南航戴华《矩阵论》第四章l矩阵的因子分解

1、第第4 4章章 矩阵的因子分解矩阵的因子分解4.1 4.1 初等矩阵初等矩阵4.2 4.2 满秩分解满秩分解4.3 4.3 三角分解三角分解4.4 QR4.4 QR分解分解4.5 Schur4.5 Schur定理与正规矩阵定理与正规矩阵4.6 4.6 奇异值分解奇异值分解4.1 4.1 初等矩阵初等矩阵初等矩阵初等矩阵 设 ，为一复数，如下形式的 矩阵nCvu,) 1 . 1 . 4(),(HuvIvuE称为初等矩阵初等矩阵.使得和可适当选取对任意非零向量vuCban,)3()3 . 1 . 4(),(bavuE 初等矩阵E(u,v,)具有如下性质：;1),(det() 1 (uvvuEH矩阵

2、也是初等矩阵可逆，并且其逆，则如果),(1)2(vuEuvH)2 . 1 . 4(),(),(1vuEvuE.1uvH其中初等下三角矩阵初等下三角矩阵，则令1,), 0 , 0(, 1iTniiiievlllu) 1 ,()(iiiiielElLL称为初等下三角矩阵初等下三角矩阵, 即)4 . 1 . 4(1001101)(, 1iniiTiiiiillelIlLL. )() 1,(, 1)det(1 . 1 . 41iiiiiilLelELL并且知由定理对初等下三角矩阵，当i 0,则存在 mr 矩阵B 和 rn 矩阵 C 使得BCA 并且rank(B) = rank(C) = r. 什么是矩

3、阵的满秩分解？ 矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩 分解是否唯一？ 如何计算矩阵的满秩分解？ 满秩分解有什么应用？ 满秩分解的应用： 有关结论的证明。 计算广义逆矩阵。4.3 4.3 三角分解三角分解 设A = (aij)是n 阶矩阵，如果 A 的对角线下(上)方的元素全为零，即对i j, aij = 0（对i j,aij = 0），则称矩阵 A 为上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵三角矩阵。对角元全为1的上（下）三角矩阵称为单位上（下）三角矩阵单位上（下）三角矩阵。 什么是矩阵的LU分解？ 矩阵的LU分解是否存在？如果存在， LU分解 是否唯一？ 如何

4、计算矩阵的LU分解？ LU分解有什么应用？上（下）三角矩阵的性质上（下）三角矩阵的性质 （LU分解定理分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使得LUA 的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零, 即1, 1,011nkkkAk（LDU分解定理分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵D=diag(d1, d2,dn )和单位上三角矩阵U使得LDUA 的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即 ，并且) 1, 1(0niknkdadkkk, 2,1111分解式 称为矩阵A的LDU分解分解。LDUA 一般说来，即使A是n阶

5、非奇异矩阵， A未必能作LU分解和LDU分解。 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,n)，以 为列作成的矩阵 称为 n 阶排列矩阵排列矩阵，其中 是1,2,n的一个排列。neee,21,21niiieeeniii,21 设 A是 n 阶非奇异矩阵，则存在排列矩阵P 使得LDUULPA其中L是单位下三角矩阵, 是上三角矩阵，U是单位上三角矩阵，D是对角矩阵。U 排列矩阵的性质。 排列矩阵的作用。LU分解的应用： 求解线性方程组。 求解矩阵特征值问题。4.4 QR 4.4 QR 分解分解 设 A是 n 阶非奇异实（复）矩阵，则存在正交（酉）矩阵 Q 和非奇异实（复）上三角矩阵 R使得) 1

6、 . 4 . 4(QRA且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角 什么是矩阵的QR分解？ 矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解 是否唯一？ 如何计算矩阵的QR分解？ QR分解有什么应用？ 设A 是 矩阵，且 ，则存在 m 阶正交（酉）矩阵 Q 和 行满秩矩阵 R使得nm0)( rAranknr0RQA或A有分解RQA1行满秩矩阵。是列正交规范矩阵，是其中nrRrmQ1 设 A 是 实（复）矩阵，且其n 个列向量线性无关，则存在m 阶正交（酉）矩阵Q 和 n阶非奇异实（复）上三角矩阵R使得0RQAnmQR分解的应用： 求解线性方程组。 求解矩阵特征值问题。 求解线性最小二乘问题。4.

7、5 Schur4.5 Schur定理与正规矩阵定理与正规矩阵使得矩阵阶正交（酉），如果存在UnCRBAnnnn)(,)(11BAUUAUUBAUUAUUHT则称A正交（酉）相似于正交（酉）相似于B。 任何一个n 阶复矩阵A都酉相似于一个上三角矩阵，即存在一个n 阶酉矩阵U 和一个n阶上三角矩阵 R 使得) 1 . 5 . 4(RAUUH其中R 的对角元是A 的特征值，它们可以按要求的次序排列。，如果nnCA)5 . 5 . 4(AAAAHH则称A为正规矩阵。 n 阶矩阵 A 酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵。 若 A是n 阶Hermite矩阵，则 A必酉相似于实对角矩阵，即

8、存在n 阶酉矩阵U 使得)6 . 5 . 4(AUUH特征值。的实是，其中Anidiagin), 1(),(1矩阵矩阵A的谱分解式的谱分解式。 设A，B 均为n 阶正规矩阵，并且AB = BA，则存在n 阶酉矩阵U 使得 与 同时为对角矩阵。AUUHBUUH定理定理4.5.4 4 任何n 阶实矩阵A都正交相似于一个拟上三角矩阵，即存在一个n阶正交矩阵Q和一个n阶拟上三角矩阵R使得)7 . 5 . 4(RAQQT其中R是块上三角矩阵（或称拟上三角矩阵）,其对角块为1阶块或2阶块,每个1阶块是A的实特征值,而每个2阶块的两个特征值是A的一对共轭复特征值,且R的对角块可以按要求的次序排列。 若 A是

9、n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于实对角矩阵，即存在n 阶正交矩阵 Q 使得)13. 5 . 4(AQQT特征值。的实是，其中Anidiagin), 1(),(14.6 4.6 奇异值分解奇异值分解则设引理,1 . 6 . 4nmCA) 1 . 6 . 4()()()(ArankAArankAArankHH则设引理,2 . 6 . 4nmCA；的特征值均为非负实数与HHAAAA) 1 ().()()2(ArankAAAAHH等于重特征值按重数计算值的个数且非零特征的非零特征值相同，并与使得和非零向量如果存在非负实数设mnnmCvCuCA,)2 . 6 . 4(,uvAvAuH则称为A的奇异值奇异值，u 和v 分别称为A对应于奇异值的右奇异向量右奇异向量和左奇异向量左奇异向量。) 3 . 6 . 4(2uvAAuAHH)4 . 6 . 4(2vAuvAAH的特征向量。对应于特征值和分别是和的特征值，而的特征值，也是是因此