抛物线地性质归纳与证明

1、抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明过抛物线y2= 2px (p>0)焦点F的弦两端点为A(xyj , B(X2, y2),倾斜角为，中点为C(xo,y 0),1.求证:分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，P ；1 cos '垂足为A'、B'、焦半径| AF | % 号2=p ；弦长 1 1 | AF| BF|X1 =X2( =90 )时，2=p .2 si n证明：根据抛物线的定义，|AF|焦半径| BF | X2弦长 | AB |= X1 + X2 + p=P 2 2

2、p .2 sin_p_1 cos;特别地，当|AB|最短，称为通径，长为：卩：厶AOB的面积 &oabp=1 AD| = X1 + 2， 1 BF = 1BC| = X2+ p,| AB| = | AF | + | BF | = Xi + X2 + p2p .2 sin1Saoab= Sa oaf+ S obf=| OF| y1 |1 " 1+ 2l OF| y1 I = 2p2 (I yi I +1yi I)2p S oab= pi y1 - y2sinxl2 +yP 4=44mip2 + 4p2 =与屮 + m =p21122.求证：也匸'炖2 P :| aF|

3、+ | BF| = p当AB丄x轴时，有af BF p,成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦 AB的方程为:y k x卫.代入抛物线方程:22k2 x卫2px.化简得：k2x222pk2 2x 印2方程（1 ）之二根为xi , X2, xx21厶1_ 丄 _1_ _1AF BF AA BB111X1X2px px pp2px1x2XtX2xX22224X-|x2pX1X2 p222p xpppX2ppX1X2X142423.求证：AC'BA'FB'Rt Z .yA'C'CxK B'FB先证明：/ AMB= Rt /【证法一】延长 AM交BC的延长

4、线于E,如图则 ADIWA ECM|AM|=|EM|, | EC| =| AD |IBE|=|BC|+1 CE | = | BC|+1 AD|=| BF| + | AF| = | AB| ABE为等腰三角形，又 M是 AE的中点, BMLAE 即/ AM= Rt /【证法二】取 AB的中点N,连结MN则I MN = !(| ADI + IBC|)=刃 AF| +1 BF |)=舟| AB| , | MN = | AN|=| BN| ABM为直角三角形,AB为斜边，故/ AM= Rt Z .yi+y2)2 ).【证法三】由已知得 C( 2， y2)、D 2, yi)，由此得M 2,2p) p，同

5、理kBM卫yiy2yi+ y2 yi 丐.kAM=Xi+ Pyiy2P(yiy kAM kBM= Pyi= 2=c yi2 '+ p2pr2 2p_ p p _ 2 y2yiy2 p2 2yi + pp( y1 -2 2yi+ p BML AE 即 Z AM= Rt Z .【证法四】由已知得 C( 2, y2)、D( 2, yd ,p yi+y2)2， 2 ).HMa (Xi+p, 1Mb(X3+ py2 yi)2 )*A PB = (xi + p)(X2+ 2)+ (yi y2)( y2 yi)由此得M 42 2丄p 丄、丄p(yiy2)XiX2 +(Xi + X2)+2442 2

6、2 2 2 2p p yiy2p yi + y?2yiy2=4+2(茹+ 2p) + 4 42 2 22 + 业P + 土 o2 2 2 2飞A 丄订Mb，故Z AM= Rt Z .90 2(+) = 180 ，即 += 90 ，故Z DFC=【证法二】取CD的中点Mp y1 + y2 即M -p,才)-y- y-pP p p + + -2 2y1 kAM kcF, AM/ CF,同理，BM/ DF Z DFC=Z AM 90.【证法三】 T)F (p,- y1), _Cf (p,- y2),【证法五】由下面证得/ DFC= 90 ，连结FM贝U FM= DM又AD= AF,故厶ADIW AF

7、M如图4/ 1 = Z 2，同理/ 3 =Z 41/ 2+Z 3 = -X 180= 90/ AMB= Rt Z .接着证明：Z DFC= Rt Z【证法一】如图 5,由于| AD | = | AF | , AD/ RF, 故可设Z AFD=Z ADF=Z DFR=, 同理，设Z BFOZ BCF=Z CFR=,而Z AFDFZ DFRFZ BFOZ CFR= 180"Df 丄 Cf，故Z DF( 90- _Df CF p + yy 0【证法四】由于| RF| 2 p2- y/2 | DR| -| RC|，即| RF|，且Z DRF=Z FRC= 90I RC | DRFo FRC

8、Z DFR=Z RCF 而Z RCFFZ RF( 90Z DFRFZ RF( 904. C ' A、C' B是抛物线的切线2 pp y i【证法一】T kA心,AM勺直线方程为y yi = y( x帀)与抛物线方程y2= 2px联立消去x得p y2 yiy yi=y;(2p环)，整理得2 2y -2yiy + yi= 0., 2 2 可见= (2 yi) - 4yi= 0,2故直线AM与抛物线y= 2px相切,同理BMI也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y2 = 2px，两边对 x求导，(y2)图9(2px) x ,得 2y y x = 2p, y xp,故抛物线

