数学物理方法在物理学中的应用 -

1、【标题】数学物理方法在物理学中的应用 【作者】何枫林 【关键词】数学物理方法  物理  应用 【指导老师】孙婷雅 【专业】物理学 【正文】1.绪论1.1 概述1大家知道，数学上的每一个新概念，每一种新理论，归根到底都是人们在生产实践和科学实验中、从某种物理模型里面抽象出来的，有一些规律就是人们在对一些物理现象、物理过程、物理状态进行研究而归纳、总结出来的，我们把从物理问题中归结出来的物理规律用数学方程表达出来的方法，称为数学物理方法。1.2 物理与数学的联系2 数学、物理本是科学的孪生子，有着共同的根源，几个世纪以来，它们沿

2、着各自的脉络开展，至今已门类林立，内容迥异。然而，今天应用的数学物理方法已经不在局限于18世纪的导出的方程。这些方程反映相关物理现象的本质和运动的根本规律。它们确实立，表达了人们的认识从表象走向本质的飞跃，是这些学科走向成熟的一个标志。当我们沉湎于具体方程的研究和学习时，往往并不满足于这些方程抽象的表述形式和单纯的理论探讨，而迫切需要熟悉它们物理现象的根源，了解它们的物理和数学的直观意义，以便进一步开拓思维，把握实质，发现内在联系，找到新的灵感。但要做到这一点，在今天已经太不容易了，因为他们面前是一条横在数学与物理学两大学科之间的鸿沟。所以人们迫切需要建造一座把物理学与数学沟通起来桥梁数学物理

3、方法。自然界中的一切事物都是质和量的统一体,认识世界的重要途径是对事物进行质和量的考察,量变到质变是事物开展的普遍规律。反映事物本质属性及其规律的物理学,不仅应有正确的定性描述,还必须准确地刻画出量的变化规律,而且也只有当物理学由定性进入到定量的阶段,才算是真正把握住了事物的质,才标志着物理学已经成熟,这当然离不开数学。物理学逐渐开展成为一门成熟的自然科学,它不仅用实验方法代替了以往整体的观察法而且引进了数学方法。在物理学研究中针对研究对象不同的特点,运用数学概念、方法和技巧,对研究对象进行量的分析、描述、计算和推导,从而找出能以数学形式表达事物的量的规律性。1.3 数学方法对物理研

4、究的奉献316世纪以后,数学在物理科学中取得的成就有目共睹:从牛顿的经典力学到狭义相对论以及广义相对论;从麦克斯韦方程组中的电与磁到量子力学中波粒二象性的对立统一,数学无时不在帮助陈述与帮助揭示自然的奥秘。近代科学是以物理科学为标志的,其重要原因之一,就是它能以精确的数学形式表示出物体的运动规律,开创了科学实验同数学相结合的方法。现代物理学那么开展到了与数学须臾不离的地步,现代物理的研究对象离直观越来越远,需要反映其内在联系的自然现象或实验事实越来越复杂,欲想对其进行定量分析和深入研究,就非用数学不可,用数学不但能准确地反映出事物的本质联系,而且能做出科学预见,取得重大的突破。现代物理的一切重

5、大发现,都与数学的应用密切相关。物理科学开展对数学的需要恰好在数学开展上起了直接的决定性的推动作用,如微积分是牛顿在处理物理问题时,用已有的数学知识没法解决的前提下创立的。运用数学物理方法可以通过认识事物的量来认识事物的规律性，然而这种方法进一步提供数量的分析和计算的方法。例如：1开普勒根据第谷积累的大量关于行星运动的观测资料，应用圆锥曲线理论，经过大量演算建立行星变速运动的椭圆轨道模型终于发现了行星到太阳的距离R跟行星绕日运行的周期T的关系 恒量。2太阳系字远的行星之一的海王星是1846年在数学计算的根底上被发现的。天文学家阿达姆和勒未累分析了天王星的运动规律性，得出结论说：这种规

6、律是由其它行星的引力而发生的。勒未累根据力学定律和引力定律计算出这颗行星应该在何处，他把这结果告诉了观察员，而观察员果然从望远镜中在勒未累所指出的位子上看到了这颗行星。这个发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼体系的胜利，而且也是数学计算胜利。3在频谱分析中，将周期函数进行傅里叶展开，它说明物理过程是：在力学或声学上，把周期性复杂振动分解为一系列各种频率的谐振波动；在电学上，把交变电压或电流分解为一系列谐变电压或电流；在无线电电子学上，将信号波形分解基波和谐波等等。4在非线性理论的应用研究中，运用Maple语言程序计算了具有耦合特性的非线性Sehr0dinger方程组的行波精确解及其约束条件方程，

