合工大数字信号处理习题标准答案2和3章-朱军版

1、合工大?数字信号处理?习题答案第2章习题2.1 用单位脉冲序列6(n)及其加权和表示题1图所示的序列.2.2 x(n)=、(n4)2、(n2)-、(n1)、(n)、(n-1)2、(n-2)4、(n-3)0.5、(n-4)2、(n-6)2.3 请画出以下离散信号的波形.(1) 口iu(n)2(_2)nu(n)(3) 2n%(n-1)(4) u(n-1)-u(n-5)答案略(5) 判断下面的序列是否是周期的,假设是周期的,确定其周期.(1)x(n)=Acos(-二n-JI8)A是常数;2.3(2)J、j(-n-：)x(n)=e2二.014所以周期为14.2二,一一,、,(2) =16几,是无理数,

2、所以x(n)是非周期的.'0x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出,判断系统2.4设系统分别用下面的差分方程描述,是否是线性非时变的.(1) y(n)=x(n-n0)(2) y(n)=x2(n)(3) y(n)=x(n)sin(n)(4) y(n)=ex(n)2.4(1)由于Tx(n)=x(nn0)Tx(n-m)=x(n-m-n0)=y(n-m)所以是时不变系统.Tax1(n)bx2(n):ax1(n-n0)bx2(n-n0);ay1(n)by2(n)所以是线性系统.2,(2) Tx(n-m)=x(nm)=y(n-m),所以是时不变系统.2Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+

3、bx2(n)#ay1(n)+by2(n),所以是非线性系统.(3) Tx(nm)=x(n-m)sin(ccn)手y(n-m),所以不是时不变系统.Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)sin(on)=ay1(n)+by2(n),所以是线性系统.(4) Tax1(n)+bx2(n)=eax1桢2=eax|(n)ebx2¥ay1(n)+by2(n),所以是非线性系统.Tx(n-m)=ex(nm=y(n-m),所以是时不变系统.2.5给定下述系统的差分方程,试判定系统是否是因果稳定系统,并说明理由.(1) y(n)=x(n)x(n1)(2) y(n)=x(n-n0)(3)

4、 y(n)=ex(n)nn.(4) y(n)=x(k)kzB-Oo2.5(1)该系统是非因果系统,由于n时刻的输出还和n时刻以后(n十1)时间)的输入有关.如果|x(n)|MM,那么|y(n)|M|x(n)|+|x(n+1)|M2M,因此系统是稳定系统.(2)当no<0时,系统是非因果系统,由于n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关.当no之0时,系统是因果系统.如果|x(n)|WM,那么|y(n)|M,因此系统是稳定系统.(3)系统是因果系统,由于n时刻的输出不取决于x(n)的未来值.如果|x(n)|EM,那么|y(n)|斗ex(n)|4e1x(n)1<eM,因此系统是稳定系统.(

5、4)系统是非因果系统,由于n时刻的输出还和x(n)的未来值有关.如果|x(n)|<M,nn0那么,Iy(n)区£|x(k)国2n0+11M因此系统是稳定系统.k生,I.2.6以下序列是系统的单位冲激响应h(n),试说明该系统是否是因果、稳定的.(1) h(n)=2nu(n)(2) h(n)=2nu(_n)(3) h(n)=、.(n2),、1,、(4)h(n)=u(n)n2.6(1)当n<0时,h(n)=0,所以系统是因果的.由于QO一012.、|h(n)尸222-二二n二二二所以系统不稳定.(2)当n父0时,h(n)#0,所以系统是非因果的.由于QO一012'|h

6、(n)|=222=2n二二二所以系统稳定.(3)当n<0时,h(n)¥0,所以系统是非因果的.由于O0%|h(n)|=1n二一二二所以系统稳定.(4)当n<0时,h(n)=0,所以系统是因果的.由于111|h(n)|27£=二n=012所以系统不稳定.2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题2.7图所示,试求输出y(n).2.7y(n)=h(n)x(n)=2、(n)-S(n-1)0.5、(n-2)x(n)=2x(n)x(n-1)0.5x(n-2)=2(n2)-、(n1)-0.5、(n)2、(n-1)、(n-2)4.5、.(n-3)2、(

7、n-4)、(n-5)2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况,分别求出输出y(n).(1) h(n)=R3(n),x(n)=R3(n)(2)h(n)=R4(n),x(n)=6(n)6(n-2)(3) h(n)=0.5nu(n),x(n)=R5(n)2.8(1)y(n)=x(n)h(n)=R3(n)R3(n)=、(n)、(n-1)、(n-2)R3(n)=R3(n)R3(n-1)R3-2)=、(n)、(n7)、(n-2)c(n-1)、(n-2)、(n-3)、(n-2)、(n-3)i$(n-4)=、(n)2、(n-1)3(n-2)2、(n-3)、(n-4)(2)

