第三章 时间响应分析

1、3.1 时间响应及其组成3.2 典型输入信号3.6 系统误差分析与计算3.4 二阶系统3.3 一阶系统3.5 高阶系统23.1.1 定常线性微分方程求解 3.1.2 时间响应的组成 3.1.3 叠加原理用于求解 时间响应 1.了解求解定常线性微分方程的基本方法 3.加深线性系统叠加原理的理解 2.熟悉时间响应的组成和各种类型 3按微分方程的结构理论，这一非齐次常微分方程的完全解由两部分组成)2 . 1 . 3()()()(21tytyty)1 .1 .3(cos)()(.wtFtkytym)4 . 1 . 3(cos)()3 . 1 . 3(cossin)(21wtYtytwBtwAtynn将

2、3.1.4代入3.1.1，有 wtFwtYkmwcoscos)(2)5 . 1 . 3(11.2kFY将3.1.1变为3.1.6 )6 . 1 . 3(cos11.cossin)(2wtkFtwBtwAtynn得与代入式时，设7 .1 .36 .1 .3),0(y) t (y),0(y) t (y0t.)7 . 1 . 3(sin1.sincos)(2.wtwkFtwBwtwAwtynnnn2.11.)0()0(kFyBwyAn)8 . 1 . 3(cos11.cos11.cos)0(sin)0()(22.强迫响应零状态响应自由响应零输入响应wtkFtwkFtwytwwytynnnn图3.1.

3、14线性非齐次微分方程的通解n通解中的yi(t)由齐次方程的特征根决定;n通解中的Ci和特解y*则与系统结构参数、系统初态以及系统的输入x(t)有关。 n该微分方程是未知函数及其各阶导数的一次方程；n微分方程中各项系数均为常数；n这类方程可用代数方法（如拉氏变换）求解。线 性微分方程一般形式（x=0: 齐次微分方程；x0: 非齐次微分方程）非齐次线性方程特解齐次线性方程的通解)()()()()(2211tytyCtyCtyCtynn)()()()(1)1(1)(txtyatyatyannnn5 系统在输入信号作用下其输出随时间变化的规律,称为系统的，它也是系统动力学。niniiiiitBtsA

4、tsAty1121)()exp()exp()(零输入响应零状态响应自由响应强迫响应si 微分方程的特征根（i=1, 2, , n）自由响应对应齐次微分方程的通解；强迫响应对应非齐次微分方程的特解。6n 时间响应的类型niniiiiitBtsAtsAty1121)()exp()exp()(零输入响应零状态响应自由响应强迫响应按微分方程解的形式分：由系统结构、参数所决定的输出.：由外加输入所决定的输出.按稳定系统响应形态分: 系统输出从初始状态到稳定状态的 响应过程(对应自由响应).: 在时间趋于无穷大时系统的输出 (对应强迫响应).按输入激励的 形 式 分: 无输入时系统初态引起的输出.: 系统

5、初态为零仅由输入引起的输 出.7利用叠加原理求解)()()()()()(11011) 1(11)(1tytxtyatyatyatyannnn结 论对于,如果输入函数为某一函数的导数，则该输入函数的响应函数也等于这一函数的响应函数的导数。线性常微分方程的一般形式)()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn)()()()(1011) 1(11)(1tybtybybtybtymmmm)()()()()()(11011)(11) 1(1tytxtyatyatyatyannnn )()()()()()()(1)()(10)

6、1(11) 1(11)(1tytxtyatyatyatyammmmmnnmnn8n此类信号工程上易实现。n可用来测试系统瞬态特性，获取系统阶跃响应曲线。n此类信号常用于测取系统模态。n可用来测试系统瞬态特性和抗扰动性能，获取系统脉冲响应曲线。n此类信号多用于疲劳试验系统。n可用来测试系统的频率特性。n此类信号工程上多用于恒速控制。n可用来测试I型系统的稳态特性，获取系统斜坡响应曲线。93.3.1 一阶系统模型 3.3.2 一阶系统单位脉冲 响应 3.3.3 一阶系统单位阶跃 响应 1.熟悉一阶系统建模及模型的特点 3.理解脉冲、阶跃响应的相互关系及瞬态特性特点2.掌握一阶系统脉冲、阶 跃响应函

