第6章：振动(4)

1、第第6 6章章 机械振动机械振动6.1 6.1 简谐振动简谐振动6.1.1 6.1.1 弹簧振子弹簧振子kxF22ddtxmmk20dd22kxtxm0dd222xtx6.1.2 6.1.2 单摆单摆0dd222t22ddsintmlmamgtsindd22mgtmlmg0dd22lgtlg26.1.3 6.1.3 复摆复摆0dd22JmgltJmgl2sinmglMsindd22mgltJmgl0dd222t共同特征：共同特征：0dd222xtxmk2lg2Jmgl2)cos(tAx6.1.4 6.1.4 简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程)cos(0t 形如形如 微分方程描述微分方程描述

2、的的动力学过程是简谐振动。动力学过程是简谐振动。0dd222xtx0dd222xtx6.26.2 描述谐振动的三个物理量描述谐振动的三个物理量6.2.2 6.2.2 周期、频率、角频率周期、频率、角频率2T)cos(tAxmkkmT2T1glT26.2.1 6.2.1 振幅振幅tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa6.2.3 6.2.3 相位相位22020vxA00tanxv00;:0vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av)sin(tAv)cos(tAx6.2.

3、4 6.2.4 初相和振幅的确定初相和振幅的确定3.33.3 谐振动的旋转矢量表示法谐振动的旋转矢量表示法xoAcos0Ax 当当 时时0t0 x 例：例：如图，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧如图，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数的劲度系数 k = 0.72Nm-1，物体的质量，物体的质量 m = 20g。 1 1) )把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 x =0 .05 m 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； 2 2) )求物体从初位置到第一次经过求物体从初位置到第一次经过 A/2 的速度；的速度； 3 3) )如果物体在如果物体在 x =

4、 0.05 m 处的速度不等于零，处的速度不等于零，而有向右的初速度而有向右的初速度 v0 = 0.30 ms-1，求其运动方程。，求其运动方程。m/ xo0.05ox解：解：1 1) )1s0 . 6mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0(1toxA2A21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2 2) )cos()cos(tAtAxm0707. 022020vx

5、A1tan00 xv4 3 4或 oxA4)cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1t因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知400v3 3) )(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk /26.4 6.4 简谐振子的能量简谐振子的能量能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx2maxAaAamax)s (201s)(314. 02T 例：例：质量为质量为0.

6、1kg的物体，以振幅的物体，以振幅1.010-2m 作作简谐运动，其最大加速度为简谐运动，其最大加速度为4.0m/s2，求：求：1 1) )振动的振动的周期；周期；2 2) )通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；3 3) )总能量；总能量；4 4) )物体物体在何处其动能和势能相等？在何处其动能和势能相等？解：解：1 1) )222maxmax,k2121AmmEv2)2)(J)100 . 23(J)100 . 13pE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x(J)100 . 23max,k EE3)3)4)4)pkEE 222p2121xmkxE 例：例：一个水平面上的弹

7、簧振子一个水平面上的弹簧振子( (弹簧劲度系弹簧劲度系数为数为k，所系物体质量为，所系物体质量为M) )，当它做振幅为，当它做振幅为A的的自由振动时，有一块黏土自由振动时，有一块黏土( (质量为质量为 m，从高度，从高度 h处处自由落下自由落下) )正好落在物体上，问正好落在物体上，问：1) )振动的周期振动的周期有何变化？有何变化？2) )振幅有何变化振幅有何变化？解：解：1) )TkMkmMT22周期变小。周期变小。2) )按下述两种情况分别计算：黏土在按下述两种情况分别计算：黏土在M通过平衡通过平衡位置时，以及在最大位移处落在位置时，以及在最大位移处落在M上。上。M通过平衡位置时通过平衡

8、位置时, , 振幅变小：振幅变小： 设设 v, w和和A 分别分别是黏土与物体相碰后振动是黏土与物体相碰后振动系统的速度、圆频率和振幅。系统的速度、圆频率和振幅。MvvMmAMkAv AmMkAv AmMMA M在最大位移处时，振幅不变在最大位移处时，振幅不变AA 在水平方向应用动量守恒定律有在水平方向应用动量守恒定律有: :maCkxv0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtx6.4 6.4 阻尼振动阻尼振动vCFr阻尼力阻尼力固有角频率固有角频率阻尼系数阻尼系数阻力系数阻力系数mCmk20角频率角频率振幅振幅)cos(tAext22022022Totx三种阻尼的比较三种阻

9、尼的比较阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线AAtOx)0(220)cos(tAext0dddd22kxtxCtxm220 b b）过阻尼）过阻尼220 a a）欠阻尼）欠阻尼220 c c）临界阻尼）临界阻尼tAeTabctAetcos驱动力驱动力tFkxtxCtxmp22cosdddd6.5 6.5 受迫振动受迫振动 共振共振mk0mC2mFf tfxtxtxp2022cosdd2dd)cos()cos(p0tAteAxt2p22p204)(fA2p20p2tg驱动力的角频率驱动力的角频率PAo共振频率共振频率)cos(ptAx2p22p204)(fA0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼220r

