人教版高中数学选修（4-5）-4.1《数学归纳法》参考课件

1、数学归纳法数学归纳法 对于一些与无限多个正整数相关的命题对于一些与无限多个正整数相关的命题, ,如果不如果不易用以前学习过的方法证明易用以前学习过的方法证明, ,用数学归纳法可能会收用数学归纳法可能会收到较好的效果到较好的效果. .), 1(1x)(1 )5,(2n )(sinsinn :n2 NnxnxnNnNnnn 例例如如什么是数学归纳法什么是数学归纳法 ? ? 一般地一般地, ,当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n n0 0的所有正整数的所有正整数n n都成立时都成立时, ,可以用以下两个步骤可以用以下两个步骤: : (1) (1)证明当证明当n=nn

2、=n0 0时命题成立时命题成立; ; (2) (2)假设当假设当n=k n=k 时命题成立时命题成立, ,证证明明n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. . 在完成了这两个步骤后在完成了这两个步骤后, ,就可以断定命题对于不就可以断定命题对于不小于小于n n0 0的所有正整数都成立的所有正整数都成立. .这种证明方法称为这种证明方法称为数学数学归纳法归纳法. .),(0nkNk 且且 用数学归纳法证明时用数学归纳法证明时, ,要分两个步骤要分两个步骤, ,两者缺一不可两者缺一不可. . (1) (1)证明了第一步证明了第一步, ,就获得了递推的基础就获得了递推的基础, ,但仅靠这一步还

3、不但仅靠这一步还不能说明结论的正确性能说明结论的正确性. . 在这一步中在这一步中, ,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了了, ,没有必要验证命题对几个正整数成立没有必要验证命题对几个正整数成立. . (2) (2)证明了第二步证明了第二步, ,就获得了推理的依据就获得了推理的依据. .仅有第二步而没有仅有第二步而没有第一步第一步, ,则失去了递推的基础则失去了递推的基础; ;而只有第一步而没有第二步而只有第一步而没有第二步, ,就可就可能得出不正确的结论能得出不正确的结论, ,因为单靠第一步因为单靠第一步, ,我们无法递推下去我们无法递推下去,

4、 ,所以所以我们无法判断命题对我们无法判断命题对n n0 0+1,n+1,n0 0+2,+2,是否正确是否正确. . 在第二步中在第二步中,n=k,n=k命题成立命题成立, ,可以作为条件加以运用可以作为条件加以运用, ,而而n=k+1n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件时的情况则有待利用命题的已知条件, ,公理公理, ,定理定理, ,定义加以证明定义加以证明. .完成一完成一, ,二步后二步后, ,最后对命题做一个总的结论最后对命题做一个总的结论. ._97531_;7531_531_;31.,)12()1(531, 并并加加以以证证明明的的结结果果猜猜想想出出通通过过计计算算下下面面

5、的的式式子子nn, 5, 4 , 3, 2: 别别是是上上面面四四个个式式子子的的结结果果分分解解nnnn) 1() 12() 1(531: 由由此此猜猜想想:下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明., 1,1)1(即即这这时时等等式式成成立立式式子子左左右右两两边边都都等等于于时时当当 n时时当当即即时时等等式式成成立立假假设设当当1) 1() 12() 1(531,) 1()2( knkkkknkk一一. .用数学归纳法证明等式问题用数学归纳法证明等式问题.6)(5n: 13整整除除能能够够被被证证明明例例 Nnn.,665,1)1(:3命题成立命题成立整除整除显然能够被显然能够被时时当

6、当证明证明 nnn,1.65,)1()2(3时时当当整整除除能能够够被被即即命命题题成成立立时时假假设设当当 knkkkkn6)1(3)5(k 55133)1(5)1(3233 kkkkkkkkk.6)(5,)2(),1(.1,6)1(5)1(,6)1(3,)1(,65333整整除除能能够够被被即即命命题题对对一一切切正正整整数数成成立立知知由由时时命命题题成成立立当当因因此此整整除除能能够够被被从从而而整整除除能能够够被被故故是是偶偶数数而而整整除除能能够够被被由由假假设设知知 Nnnnknkkkkkkkk 特别提示特别提示: : 数学归纳法证题的关键是数学归纳法证题的关键是“一凑假设一凑假

7、设, ,二凑结二凑结论论”, ,在证题的过程中在证题的过程中, ,归纳推理一定要起到条件的作归纳推理一定要起到条件的作用用, ,即证明即证明n=k+1n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件成立时必须用到归纳递推这一条件. .课堂练习课堂练习: :322121 . aaC.1 aB.1 A.1) (,1)1(1:. 1aaaDnaaaan 左左端端计计算算所所得得的的项项为为时时在在验验证证用用数数学学归归纳纳法法证证明明C12 . 12 . 2 . A.2) ( ,1),1,(12131211:. 21-k kkknDCBkknNnn左端增加的项数是左端增加的项数是到到第二步证明从第二步证明

