直线方向向量的应用

1、直线方向向量的应用1. 定义7*设Pl、P2是直线I :丄、"上的不同两点，那么向量 :-以及与它平行的非零向量都称为直线I的方向向量，若 -1，则：的坐标为”-:; 兀 -1;特别当直线I与x轴不垂直时，即石亠D，直线的斜率k存在时， 那么(1，k)是它的一个方向向量；当直线 I与x轴平行时，方向向量可为(1，0);而无 论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(一 B, A),法向量为(A, B)2. 应用举例(1) 求斜率例1.已知直线的倾斜角为30°,直线'亠J，求直线的斜率。(2) 求直线方程例2.已知三角形三顶点坐标分别为A (2, - 3), B (- 7

2、, 9), C (18, 9),求AB边上的中线、高线方程以及/ C的内、外角平分线方程。(3) 求参数例3.已知】-,两直线；上一,' ' ,那么0为何值时，；'':'亠J。(4 )判断直线的平行与垂直设直线'!J- ,其方向向量为(一B, A),直线，L - -| ,其方向向量为(' -),那么当花匸二."当订匚匚.'例4.已知直线，：- ' - 与直线互相垂直，求a的值。(5)求两直线的夹角设直线 叫 » 上+ ，其方向向量为mi=(1 , k1)，直线5 y+，其方向向量为料二°，焉)

3、，设夹角为&,则 eg网5 =一出囤一込厂旳电十勺场I岡 十I 77* J】+圮；巫P丽 J摻+拐2、平移公式(1)点的平移：设 P (x, y)是任意一点，平移向量a= (ai, a2)后，点 P' ( x'=x+a 1 , y'=y+a2)。例1:把点A( -2，-1 )平移向量a =( 3，2)求对应点 A的坐标。(2 )图形平移函数y=f(x)的图象平移向量 a=(a1,a2)后，得到新图象的函数解析式为y-a2=f(x-a 1).例2:已知函数y=x2图象F,平移向量a=( -2，3)到F'的位置，求图象 F'的函数表达式(3)直线的平

4、移：直线Ax+By+C=O沿向量a(m,n)平移后的方程是 A(x-m)+B(y-n)+C=O例3:已知直线I: x-2y+m=0按向量a=(2,-3)平移后得到的直线I与圆(x-2)2+(y-1)2=5相切, m值？(4)向量的平移：向量 m = s, t，按a = h, k平移后得到的向量仍为m = s, t平面向量部分常见的题型练习类型(一)：向量的夹角问题1. 平面向量a,b，满足甘=1上=4且满足a.b = 2，则a与b的夹角为2. 已知非零向量a,b满足a = b，丄(b 2a)，则a与b的夹角为3. 已知平面向量a,b满足(at)(2a+b) = V且a =2,b =4且，贝U

5、a与b的夹角为hin 十 czw4. 设非零向量 a、b、c满足 |a F| bF|c|,a b = c，则 a, b-5. 已知a =2,” =3 a + b ="7,求a与b的夹角。6. 若非零向量a,b满足a = b ,(2a+b).b=0,则a与b的夹角为类型(二)：向量共线问题“rfc-rfc-1 .已知 A (1,3),B (- 2, - 3),C (x,7)，设 AB= a, BC= b 且 a/ b，则 x 的值为()(A) 0(B) 3(C)15(D) 18-fc-fe- H-I- h2. 已知a= (1, 2), b= (-3, 2)若ka+2b与2a-4b共线，

6、求实数 k的值；3. 已知a , c是同一平面内的两个向量，其中a= (1, 2 )若|C =25，且a / c,求c的坐标4.n为何值时，向量a =(n,1)与b = (4, n)共线且方向相同?5. 已知a =3,6 =(1,2),且a / b，求a的坐标。6. 已知向量 a = (2, - 1),b(-1, m),c = (-1,2)，若(a b)/ c,则 m=7. 已知a,b不共线，c=ka b,d = a-b，如果c / d，那么k=,c与d的方向关系是类型(三)：向量的垂直问题1. 已知 a = (1,0),b = (1,1),求当为何值时，a- b与a 垂直？2. 已知单位向量

7、 m和n的夹角为一，求证：(2n-m)_ m33. 已知a =(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标。4. 已知向量a (-3,2),b =(-1,0)且向量 a b与a-2b垂直，则实数的值为5. a (3,1),b =(1,3),c = (k,2),若(a-c) _ b,则k 二6. a =(1,2),b =(2,-3),若向量 c满足于(c + a) / b , c丄(a + t),则c =类型(四)投影问题1. 已知a =5, b =4, a与b的夹角二二牛，则向量b在向量a上的投影为2. 在 Rt ABC 中，/c ,AC =4,则 AB.AC =23. 关于a.b = a.c且a

8、= 0，有下列几种说法：a_(b-c):b_c :a.(b -c)二0b在a方向上的投影等于 c在a方向上的投影；b = - a ; ® b = c其中正确的个数是()(A) 4 个(B) 3 个(C) 2 个(D) 1 个类型(四)求向量的模的问题«r . F1. 已知零向量 a =(2,1),a.b =10, a+b =5血，贝V b =2. 已知向量a,b满足忖=1,艸=2, a -b =2, W a +b =3. 设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC外 2 - -BC =16, AB +AC = AB _AC ,贝U AM =()(A) 8(B) 4

9、(C) 2(D) 14. 设向量a , b满足a = b =1及43 3，求嘉词的值5已知向量a,b满足*=2”=5曲=£求a +b和a b类型(五)平面向量基本定理的应用问题1 若 a=( 1，1)， b =( 1，-1)， c=(-1，-2)，则 c等于()1 3-13-3-131-(A) a b (B) a b(C)a b(D) a b2 2 2 2 2 2 2 22已知 a =(1,0),b =(1,1),c( -1,0),求和啲值，使 c 二嘉b3已知 a =3, b =2, a与b的夹角为一,=a + 2b, = ma 6b(m 壬 R)3(I) 当m为何值时，c丄d?(

10、2)若c与d平行，求c+d类型(六)平面向量与三角函数结合题XXx1 已知向量 m =(2sin ,cos_) , n =(cos-, 3)，设函数 f (x) = m n424求函数f(x)的解析式(2)求f (x)的最小正周期(3)若0乞x乞二，求f (x)的最大值和 最小值.a兀3兀2. 已知，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、2 2T TC(cos ： ,sin : )。(I)若 | AC |=| BC |，求角:-的值；2sin2 二" sin(2 ： ) #(II) 当AC BC二-1时，求的值。1 +ta n。3. 已知向量 a =(2,sinx),b = (sin2 x,2cosx),函数 f (x) = a b求f (x)的周期和单调增区间；ff J4已知平面向量 a =(sin d-2),b =(1,cosr)相互垂直，其中 厂(0,)2(1)求 sin 刑 cos-的值;(2)若 sin(v - )10 ,0,求 cos '的值.10 25 已知向量 m = (sin A, cos