8、 y(n)=x(n)h(n)=c(n)-"(n-2)R4(n)=R4(n)-R(n-2)二、(n)、(n-1)、(n-2)、(n-3)-卜(n-2)、(n-3)、(n-4)、(n-5)=(n)(n7)-'(n-4)-(n-5)(3)y(n)=x(n)h(n)=0.5nu(n)R5(n)=0.5nu(n)(n)(n7)、(n2)(n3)(n-4)=0.5nu(n)0.5n4u(n-1)0.5n'u(n-2)0.5n%(n-3)0.5n"u(n-4)2.9确定以下信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔.(1) Sa(100t)2,(2)Sa(100t)(3)Sa(1

9、00t)Sa(50t)2.9假设要确定奈奎斯特采样间隔,必须先求出信号频谱的最高频率.(1)抽样函数对应于门函数：G?t)TEaa(即/2),其中E为门函数的宽度.由傅立叶变换的对称性知:E.Sa(t./2),2二G(.)由题可知,2=2000因此,此信号的最高频率是100弧度/秒.因此,2fs_100.2即,fs100冗Ts=100(2)信号为两个抽样函数的乘积,因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积.由卷积积分的结果来确定信号频谱的范围.通过上一题目可知,Sa(100t)信号的最高频率为100弧度/秒,因此相卷积后的最高频率是200弧度/秒.fsTs200(3)由傅立叶变换的线性,总信号的频谱

10、为两个信号频谱的叠加,然后确定最高频率.2.10设系统由下面差分方程描述：,、11,小y(n)=-y(n-1)x(n)2x(n-1)设系统是因果的,(1)求该系统的单位脉冲响应.(2)利用卷积和求输入x(n)=eju(n)的响应.2.10(1) x(n)=用n),由于y(n)=h(n)=0,n<0所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5n-1h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n1所以h(n)=0.5n-1u(n-1)+1n)

11、(2) y(n)=x(n)*h(n)=0.5n-1u(n-1)+9(n)*ejwnu(n)=0.5n1u(n-1)*ejwnu(n)+ejwnu(n)=ejwn-0.5n/(ejw-0.5)u(n-1)+ejwnu(n)(3) 1有一理想抽样系统,抽样频率为Cs=6几,经理想低通滤波器Ha(jC)复原,其中1Ha(j,)=2,0,|-3今有两个输入,Xajt)=cos2nt,xa2(t)=cos5M.输出信号yajt)、ya2(t)有无失真为什么2.11根据奈奎斯特定理：6二由于Xa1(t)=cos2nt,而频谱中最高角频率Q=2k<,所以ya1(t)无失真.a126二由于xa2(t)=

12、cos5E,而频谱中最局角频率Ga=5nA,所以ya2(t)失真.22222.12有一连续信号Xa(t)=C0S(2nft+中),式中f=20Hz,中=土2(1)求出xa(t)的周期;(2)用采样间隔T=0.02s对xa(t)进行采样,试写出采样信号Xa(t)的表达式.2.121(1) Ta=0.05sfqQqQXa(t)=Xa(t)、T(t)=JXa(nT)、.(tnT)=-cos(2二fnT)(tnT)n二：二n二二二oO=cos(40二nT)、(t-nT)n=一二第3章习题3.1 求以下序列的z变换,并标明收敛域.(1) x(n)=、(n4)(5)x(n)-0.5nu(n-1)(6)x(

13、n)=n(0.2jnu(n)答案：3.1解(1)由z变换的定义可知,X(z)=ES(n4)z'=z",z=0n=-二(2)_nn)zX(z)=Jn一.二oOn21一1i'|z|>71z-5z,2z2(3)X(z)=:n-n-1)z6=£-n-1COn1-211二1z21|z|二J01n(4)X(z)=£-zn4ndX(z)：1/由于八-(-n)zdzn4nQO-/n1xf(-z)=n1那么X(z)=lnz-ln(1-z)=lnz1-z而X(z)的收敛域和四豆的收敛域相同,所以X(z)的收敛域为|z|>1OX(z)(5)由于x(n)=0.