8、从用数学归纳法证明用数学归纳法证明B3.( ),2,( )2,( )A.p(n) B.p(n)C.p(n) D.p(n)1p nnknkp nnnnnn如果命题对成立 则它对亦成立又若对成立 则下列结论正确的是对所有正整数 成立对所有偶正整数 成立对所有奇正整数 成立对所有比 大的自然数 成立B4.,(),1,5,( )A.6 B.6C.4 D.4nnk kNnknnnnn某个命题与自然数 有关 若时 该命题成立 那么可推得时该命题也成立 现在已知当时 该命题不成立 那么可推得当时该命题不成立当时该命题成立当时该命题不成立当时该命题成立CD.10 C.9 B.8 A.7) (,64127214

9、1211. 51起起始始值值至至少少就就应应取取为为成成立立式式用用数数学学归归纳纳法法证证明明不不等等 nB题题成成立立证证明明命命为为正正奇奇数数假假设设命命题题成成立立证证明明假假设设成成立立证证明明命命题题为为正正奇奇数数假假设设命命题题成成立立证证明明假假设设正正确确的的证证法法是是在在第第二二步步时时整整除除能能被被是是正正奇奇数数时时当当用用数数学学归归纳纳法法证证明明2, )(D.1),(12C.1, )(B.1),(A.) (,. 6 knkknknNkknknkknknNkknyxyxnnnD132. 1k12kC. 1)B.2(2k 1A.2k) (1)().12(312

10、)()2)(1(. 7 kkDkkNnnnnnnn左左端端需需增增乘乘的的代代数数式式是是到到从从用用数数学学归归纳纳法法证证明明B )34)(1()12(2)2()12()5443()3221(:. 8222222 nnnnnnn用数学归纳法证明用数学归纳法证明.?2)()()()1()2()1()(,131211)(. 9并并证证明明结结论论的的一一切切自自然然数数成成立立对对使使等等式式是是否否存存在在设设 nngnfngnfffngnnf二二. .用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题.?,)3(. 2,证证明明你你的的结结论论共共有有多多少少条条这这样样的的直直线线直直线线

11、过过这这些些点点中中任任意意两两点点作作同同一一条条直直线线上上其其中中任任何何三三点点都都不不在在个个点点平平面面上上有有例例 nNnn特别提示特别提示: : 用数学归纳法证几何问题用数学归纳法证几何问题, ,应特别注意语言叙述正应特别注意语言叙述正确确, ,清楚清楚, ,一定要讲清从一定要讲清从n=kn=k到到n=k+1n=k+1时时, ,新增加量是多少新增加量是多少. .一般地一般地, ,证明第二步常用的方法是加一法证明第二步常用的方法是加一法, ,即在原来的即在原来的基础上基础上, ,再增加一个再增加一个, ,也可以从也可以从k+1k+1个中分出一个来个中分出一个来, ,剩剩下的下的k

12、 k个利用假设个利用假设. .504.15:?.Pn习题第 题 凸 边形有多少条对角线 证明你的结论下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明凸边形的对角线条数凸边形的对角线条数解解).3)(3(21)(: nnnnfn.,. 0)33(321)3(,3)1(命命题题成成立立而而三三角角形形没没有有对对角角线线时时当当 fn11)2(,1,1).3)(3(21)(,)2(111 kkAAkAAkkknkkkkfkknkkk增加的对角线条数为增加的对角线条数为边形的一边边形的一边原原不相邻顶点连线再加上不相邻顶点连线再加上与与点点增加的对角线条数是顶增加的对角线条数是顶增加了一个顶点增加了一个顶点

13、增加了一边增加了一边边形的基础上边形的基础上边形是在边形是在时时当当边形的对角线的条数边形的对角线的条数即凸即凸时命题成立时命题成立假设当假设当 .3,)2(),1(,13)1()1(21)2)(1(21 )2(211)3(21)1(2命命题题成成立立可可知知对对任任何何由由命命题题成成立立时时故故 nNnknkkkkkkkkkkf504.16:,?Pn习题第 题 平面上有 条直线 其中任意两条都相交任意三条不共点 这些直线把平面分成多少个区域 证明你的结论22:( )2nnnf n解 这样的 条直线把平面分成的区域数目为下面用数学归纳法证明(1)1,(1)2,1.nfn当时 一条直线将平面分

14、成两部分时命题成立22(2)(),( ),21,1,1,1.kknk kNf knkkkkkkk假设当时命题成立 即有当时 第条直线与前面 条直线有 个不同交点即它被前面 条直线截成段 其中每一段都把它所在的原区域一分为二 也即使原区域数目增加2222(1)( )112k34(1)(1)2 221,(1)(2),kkf kf kkkkkknkn 故当时 命题成立由可知 对任意正整数命题成立补充练习：补充练习：.2)(:,2个个部部分分个个圆圆把把平平面面分分成成这这求求证证不不相相交交于于同同一一点点并并且且每每三三个个圆圆都都两两点点其其中中每每两两个个圆圆都都相相交交于于个个圆圆有有 nnnfnn命命题题成成立立时时又又个个部部分分即即一一个个圆圆把把平平面面分