7、数的求取方法10 用一阶微分方程就可描述完全的系统。其对应的物理系统有一个储能元件和一个耗能元件。系统的数学模型只有一个特征参数，即系统的时间常数 。Xi(s)Xo(s)Xi(s)Xo(s)系统闭环极点(特征根)：-1/Tckxo(t)xi(t)xo(t)ckxi(t)11单位脉冲函数的拉氏变换：1)()(tLsXi单位脉冲响应的拉氏变换：)()()()()(sGsXsGsXsWio 当系统的输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统的输出称为单位脉冲响应函数,简称为单位脉冲响应,用表示。系统的单位脉冲响应：)0( ,111)()(111teTTsLsGLtwtTn单位脉冲响应对应时间响应类型中的自

8、由响应、零状态响应和瞬态响应；n定义响应曲线衰减到初值的2%之前的过程为。一阶系统过渡过程时间为，越小系统响应越快。12 当系统的输入信号是理想的单位阶跃函数时，系统的输出称为单位阶跃响应函数，简称为单位阶跃响应。单位阶跃函数的拉氏变换：stuLsXi1)()(单位阶跃响应的拉氏变换：ssGsXsGsXio1)()()()(n单位阶跃响应包括瞬态部分和稳态部分；n响应曲线为一单调上升过程,其稳态误差趋于零；n过曲线零点的切线的斜率为1/T，且y(T)=0.632y()。单位阶跃响应：)0( ,111111)(111teTsTsLsTsLtxtTo13 n阶跃响应曲线零点的反映了信号加入瞬间系统

9、对输入的反应速度：TeTdttdxttTto1|1|)(010n响应曲线达到稳态值的98%之前的过程为阶跃响应的 ，系统过渡过程时间或调整时间为。（注意：调整时间与输入信号的幅值无关。）nt=T , xo(t)=63.2% 实验法求T, 也可用实验方法判断所试系统是否为一阶系统。14脉冲函数是阶跃函数的微分脉冲响应是阶跃响应的微分)(11)(11tweTedtdtxdtdtTtTo阶跃响应是脉冲响应的积分是阶跃响应的积分TtttToTeTtdtetx011)(n一阶系统的 系统时间常数 ；n系统时间响应曲线为单调上升（阶跃响应）或下降（脉冲响应）曲线（没有振荡现象）。n时间响应的过渡过程时间或

10、与T成正比。T越小，系统的调整时间越短，响应越快。15n 举例 水银温度计可近似为一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。如果给加热器加热,使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度计的稳态指示误差是多少？一阶惯性环节模型11)(TssG(T: 环节的时间常数)确定系统响应类型n温度计的输入为加热器的水温，应为阶跃输入；n温度计的初始值为0度，因此是阶跃响应；n阶跃响应的过渡过程时间为一分钟，可用于求系统时间常数。斜坡响应稳态误差n第二问的温度计输入为斜坡输入xi(t)=10t，因此应求出温度计的斜坡响应；n斜坡响应的调整时

11、间仍然为4T,对本题即为1分钟，用此时水温的实际值减去温度计的指示值（温度计的斜坡响应值）即为温度计的稳态指示误差。16课后作业教材113页： 3.4(2)，3.5173.4.1 二阶系统模型 3.4.2 二阶系统单位脉冲响应 3.4.3 二阶系统单位阶跃响应 1.熟悉二阶系统传递函数的特点 3.掌握脉冲、阶跃响应特 性与系统阻尼比的关系2.熟悉二阶系统脉冲、阶 跃响应函数的求取方法3.4.4 二阶系统响应的性能指标 4.掌握阶跃响应超调量、 调整时间的概念和计算本节(特别是3.4.3,3.4.4)是本章的重点和难点18 n可用二阶微分方程完全描述的系统;n其对应的物理系统有两个独立的储能元件