14、5nu(n-1)=0.5nJ1u(n-1)0.5所以X(z)=0.5z,0.5z-0.5z-0.5,|z|0.5(6)利用-zd=ZTnx'(n)由于X1(z)-z-0.2所以X(得二zdz(z-0.2)0.2z2,|z|>0.2(z-0.2)23.2 X(z)-3z(1)收敛域为0.5<|z|<2对应的原序列x(n)；(2)收敛域|z|>2对应的原序列x(n).-3z3.2X(z)=2-5z42z-3z2z2-5z2zz1 z-2z-12(1)x(n)=11u(n)2nu(-n-1)2(2)x(n)=1-2nu(n)<2J3.3序列x(n)的傅立叶变换为

15、X(e侬),试求以下序列的傅立叶变换.(1) x1(n)=x(nn0)(2) x2(n)=x(n)(3)x3(n)=x(-n)(4)xjn)=x(-n)x2(5)xs(n)=(n-1)2x(n)3.3 (1)Xi(e,=e,0X(ejm)(2)X2(ej)-X<eJ)(3)X3K)=X(e)(4)由于DTFTx*(-n)=X*(ej0)jwX"(ej)X(ej)j.X4(ejw)=ReX(ej)2(5)由于X(eje°)=Zx(n)e-劭,所以n二.：二dX/：x(n)(-jn)e-jndn=.二即dX(ej)DTFTnx(n)=j-d同理DTFTn2x(n)二d2X

16、(ej')d一而2,、2x5(n)=(n-1)x(n)=nx(n)-2nx(n)x(n)X5(ej)=_dX(E)-2jdX(eJ)X(ej)ddX(e心),完成3.4 设题3.4图所示的序列x(n)的傅立叶变换用X(e心)表示,不直接求出以下运算：(1) X(ej0)(2) X(ej)d,(3) X(ej")j2(4) |X(ej)|2d题3.4图(西电,丁玉美,P64,题5图)00O03.4 (1)X(ej0)=工x(n)e70n=Zx(n)=6n-：n=.二JI公(2) fX(e0)edco=2;ix(n)X(ej)d=2二x(0)=4二=2(3) X(ej二)=x(n

17、)ejn=X-x(n)(-1)n=1-12-1-12-11n二.：二n二.二二3T,(4)'X(ej)|%皿=2二|x(n)|2=28二3.5 用留数定理法分别求以下X(z)的z反变换:1-1z11X(z)=-2一,|z|>-;1-修24X0J'z,|z|<1,1141z3.5(1)X(z)=d1i1z-21z41211Ti1z-2n1、一1zn'dz,设c为|z|>内的逆时针方向的闭合曲线.二2在c内有Z二21-一个单极点,那么211z-2x(n)=Reszn,J=(4nu(n)z222又由于x(n)是因果序列,故n<0时,x(n)=0.所以1

18、 nx(n)=(-)u(n)(2)x(n)=,qX(z)zndz,设c为zK1内的逆时针方向的闭合曲线.2-jc41当n<0时,X(z)z在c外有一个单极点z=-,那么4x(n)=-ReSX(z)znY=7(J)n44n1_当n=0时,X(z)z在c内有一个单极点z=0,那么x(n)=ResX(z)zn,0=8当n>0,X(z)zn在c内有没有极点,那么x(n)=0综上所述,x(n)=8、(n)7(1)nu(-n-1)3.6 试求如下序列的傅立叶变换：(1) x(n)=6(n-3)(2) x(n)=anu(n),0<a<1(3) x(n)=e/(n)(4) x(n)=e

19、,(n)cos(0n)3.6(1)X(ej,)=e3(2)由于X(z)=X(ej)11-azJ1(3)X(ej)X(ej)1-ae11 .e%,1 -eje'cos01-2ej厂cos0e_2jea3.7 以下因果序列x(n)的z变换为X(z),求该序列的初值x(0)和终值x().(1)X(z)=(1-zJ)(1-2zJ)X(z)=(1-0.5zd)(10.5z)3.8 (1)x(0)=limX(z)=1z:由于极点有一个在单位圆外,所以终值不存在.(2)x(0)=limX(z)=0zj二二x(二)-lim(z-1)X(z)-03.8用卷积定理求以下卷积和.1.1 y(n)=5nu(n

20、)、(n-2)(2)y(n)=5nu(n)u(n1)3.8 由y(n)=x(n)*h(n)可知Y(z)=X(z)H(z)(1)y(n)=5n,(n-2)(2)Y(z)=-1一z4y(n)二95n1u(n1)-u(n1)443.9 用z变换法解以下差分方程：(1) y(n)_0.9y(n_1)=0.05u(n),y(n)=0,n<-1(2) y(n)-0.8y(n-1)+0.15y(n-2)=6(n),y(1)=0.2,y(2)=0.5,y(n)=0,n<-313.9 (1)Y(z)0.9Y(z)z,=0.05-j1一zY(z)=0.05(1_0.9z)(1-z)0.05z2(z-0

