向量公式汇总

1、向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x'， y+y') 。a+0=0+a=a 。向量加法的运算律：交换律： a+b=b+a；结合律： (a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果 a、 b 是互为相反的向量，那么a=-b ，b=-a ， a+b=0. 0 的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数 和向量 a 的乘积是一个向量，记作a，且 a = ? a。当 0 时，a 与

2、 a 同方向；当 0 时，a 与 a 反方向；当 =0 时， a=0，方向任意。当 a=0 时，对于任意实数，都有 a=0。注：按定义知，如果a=0，那么 =0 或 a=0。实数 叫做向量 a 的系数，乘数向量 a的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩。当 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（0）或反方向（ 0）上伸长为原来的倍；当 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（0）或反方向（ 0）上缩短为原来的倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： ( a)?b=(a?b)=(a? b) 。向量对于数的分配律（第一分配律）：( +)a= a+a.数对于向量的分配律（第二分配律

3、）：(a+b)= a+b.数乘向量的消去律： 如果实数 0且 a=b，那么 a=b。 如果 a0且 a=a，那么 =。4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b 。作 OA=a,OB=b,则角 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作 a,b 并规定 0 a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若 a、b 不共线，则a?b=|a|?|b|?cos a，b；若 a、 b 共线，则 a?b=+- a b。向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y' 。向量的数量积的运算律a?b=b?a（交换律）；( a)?b=(a?b)( 关于数乘法的结合

4、律) ；（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；向量的数量积的性质a?a=|a| 的平方。a b =a?b=0。|a?b| |a|?|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c a?(b?c) ；例如： (a?b)2 a2?b2。2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a 0) ，推不出 b=c 。3 、|a?b| |a|?|b|4 、由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b 。5、向量的向量积定义：两个向量 a 和 b 的向量积（外积、 叉积）是一个向量， 记作 a×b。若 a、b 不共线，则 a×b的

5、模是： a×b=|a|?|b|?sin a，b； a×b的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、b和 a×b按这个次序构成右手系。若 a、 b 共线，则 a×b=0。向量的向量积性质：a×b是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。a×a=0。ab =a×b=0。向量的向量积运算律a×b=- b×a；（ a）× b=（ a×b）=a×（ b）；（a+b）× c=a×c+b×c.注：向量没有除法，“向量AB/向量 CD”是没有意义的。向量的三角形不等式

6、1 、 a - b a+b a + b； 当且仅当 a、 b 反向时，左边取等号； 当且仅当 a、 b 同向时，右边取等号。2 、 a - b a-b a + b。 当且仅当 a、 b 同向时，左边取等号； 当且仅当 a、 b 反向时，右边取等号。6. 定比分点定比分点公式（向量P1P=?向量 PP2）设 P1、 P2 是直线上的两点，P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点。则存在一个实数，使 向量 P1P=?向量 PP2， 叫做点 P 分有向线段 P1P2所成的比。若 P1（ x1,y1) ， P2(x2,y2) ， P(x,y) ，则有OP=(OP1+OP2)(1+) ；（定比分点向

7、量公式）x=(x1+ x2)/(1+ ),y=(y1+ y2)/(1+ ) 。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若 OC=OA +OB , 且 +=1 , 则 A、B、C 三点共线三角形重心判断式在 ABC中，若 GA +GB +GC=O,则 G 为 ABC的重心 编辑本段 向量共线的重要条件若 b0，则 a/b的重要条件是存在唯一实数，使 a=b。a/b的重要条件是xy'-x'y=0。零向量 0 平行于任何向量。 编辑本段 向量垂直的充要条件a b 的充要条件是a?b=0。a b 的充要条件是xx'+yy'=0。

8、零向量 0 垂直于任何向量 .空间向量令 a =(a 1,a2,a 3), b(b1 ,b2 , b3 ) ，则共线向量 ：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.a b a1b1 ,a 2 b 2 ,a 3b3 (a1a 2a 3R)b2b 3b1如果三个向量a, b, c 不共面 ：那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x、y、 z，使 px a yb zc .推论：设O 、 A 、 B 、 C 是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、 y、 z 使OP xOAyOBzOC (这里隐含 x+y+z 1).向量垂直aba1b1 a 2

9、 b 2a 3 b30 。空间两个向量的夹角公式（ a (a1, a2 , a3 ) ，b (b1, b2 ,b3 ) ）。空间两点的距离公式：d( x2 x1 ) 2(y2y1 ) 2( z2 z1 )2 .利用法向量求点到面的距离：如图， 设 n 是平面的法向量， AB 是平面，则点 B 到平面| ABn |的一条射线， 其中 A的距离为.| n |.异面直线间的距离uuuruurrd|CDn |l1, l2 是两异面直线，其公垂向量为r(n ， C、D 分别是 l1 ,l 2 上任一点， d 为 l1 , l2 间的距离 ).| n |B 到平面的距离uuuruurrd| AB n |的法向量， AB 是经过面的一条斜线，A） .r（ n 为平面| n |直线