12、;n系统的数学模型有两个特征参数，即无阻尼固有频率和阻尼比 。0222nnss1221nn、sn二阶系统的特征根随阻尼比 的取值不同而有多种形式，进而决定了二阶系统不同的响应特性。2222)(nnnsssG)(2nnssXi(s)Xo(s)-1901022, 11nnsjnsj2, 1ns2, 1122, 1nns122, 1nns重点掌握欠阻尼系统的时间响应特性20单位脉冲函数的拉氏变换：1)()(tLsXi单位脉冲响应的拉氏变换：)()()()()(sGsXsGsXsWio系统的单位脉冲响应：222112)()(nnnssLsGLtwtetxdtnonsin1)(2欠阻尼0 1)(12)(

13、)1()1(222ttnonneetx无阻尼 = 0ttxnnosin)(临界阻尼 =1tonntetx2)(21) 10(221)(22nnnosssssX单位阶跃函数的拉氏变换：stuLsXi1)()(单位阶跃响应的拉氏变换：ssGsXsGsXio1)()()()(sssLsXLtxnnnoo12)()(22211单位阶跃响应：)0()sin(11)(2ttetxdton21nd211tg22)0()sin(11)(2ttetxdton21nd211tg 无稳态误差； 含有衰减的复指数振荡项,其振幅衰减的快慢由 和决定, 振荡幅值随 减小而加大； 和 可由传递函数的极点来确定:dnnn、j

14、js2211s1s223振荡发散单调发散)0(cos1)(tttxno221)(nossssX(无阻尼的等幅振荡)xo(t)0()1 (1)(ttetxnton22221)(nnnosssssXxo(t)(单调上升,无振荡,无超调,无稳态误差。)ttonneetx)1(22)1(2222)1(121)1(1211)(tonetx)1(21)(单调上升,无振荡,过渡过程时间长,无稳态误差.)24(1)阻 尼比 决 定了 二阶 系统 的振 荡特 性25(2) 一定时,越大,瞬态响应分量衰减越迅速,响应的快速性越好。s1s2nt(3) 工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等,通常

15、采用系统, 且通常选择在之间,以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。26xo(t)对系统的时间响应性能的定量描述是系统性能评价和设计的依据。27drtn对欠阻尼系统,响应曲线从零时刻出发所需时间:n对无超调系统,响应曲线所需的时间.)sin(11)(2tetxdton1)sin(11)(2rdtrotetxrn0)sin(rdtKtrddrt28)sin(11)(2tetxdtonn响应曲线从零上升到所需时间:dpt0)sin(12pdtntepn0sinpdt.2 , 0pdtdpt0|)(pttodttdxn 一定时,n越大,tp越小； n一定时, 越大,tp越大。29)sin(1

16、1)(2tetxdton211tne2包络线为)(txon响应曲线到达并保持在允 许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。1112snte)7 . 00(05. 0)/(302. 0)/(41lnln2nnnst30n响应曲线的最大 峰值与稳态值之差与稳态值的比值.通常用百分数表示:%100)()()(oopopxxtxM)sin(11)(2tetxdtondpt又%100%100)()()(21exxtxMoopopnMp仅与阻尼比 有关;n 越大, Mp 越小,系统的平稳性越好;n = 0.40.8 Mp = 25.4%1.5%31n在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数 。实测时，

17、可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。2122nddT振荡周期调整时间05. 0,302. 0,4nnst02. 0,1205. 0,15 . 122dsTtN02. 0,Mln205. 0,Mln5 . 1Npp21 eMpn N 仅与 有关:越大，N 越小，系统平稳性越好。32n增加无阻尼固有频率可提高系统响应的快速性 , 减少上升时间、峰值时间和调整时间。n在00.7范围内，增加阻尼比 会增加上升时间、峰值时间，但减少调整时间，降低超调量和振荡次数，有利于提高系统响应的平稳性。通常可用 确定 ，用确定。n快速性与平稳性有着相互制约的关系，如对于 系统，由于 增加 虽可使增加提高响应速度，