21、.9)(z-1)=0.5(zz-1卫)z-0.9y(n)=0.5u(n)-0.45(0.9)nu(n)(2)Y(z)0.8zY(z)+y(-1)z+0.15zY(z)+y(-1)z+y(-2)z2=1Y(z)1.085-0.03z1-0.8z,0.15z/当n至0时,_n-1F(z)=Y(z)z11.085-0.03z_nZ422z1-0.8z0.15z1.085z-0.03nz(z-0.5)(z-0.3)0.2955y(n)-ResF(z),0.3ResF(z),0.5=0.2n0.51250.3n0.2n0.5-1.4775*0.3n0.25625*0.5n3.10 线性时不变因果系统用下

22、面差分方程描述：y(n)-2ry(n-1)cosr2y(n-2)=x(n)式中x(n)=anu(n),试求系统的响应.3.11 x(n)=anu(n),那么y(n)-2ry(n-1)cos-r2y(n-2)=anu(n)将上式进行z变换,得1.oo1Y(z)-2rY(z)zcosrY(z)z=3z(z-a)(z-z1)(z-zz)1-az因此,Y(z)=1(1-2rz4cos-r2z-2)(1-az4)式中,z1=rej°,z2=re6.由于系统是因果的(h(n)是因果序列),且x(n)也是因果序列,所以y(n)是因果序列.因此,Y(z)的收敛域为：|z|max(r,a),且n<

23、;0时,y(n)=0.1y(n)=-Y(z)zAdz,c包含3个极点：a,z1,z2.2二jcF(z)=Y(z)zn(z-a)(z-z2)(z-Z2)zn2y(n)=ResF(z),aResF(z),ziResF(z),z2(z-a)岛(z-a)(z-zi)(z-z2)(z-a)(z-zi)(z-z2)(z-Zi)|zz+(z-a)(z-zi)(z-Z2)(Z-Z2)|zn2Zi式中,Xi(e叼和X2(ej叼分别表示x(n)和x2(n)的傅立叶变换.n2Z2(a-zi)(ay)(zi-a)(ziy)S-a)%一乙)(re"j1-a)(rej)n2jrsin(re-171-a)(re-

24、a)3.11如果xi(n)和X2(n)是两个不同的因果稳定实序列,求证:._Xi(ej)X2(ej)d,=；._Xi(ej)d.?._X2(ej)d22"："-(rej71-a)(rejT1)n22jrsinBan23.11令丫(ejw)=Xi(ejw)X2(ejw),y(n)=xi(n)x2(n)Ji又x(n)=fX(ejw)ejwndw,可知x(0)=X(ejw)dwy(0)=xi(n)-x2(n)|n%二、xi(m)x2(nm)|n-'x(m)x2(m)由于x(n),x2(n)都是因果序列,所以上式中的m只能为0值,因此y(0)=Xi(0)X2(0)所以17r

25、17r17rXi(ejW)X2(ejW)dwXi(ejw)dwX2(ejw)dw2二2二2二-JE-31-313.12研究一个满足以下差分方程的线性时不变系统,该系统不限定为因果、稳定系统.利用方程的零、极点图,试求系统单位冲激响应的三种可能选择方案.,)、5,y(n-1)-5y(n)y(n1)=x(n)3.12H(z)=z/亿力一z0.5=2_2z-1z-z-0.5z-1鼓励为x(n)=0.5nu(n)的零状态响应:-2.5z+1)=2/3z/(z-2)-z/(z-0.5)(1)|z|>2,h(n)=2/32n-0.5nu(n)系统是非稳定但是因果的.(2) |z|<0.5,h(

26、n)=-2/32n-0.5nu(-n-1)系统是非稳定是非因果的(3) 0.5<|z|<2,h(n)=-2/32nu(-n-1)+0.5nu(n)系统是稳定但是非因果的3.13(1)某离散系统鼓励为x(n)=u(n)时的零状态响应为y(n)=2(10.5u)u(n),求激励为x(n)=0.5nu(n)的零状态响应.(2)一离散系统的单位冲激响应为h(n)=0.5n-0.4nu(n),写出该系统的差分方程.Y(z)3.13(1)H(z)=X(z)1z-0.5Y(z)=H(z)X(z)1zz-0.5z-0.5z2(z-0.5)y(n)=2n(0.5)nu(n)(2)h(n)=0.5n0.4nu(n)y(n)=0.1x(n-1)0.9y(n-1)-0.2y(n-2)H(z)Y(z)X(z)zz-0.5z0.1z0.1z'z-0.4z2-0.9z0.21-0.9z"0.2z3.14线性因果系统用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n-1