10、2共振频率共振频率220r2fA共振振幅共振振幅0ddpA阻尼阻尼0共振演示实验共振演示实验236145220r2 共振频率共振频率220r2fA 共振振幅共振振幅 共振现象在实际中的应用共振现象在实际中的应用乐器、收音机乐器、收音机 单摆单摆 1 作垂直于纸作垂直于纸面简谐运动时，单摆面简谐运动时，单摆 5 将作相同周期的简谐运将作相同周期的简谐运动，其它单摆基本不动动，其它单摆基本不动共振现象的危害共振现象的危害1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌11A1xx06.6 6.6 同一直线上同频率的简谐运动的合成同一直线上同频率的简谐运动的合成

11、21xxx)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A222112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动)cos(tAx)cos()(21tAAx21221kAAA)cos(212212221AAAAA), 2 1 0( ;212，kk1)1)：221AAA)cos()(12tAAx) , 1 0( ;) 12(12，kk)cos(cos2211tAxtAx2)2)：11Axo多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动的合成2A

12、23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动6.7 6.7 同一直线上不同频率的简谐运动的合成同一直线上不同频率的简谐运动的合成 频率频率较大较大而频率而频率差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动简谐运动合成，合振动振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，合振动振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍。合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分tAtAxxx2111212cos2cos21AA 2112讨论讨论 , , 的情况的情况 ttAx22cos)22cos2(

13、12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx2212T121TtAA22cos2121122)(211max2AA0minA合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振动频率振动频率拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）6.8 6.8 谐振分析谐振分析 两个两个频率不同频率不同在在同一直线同一直线上的简谐运动合成的结上的简谐运动合成的结果仍然是振动，但一般不再是简谐运动。如：果仍然是振动，但一般不再是简谐运动。如： 合振动已经不再是简谐运动，但仍然是周期性振合振动已经不再是简谐运动，但仍然是周期性

14、振动。合振动的频率就是那个较低的振动频率。动。合振动的频率就是那个较低的振动频率。tAtAxxx2sinsin2121 一般来说，如果分振动是一般来说，如果分振动是两个以上，而且各个分振动的两个以上，而且各个分振动的频率都是其中最低那个频率的频率都是其中最低那个频率的整数倍，则合振动仍是周期性整数倍，则合振动仍是周期性的，合振动的频率等于最低的的，合振动的频率等于最低的那一个。那一个。 合振动的具体变化规律与合振动的具体变化规律与分振动的个数、振幅比例分振动的个数、振幅比例及及相相差差有关。有关。 图图(e)由由(b) (c) (d)合成。合成。 如果再加上频率更高而振如果再加上频率更高而振幅

15、适当的若干简谐振动，就可幅适当的若干简谐振动，就可以合成相当准确的以合成相当准确的方波方波了。了。 反过来，一个复杂的振动可以分解为一系列简反过来，一个复杂的振动可以分解为一系列简谐运动之和。把谐运动之和。把复杂的振动可以分解为一系列简谐复杂的振动可以分解为一系列简谐运动之和的方法就是运动之和的方法就是谐振分析。谐振分析。 傅立叶分析：傅立叶分析：一个周期为一个周期为T的周期性函数的周期性函数F(t)可可以表示为：以表示为： 其中各分振动的振幅和初相可以有数学公式求其中各分振动的振幅和初相可以有数学公式求出。这些振动中频率最低的叫基频振动，它的频率出。这些振动中频率最低的叫基频振动，它的频率就

16、是原就是原函数函数 F(t) 的频率，叫的频率，叫基频基频，其余的叫二次、，其余的叫二次、三次、四三次、四谐频谐频。10)cos(2)(ikktkAatF 不仅一个周期性振动不仅一个周期性振动可以分解为一系列简谐可以分解为一系列简谐运动。而且任意一个非周期性运动。而且任意一个非周期性振动也可以分解为振动也可以分解为许多简谐运动，不过要做许多简谐运动，不过要做傅立叶变换傅立叶变换。 通常用通常用频谱频谱表示一个实际振动所包含的各种表示一个实际振动所包含的各种振动成分的振幅和它的频率关系。振动成分的振幅和它的频率关系。 周期性振动的频谱是线状谱，而非周期性振动的频谱是线状谱，而非周期性振周期性振动的频谱密集成是连续谱。动的频谱密集成是连续谱。 谐振分析谐振分析无论对实际应用还是理论研究，都无论对实际应用还是理论研究，都有十分重要的意义有十分重要的意义。 一个复杂振动的特征总跟组成它的各种不同一个复杂振动的特征总跟组成它的各种不同频率的频谱的谐振成分有关频率的频谱的谐振成分有关。 例如：同为例如：同为 C 音，音调音，音调( (基频基频) )相同，但钢琴相同，但钢琴和胡琴发出的和胡琴发出的 C 音的音色不同，就是因为它们所音的音色不同，就是因为它们所包含的高次谐频的个数和振幅不同。包含的高次谐频的个数和振幅不同。6.9 6.9 两个相互垂直的简谐运