18、但却使 减小，可能影响平稳性。因此在系统设计时需要综合考虑。n对于非单位阶跃响应，以上性能指标同样适用，只是响应的稳态值不再是1。mkcmkn2,33系统模型sNsXkcsmssXsXsGxkxxcxmiioiooo9 . 8)(,1)()()(2 根据响应曲线确定系统的。s/mN8 .18122mkcmkc已知条件%6 . 9%10003. 00029. 0,2,03. 0)(ppoMstx求 N/m297)(9 . 89 . 89 . 8)(lim)(0osoxkksssGxkg3 .77)/96. 1 (N/m29722skmmknn6 . 0096. 021/eMp1296. 121s

19、stnnp341010)()(2ssXsXio =0 无阻尼ssXi1)(ttxo10cos1)(n 等幅不衰减振荡，不能正常工作。改进前n 试分析：1）该系统能否正常工作？ 2）若要求=0.707，系统应作如何改进？101010)()(2sssXsXio1s107 . 0102nns444. 0102n改进后n系统增加一微分反馈环节后，可以增加系统的阻尼，提高响应的平稳性。35课后作业教材113页：3.11，3.12 (取=0.02) 3.15 (选做题) 3.14 (思考题)36n系统简化的基本思想是：用较低阶的近似系统替代阶数较高的实际系统；简化后的模型应能体现原系统的主要特征及主要变化

20、规律，且模型误差在容许范围内。n三阶以上的微分方程描述的系统就称为高阶系统。许多实际系统的微分方程阶次往往都比较高, 而高阶微分方程的研究和分析通常比较复杂, 有时十分困难。因此在工程中常常需要对高阶系统的数学模型进行简化。n本节学习的目的是要同学们对高阶系统的形式、高阶系统时间响应的基本特点以及高阶系统降阶分析的基本方法有一个基本的了解，为将来从事工程系统的分析打下基础。37)2)(1()2)(1()()(222222nnnnnniossTsTssTssXsX) 10(22, 11nnjsTs13n三阶系统模型可分解为三个一阶惯性环节串联或一个惯性环节与一个振荡环节的串联，以后者为研究重点。

21、特征根ssXi1)(tTdtoeAteAtxn121)sin(1)(n三阶系统的时间响应的瞬态部分由二阶振荡环节的衰减振荡和一阶惯性环节的单调衰减这两部分组成。38211221111101110)2()()(.)()()(nknknkknjjmiinnnnmmmmiosspszsKasasasabsbsbsbsXsXsG)(mn )(00abK )1sin()(211021kknktnkktpnjjoteDeAAtxnkkj211221021)()(nknknkkkknjjjossCsBpsAsAssGsX39高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。如果所有闭环极点都在 s

22、平面的左半平面,则随着时间t，有xo()= A0，系统是稳定的。极点的性质决定瞬态分量的类型：n实数极点非周期瞬态分量；n共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。n 结 论40 距虚轴最近，实部的绝对值为其它极点实部绝对值的或更小，且其附近没有零点的闭环极点点，其对高阶系统的瞬态响应起着主导作用。tXo(t)tp0图3.5.1 ( b)s4s5 nn12jn图3.5.1 (a)0s35n41n对于高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽

23、略其它远离虚轴的极点和偶极子（一对靠得很近的零、极点）的影响，可近似为一阶或二阶系统进行处理。（三阶系统二阶系统）图示系统传递函数)520020)(60(312000)(2ssssG其 3 个极点分别为60,71j1032, 1pp且51616010ReRe31ppttoetetx60010686. 0)93.267 .71sin(696. 01)()93.267 .71sin(696. 01)(010tetxto精确解近似解423.6.1 误差的基本概念 3.6.2 稳态偏(误)差系数3.6.3 扰动作用下的稳态偏差 1.明确误差与偏差的概念3.了解干扰作用下求稳态偏差的方法 2.掌握求取系

24、统稳态偏差的方法 43)()()()()()(sHsXsXsBsXsEoii)()()(tbtxtin 指令信号减去反馈信号)()()(1sXsXsEoroe txtx toro( )( )( )n 希望输出减去实际输出)(/ )()(0)()()(sHsXsXsEsXsXiororo)(/ )()()()()()()(/ )()()()(1sHsEsHsXsHsXsXsHsXsXsXsEoioioor对单位反馈E1(s)=E(s)44瞬态过程结束后误（偏）差的稳态分量。)()()(1)()()()()(21sHsGsGsXsXsHsXsEioi)(lim)(lim0ssEtstss稳态偏差)

