巧。10、别离常数法适用于题型11导数法证明函数的单调性判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法:根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系 步骤：也可以变形为求的正负号或者与1的关系(2) 参照图象： 假设函数f(x)

9、的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；特例：奇函数 假设函数f(x)的图象关于直线x二a对称，贝U函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间 里具有相反的单调性。特例：偶函数(3) 利用单调函数的性质： 函数f(x)与f(x) + c(c是常数)是同增同减的 当c> 0时函数f(x)与cf(x)(c是常数)，它们的单调性是 ；相同，相反当CV 0时，它们的单调性是 。相同，相反 如果函数fl(x)，f2(x)单调性相同，那么函数fl(x) + f2(x)和的单调性函数相加 如果正值函数fl(x) , f2(x)单调性相同，贝U函数fl(x)f

10、2(x)和它们的单调性 ； 如果负值函数fl(2)与f2(x)单调性相同，那么函数fl(x)f2(x)和它们的单调性；函数相乘 函数f(x)与在f(x)的同号区间里单调性相反。 假设函数 u=© (x)，x a， B 与函数 y= F(u)，u © ( a )， © (B )或 u © ( p ), © (a )同向变化，那么在a，B 上复合函数y= F © (x)是递增的；假设函数u=© (x),x a，B 与函数 y= F(u)，u © ( a )，© (B )或 u © (B )，

11、9; (a )反向变化， 那么在a，B 上复合函数y = F © (x)是递减的。同增异减f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减减增减减减增减减如何利用导数判断函数的单调性 ？奇偶性注意如下结论：1在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数; 一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。判断函数奇偶性的方法首先判断定义域是否关于远点对称一个函数是奇偶函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇偶函数的 必要条件假设函数的定义域不关于原点对称，那么函数为非奇非偶函数一.奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算

12、，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性二和差法.奇函数做和偶函数做差三做商法f(x)与f(-x)做商与 或 比拟 三、复合函数奇偶性f(g )g(x) fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶周期函数f(a+x)=f(a-x)贝U f(x)关于直线 对称f(2a+x)=f(-x)那么f(x)关于直线对称f(a+x)=f(b-x)那么f(x)关于直线对称f(a+x)=-f(a-x)贝U f(x)关于点 对称f(2a+x)= -f(-x)那么 f(x)关于点 对称f(2a+x)=-f(-x)+2b 那么 f(x)关于点对称f(x)关于直线

13、x=a和直线x=b对称那么是f(x)的一个周期f(x)关于点a,0和点b,0对称那么是f(x)的一个周期f(x)关于直线x=b和点(b,0)对称 那么是f(x)的一个周期4. 两个函数图象的对称性 函数f(x)与函数f(-x)的图象关于直线 (即轴)对称.(2) 函数f(x)与函数-f(x)的图象关于直线(即轴)对称. 函数f(x)与函数-f(-x)的图象关于点 (即)对称(4) 函数y=ax和y=logax的图象关于直线对称.6.几个常见的函数方程(1) 正比例函数,.(2) 指数函数,.(3) 对数函数,.(4) 幕函数 ,.(5) 余弦函数，正弦函数指数函数与对数函数知识点总结一指数与指

14、数幕的运算1. 根式的概念：一般地，如果xn a ,那么兰叫做亘的n_次方根, 其中0，且n±n*.负数没有偶次方根；_0的任何次方根都是_0,记作no 0。当n是数时，nd a，当n是 数时，nan |a|a (a 0)a (a 0)2 分数指数幕正数的分数指数幕的意义，规定：man x am (a 0, m, n N* ,n 1)*=(a 0, m,n N ,n 1)n f m* a0的正分数指数幕等于0, 0的负分数指数幕没有意义3实数指数幕的运算性质rrr s0, r,s R);1a a ar srs2(a ) a(a(a0,r,sR)；3(ab)r aras(a0,r,sR

15、).二指数函数及其性质1、 指数函数的概念：一般地，函数y ax(a 0,且a 1)叫做 指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>10<a<11一f11-定义域R定义域R值域y > 0值域y > 0在R上单调递( )在R上单调递()非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点函数图象都过 定点注意：禾I用函数的单调性，结合图象还可以看出：1在a , b上，f(x) ax(a 0且a 1)值域是f (a),f (b)或2丨假设x 0，那么f(x) 1 ; f(x)取遍所有正数当且仅当

16、x R ;3对于指数函数f(x) ax(a 0且a 1)，总有f(1) a ;f(x) ax(a 0且a 1)与f(x)=(1/a) x图像关于_轴对称5f(x) ax (a 0且a 1)的底数在一二象限 增大乙对数函数一对数1.对数的概念：一般地，如果ax N (a 0,a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x loga N a 底数，N 真 数，loga N 对数式说明：。注意底数的限制; ax Nloga N x;注意对数的书写格式.loga N两个重要对数：常用对数：以10为底的对数;自然对数：以无理数e 2.71828 为底的对数的对数In N . 指数式与对数式的互化幕值 真

17、数ab = N loga N = b底数指数对数二对数的运算性质如果a 0，且a 1 , M 0, loga(M N) loga MN loga M n n7(n注意：换底公式,log c b loga blogcaa 0，且a利用换底公式推导下面的结论1log am bnn , log a b ;m2二对数函数1、对数函数的概念：函数yN 0,那么：R) 1; c 0 ,且 c 1 ； b 0.1loga blog baloga x(a 0，且 a 1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是0, + X. 注意：。对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意区分。如：y 2log2

