二维正态分布及二维均匀分布（课堂PPT）

1、 第四章 第五节二维正态分布及二维均匀分布二、二维均匀分布二、二维均匀分布一、二维正态分布一、二维正态分布2一、二维正态分布一、二维正态分布设二维随机变量 的联合概率密度函数为(, )X Y2122211211()( , )exp2(1)21xf x y 21222122()()()2xyy 其中 为常数，1211, 则称 服从二维正态分布，(, )X Y记为221122(, ) (,;,; )X YN 120,0,| 1,且3定理：若 ，则：221122(, ) (,;,; )X YN （1）221122(,),(,);XNYN （2）221122(),(),( ),( ),E XD XE

2、YD Y12(, ),;XYCov X Y （3）X 与 Y 相互独立的充要条件是0.4例1 已知22(1,3 ),(0,4 ),XNYN且1.2XY 设11,32ZXY求：( ),E Z.XZ( ),D Z解：()1,E X 由已知，()9,D X ( )0,E Y ( )16D Y (, )Cov X Y()( )XYD XD Y13 462 则( )E Z11()( )32E XE Y13( )D Z11112,3232DXDYCovXY51111()( )2(, )9432D XD YCov X Y3(, )Cov X Z11,32Cov XXY11(,)(, )32Cov X XCo

3、v X Y11()(, )32D XCov X Y0( )D Z11112,3232DXDYCovXY0.XZ所以6例2 设随机变量 服从二维正态分布(, )X Y2221( , )2xyf x ye求随机变量 的概率密度。221()3ZXY解： 当 时，0z Z 的分布函数 ；( )0ZFz 当 时，0z ( )ZFz221()3PXYz2222132()12xyxyzedxdy22230012rzderdr321ze 7( )ZFz对 z 求导，得 Z 的概率密度函数320,0( )3,02Zzzfzez即320,0( )1,0ZzzFzez8二、二维均匀分布二、二维均匀分布设 D 是平面

4、上的一个有界区域，其面积为 A 。若二维随机变量 的联合概率密度函数为(, )X Y1,( , )( , )0 ,( , )x yDf x yAx yD则称 在区域 D 上服从二维均匀分布。(, )X Y例如，矩形区域上的均匀分布，其概率密度函数为1,()()( , )0,axb cydba dcf x y其它9例3 设二维随机变量 在圆域 上服从(, )X Y222xyr二维均匀分布，（2）问 X 与 Y 是否相互独立。（1）求 X 与 Y 的相关系数 ；XY解：(, )X Y的联合密度函数为22221,( , )0,xyrf x yr其它下面求 X , Y 的边缘概率密度函数。 10当 时，|xr( )Xfx222221rxrxdyr2222rxr当 时，|xr( )Xfx0故2222, |( )0,|Xrxxrfxrxr同理2222, |( )0,|Yryyrfyryr11由于( , )( )( ),XYf x yfx fy所以 X 与 Y 不相互独立。又()E X2222rrx rx dxr0( )E Y2222rry ry dyr0()E