25、()()()(1)()()()(0)(212sNsHsGsGsGsHsXsHsEoN稳态偏差)(lim)(lim0ssEtNsNtssNn此时偏差与误差。 先求偏差信号的拉氏变换; 再利用终值定理求稳态偏差。45 与输入信号和系统结构有关的物理量，可用于简化对系统误(偏)差的分析。psssKHGssHsGs11)0()0(111)()(11lim0ssXtutxii1)(),()(Kp：稳态位置无偏系数21)(,)(ssXttxiivssssKsHssGssHsGs1)()(lim11)()(11lim020Kv：稳态速度无偏系数321)(,2)(ssXttxiiassssKsHsGsssHs

26、Gs1)()(lim11)()(11lim2030Ka：稳态加速度无偏系数46niimiisTssKsHsG11) 1() 1()()(v=00型系统v=1I 型系统v=2II型系统系统的结构类型系统开环传递函数n 由开环传递函数含积分环节的个数可将系统划分为470) 1() 1(lim)()(lim1100niimiissvsTsKssHssGKvssvK10) 1() 1(lim)()(lim112020niimiissasTsKssHsGsKassaK1KsTsKsHsGKniimiissp1100) 1() 1(lim)()(limKKpssp1111vniivmiisTssKsHsG

27、11) 1() 1()()(（）48111) 1() 1()()(niimiisTssKsHsG)()(lim0sHsGKsp011psspK（）0) 1() 1(lim)()(lim112020niimiissasTssKssHsGsKassaK1KKvssv11KsTssKssHssGKniimiissv1100) 1() 1(lim)()(lim49 1121) 1() 1()()(niimiisTssKsHsG)()(lim0sHsGKsp011psspK（）01vssvKniimiissvsTssKssHssGK12100) 1() 1(lim)()(limKKassa11KsTss

28、KssHsGsKniimiissa1212020) 1() 1(lim)()(lim50n减小和消除稳态误差方法 提高系统的开环增益 增加开环传递函数中积分环节(但受到系统稳定性的制约)n位置、速度、加速度无偏系数位置、速度、加速度无偏系数分别反映了系统对单位阶跃、速度、加速度输入作用下的稳态偏差，也同时反映了系统的稳态精度。同时应当注意速度、加速度输入信号实际上也仍然是位置信号，只不过该位置信号是随时间变化的。n如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加.n系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于各个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。5104. 02460011maxvs

29、sKevssKe11600sKKv解： I 型系统单位速度输入下的稳态误差而系统的稳态误差为 I型单位反馈系统的开环增益 K = 600 s-1，系统最大跟踪速度max =24/s，求系统在最大跟踪速度下的稳态误差。52解：由输入为10t时的稳态误差为0.05cm，即则系统的开环增益1200)(05. 0)/(10scmscmKKvcmKscmevss05. 0)/(10 阀控油缸伺服工作台要求定位精度为0.05cm，该工作台最大移动速度vmax =10cm/s。若系统为I 型，试求系统开环增益。53G2(s)+_E(s)B(s)G1(s)+N(s)Xi(s)Xo(s)扰动作用下的偏差信号)(

30、)()(1)()(212sNsGsGsGsEN)()()()()(201021202211sNsGsGKKsssGKsEN令) 1)(lim(/ )()() 1)(lim(/ )()(2002022100101121sGssGKsGsGssGKsGss扰动作用下的稳态偏差)()()()(lim)(lim20102120200211sNsGsGKKsssGKsssEsNsssN54（）21220102120202010212020212011)()(1)(lim)()()()(lim)()(1)()(lim211KKKssGsGKKsGKssNsGsGKKsssGKssGsGsNsGssssssN01)()()(lim2010212020ssGsGKKsssGKssssN（）1201021202011)()()(limKssGsGKKssGKssssN（） 01)()()(lim201021222020ssGsGKKsssGKssssN（）01)()()(lim20102122020ssGsGKKsssGKssssN（）12010212202011)()()(limKssGsGKKssGKssssN（）55n增加扰动作用点前回路的传递函数的增益或积分环