9、y 2 2一斗yi+y2 yi+鸟旳2 2pxipp左边=yi =2=2= pxi2，2右边=p( 2+ xi) = p + pxi,左边=右边，可见，过点A的切线经过点 M即AM是抛物线的切线，同理 BM也是抛物线的切线5. C ' A、C' B分别是/ A' AB和/ B BA的平分线【证法一】延长 AM交 BC的延长线于 E,如图9,则厶 ADMPA ECM 有 AD/ BC AB= BE= 2px在点A(xi, yi)处的切线的斜率为p.y =yi =yip又kA= : . k切=kAM即AM是抛物线在点 A处的切线，同理BM也是抛物线的切线 yip yi +

10、y2【证法三】过点A(xi, yi)的切线方程为yiy= p(x+ xi)，把M 2，产)代入/ DAM / AEB=Z BAM即AM平分/ DAB同理BM平分/ CBA【证法二】由图9可知只须证明直线 AB的倾斜角 是直线AM的倾斜角 的2倍即可,/ tany2- yi 屮一yi=Kab=X2 Xi2P22 目2yiyi+y22p2ptanyi+ y2 .yi丁 =Kam=丄px1+2yi y2p( yi y2)2P p( yi )yi p tan 22ta n1 tan 22yi2 丁 + p2py1 + p212"yi+ pyi2pyi2pyi2pyi,=22= 2= tanp

11、 2 y2 py2+ yiy2 yi + y21 (yi)2p，即AM平分/ DAB同理BM平分/ CBA6. AC、A F、y轴三线共点,BC、B F、y轴三线共点【证法一】如图10,设AM与 DF相交于点G,由以上证明知| AD | | AF | , AM平分/ DAF故AG也是DF边上的中线, G是DF的中点.设AD与 y轴交于点D , DF与 y轴相交于点 G,易知，| DD| | OF | , DD/ OF 故厶 DDGA FOG I DG| | FG|，则G也是DF的中点. G与G重合（设为点 G ,贝U AM DF y轴三线共 同理BM CF y轴也三线共点.2pyi【证法二】A

12、M的直线方程为y yi= （x）,yi2p一Vi令x 0得AM与 y轴交于点G（0,；）,又DF的直线方程为y= yp（x 2），令x= 0得DF与y轴交于点G2（0 ,号）yi AM DF与y轴的相交同一点GO , 2），则AM DF、y轴三线共点,同理BM CF y轴也三线共点H.由以上证明还可以得四边形MHF是矩形.7. A O B'三点共线，B O A'三点共线.yiy i【证法一】如图ii, kOA= -= 2X1yi2pyi，2y22py22py22ppyiy2 yi k°A= koc,则A O C三点共线,同理D OB三点也共线.【证法二】设 AC与x轴

13、交于点 0 ，: AD/ RF/ BC.I RO I I CO I I BF I I 0 F I I CBIAD I I CAI I AB I ' I AF I I AB I ' AD I = I AF I , I BC I = I BF I ,I IAF |IRO I = I 0 F I，则0与0重合，即A三点共线，同理三点也共线【证法三】设AC与 x轴交于点0 IO F I =I CBII AF II ABII O，RF BCCB II AB I'I BFI I AFIAF II AFI +1 BFIipi=2【见证】I AFI +1 BF I 0 与0重合，则即

14、C O A三点共线，同理O B三点也共线.【证法四】 "Oc= ( 2, y2), "Oa = (xi, yi),2pyi p yi+= 022p2ppy1py1 讨心 y1 X1 y 2= 一 yi y =2p2 7 y2 72p 72 Oc / "Oa,且都以O为端点 A O C三点共线，同理 BOD三点共线【推广】过定点 R m, 0)的直线与抛物线2y = 2px (p> 0)相交于点 A、B,过A、B两点分别作直线I : x=- m的垂线，垂足分别为N,则A、ON三点共线,M三点也MM.AABNOPxxNBc,(m- n) tDORFxcoscl-

15、AC'C'CM'OOxBOxFK B'在Rt ABE中为直线AB的倾斜角图14过 B作 BE! AD于 E,则cosy轴相切；以AB为直径的圆与准线9.以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与且| AF| : | BF|【答案】60 或120相切；A ' B'为直径的圆与焦点弦 AB相切【例6】设经过抛物线两点A、B【证明】如图14,过A B分别作准线I的垂线，垂足分别为D,设 | AF| = mt, | AF| = nt，则| AD| = | AF| BC| =| BF| , | AE| = | AD| -1 BC|yA'-8.若

16、| AF| : | BF| = m: n,点 A在第3: 1，则直线AB的倾斜角的大小为m n) tm- ny2= 2px的焦点F的直线与抛物线相交于P O<yA' _yA'EA共线，如下图:八ycos/ BAE= | AB| = -)t| AB|(nu n) tnm ncos /BAE= munm nmu n10.【说明】如图15,设E是AF的中点,p,5+ xi2yi则E的坐标为（2, 2），则点E到y轴的距离为d=故以AF为直径的圆与y轴相切,同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15,1I MN = 2(|则圆心M到 I21AF|设M是AB的中点，作 MNL准线I于N,则AD| + | BC|) = ?(| AF| + |的距离 I MN = 2l AB| ,故以AB为直