18、x，y log 5都不是对数函数，而5只能称其为对数型函数.对数函数对底数的限制：(a 0,且a 1).2、对数函数的性质：a>10<a<1亠-2.1 十'111二，0-T 1:、r:定义域值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都 过 定 点 函数图象都过定点注意：禾I用函数的单调性，结合图象还可以看出：1在a， b 上, y loga x(a 0值域是f(a), f(b)或f(b),f(a)；2对于指数函数y log a x(a 0，总有f(a)= f(1)=；(3) y loga x(a 0与f(x)=图像关于x轴对称4y loga x(a 0的底数在一四象

19、限 增大5y loga x(a 0丨与f(x) ax(a 0且a 1)互为反函数关于 直线对称1) 将y=f(x)看成方程，解出x=f-1(y)2) 将 x,y 互换，得 y=f-1(x)3) 写出反函数定义域，即原函数值域幕函数性质归纳.1所有的幕函数在0 , + %都有定义并且图象都过点1 , 1；20时，幕函数的图象通过原点，并且在区间0,)上是增函数特别地，当 1时，幕函数的图象下凸；当01时，幕函数的图象上凸；30时，幕函数的图象在区间(0,)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在 y轴右方无限 地逼近y轴正半轴，当x趋于 时，图象在x轴上方无限地 逼近x轴正半轴.4

20、令指数为p/q ，p,q是奇数是时，幕函数为奇函数。p 是偶数q是奇数时幕函数是偶函数。q是偶数时，幕函数是 非奇非偶函数第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y f(x)(x D)，把使f(x) 0成立的 x叫做函数y f (x)(x D)的零点。2、 函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数y f (x)的图象与x轴交点的。即：方程f (x) 0有实数根函数y f (x)的图象与x轴有交点 函数y f (x)有.3、函数零点的求法：。代数法求方程f(x) 0的实数根；©几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f (x)的图象联

21、系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数 y ax2 bx c(a 0).1 0,方程ax2 bx c 0有两不等实根，二次函数 的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.2厶=0，方程ax2 bx c 0有两相等实根，二次函数 的图象与x轴有_个交点，二次函数有一个二重零点或二阶 零点3亠0，方程ax2 bx c 0无实根，二次函数的图象与 x轴无交点，二次函数无零点.5. 函数的模型高中数学函数的图象变换1、对称变换yf(x) yf( x)，关于丫轴对称与偶函数联系起来记忆7yf(x) yf( x)，关于坐标原点对称与奇函数联系起来记忆；yf(x) yf(x)，关于

22、X轴对称；yf(x) yf(x)利用y o作图，保存图像，将x轴下方的图象上翻。yf(x) yf(x)利用偶函数作图，保存图象，并作它关于y轴对称的2、平移变换 yf(x) y f (x a),(a 0)向左或向右平移a个单位左“ + 右“一； yf (x) y f (x) b,(b 0)向上或向下平移b个单位上“ + 下“丨；4、几个结论： 假设函数y f(x)是偶函数f (x) f( x) f(x a) f( x a) f(x)关于直线x = 0对称； 假设函数y f (x a)是偶函数f (x a) f( x a) f(x)关于直线x= a对称 函数y f (x a)关于直线x= 0对称

23、2. 导数的几何意义函数y=fx在点x0处的导数的几何意义是曲线y=fx在点px0, fx0处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=fx在点pxo, fxo处的切线的斜率是 f ' x 0。相应地，切线方程为y y0=f，x0x-x0二、导数的运算1. 根本函数的导数公式： C 0;C为常数 xnnxn1; (sin x)cosx; (cos x) si nx; (ex) ex; (ax)axl na;1 In x 丄；x1 loga x -logae.x2. 导数的运算法那么法那么1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(u v) u v.法那么2:两个函数

24、的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)' u'v uv'.假设C为常数,那么(Cu)' C'u Cu' 0 Cu' Cu.即常数与函数的积的导数等于 常数乘以函数的导数：(Cu)' Cu.法那么3:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分 子的积，再除以分母的平方：u U，v 2UV，v 0。vv3. 复合函数的导数形如y=f (x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 > 求导 > 回代。法那么：yz I x = y7 I u

25、uz | x 或者 f (x) f()*(x).三、导数的应用1. 函数的单调性与导数1设函数y f(x)在某个区间a, b可导，如果f，(x) 0，那么f(x)在此区间上为增函数；如果f'(x)0，贝U f (x)在此区间上为减函数。2如果在某区间内 恒有f (x)0，那么f (x)为常数。2 极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线 的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3. 最值：在区间a , b上连续的函数f (x)在a , b上必有最大值与最小值。但在开区间a， b内连续函数fx不一定有最大值，例如f (

26、x) x3,x ( 1,1)1函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有 函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。2函数的最大值、最小值是比拟整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值 是比拟极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个， 极值只能在区间内取得，最值那么可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的 未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。三角函数公式总结一、诱导公式1. sin(180 ° a=,cos(180 °+ a)=2. sin ( a+k 360)= , cos(

27、a+k 360)= , tan ( a+k 360)=3. sin(- a=,cos(-a)= 4*. tan(180 ° a)=, tan(- a)=-tan a5. sin (180 ° a)=sin a,cos(180 ° a=6. sin(360 0- a)=-sin acos(360 ° a)=7. sin(冗/2- a)=cos acos( n/2- oc)=8*. Sin(3 tt/2- a)=-cos acos(3 tt/2- a)=9*. Sin( tt/2+ a)=cos acos( n2+a)=10*.sin(3 冗/2+ a)=-cos acos(3 tt/2+ a=记忆口诀奇变偶不变，符号看象限二、两角和与差的三角函数1. 两点距离公式P1 P2(x2 X1 )2 (y2 y1 )22. S( a+ ®： sin( a+ B)=C(a+ B)