7、并以图表的形式定量分析了行波精确解组的特性。还例如：法国文学家勒威耶根据天王星运动轨道，根据万有引力定律计算出来的结果总有比拟大的偏离，便运用天体力学理论结合数学分析和计算，预算天王星轨道外面存在一颗未被发现的行星，并精确计算了该行星的运动轨道以及他在各个时刻的位置。1846年9月23日晚上，德国天文学家加勒巴望远镜对准了勒威耶所预言的位置立刻发现了后来被命名为海王星的这颗行星。又如电磁波的存在并预言了他以光速传播，是由麦克斯韦用数学“推导出来的，15年后才有德国物理学家赫兹用实验证实；爱因斯坦通过质能关系式 的研究，预示了原子核反响中质量亏损所产生的巨大能量。以上事实说明，物理学中

8、的许多重要结论都是根据原理，运用数学运算、交换法那么。经过严密的数学推理证明后得到。1.4 数学物理方法的研究现状长期以来，数学物理方法课程讲授上个世纪已根本形成的关于三种典型偏微分方程的经典解法和理论以及解析函数的积分理论与级数理论，并适当介绍贝塞尔函数和勒让德多项式的一些根本知识与应用。然而近几十年来，由于数学的根底理论，特别是拓扑学与泛函分析的迅速开展，科学技术的突飞猛进，涉及到处理数学物理方程的一些新的理论和新的方法不断涌现，使数学物理方法发生了巨大的变化。现代物理学开展到了与数学分不开的地步，现代物理学的研究离直观越来越远，需要反映其内在联系的自然现象或实验越来越复杂，欲想

9、对其进行定量分析和深入研究就非用数学不可。1.5 本文研究的内容和目的意义“数学物理方法是物理学类、电子信息科学类、天文学类、地球物理学类、大气科学类、海洋科学类、力学类、材料科学类和环境科学类等专业类的必修或限定选修课程。本课程一般包含复变函数和数学物理方程两局部内容，其根底理论属于分析数学，其应用局部涉及物理及工程技术等其它学科。本课程的直接目标是帮助学生掌握必要的数学知识和工具，为后续专业根底课和专业课做准备。长远的目标是训练学生的数学思想及运用数学工具解决实际问题的能力。当然更高的要求是开拓创新思想的培养。数学物理方法是研究物理学的重要工具，应用数学物理方法解题实际上是把物理

10、问题转化为数学问题，然后用数学方法进行解答。通过建立数学模型来解答物理实际问题能够使问题简单化。实践证明：在处理物理学问题时，假设能充分借助数学工具的作用，那么对激发学生的学习兴趣，培养学生创新精神和创新能力，提高学生解决实际问题的能力起到积极的作用。从而让数学物理方法在物理的应用中更具创新的价值。2.数学物理方法在物理研究中的作用2.1物理学以数学为工具由以上实践证明：数学物理方法在物理研究中的应用有着重大而深远的意义。然而物理学的研究和应用, 都要求它完全以数学为工具,否那么就失去了意义。从形式上说,一个物理理论体系就是一个数学体系,具有高度的抽象性,严密的逻辑性和丰富的辩证性,

11、这三方面使得数学不仅成为物理学的表现形式, 而且成为人们认识和掌握物理学的主要工具。所以,数学的本质和特点以及物理学的实际决定了数学是物理学的工具。物理学有着非常广泛的应用,并且在许多情况下都要借助于数学工具,从通常的工程建筑到尖端宇航技术无不与物理理论相联系,但在具体运用过程中又要借助于数学工具。 2.2 数学物理方法在物理解题中的作用4 5求解物理习题的过程属于物理理论在实际中应用的范畴之内,所以,在这过程中同样离不开数学知识, 其作用具体表达在以下几个方面。把物理问题向数学问题转化的过程当中,除了选择适宜的物理方法,还要灵活地运用数学知识

12、, 至于由数学问题推理计算求出结果的过程,更加明显地说明它是一个数学过程。可见,但凡需要定量分析的物理习题,数学运用是必不可少的。把物理问题转化为数学问题,就是为物理问题寻找一个相应的数学模型,以数学为语言表达出物理量之间的相互关系,其一般步骤为: (1)利用数学知识丰富、深化物理模型。如运用数据进行简化处理,进行物理过程的定量分析等,通过找出数量关系,给物理模型参加定量的因素。(2) 用符号来表示物理量。符号是物理内容的载体,它把复杂的事物代码化,成为可以一目了然加以把握的感知对象。(3)根据物理规律列出问题中物理量间的关系,最后把物理问题转化为数学问题,实现了

13、物理过程的数学转化。在实际当中利用现代数学物理方法解决物理问题，既要其对物理根本概念和规律有正确的理解，又要求对数学理论和技巧能灵活的应用，把具体的物理问题抽象为数学问题，并进一步应用数学手段加以正确的解答，最后得出其规律。后面我们将用别离变量法、达朗贝尔法、格林函数法、积分变量法解定解问题来描述数学物理方法在物理学中的应用。2.3小结：    本章主要阐述了数学物理方法在物理研究中的作用，包括：物理学以数学为依据和数学物理方法仔物理解题中的作用。3.根据物理现象导出数学物理方程数学物理方程的建立分三个步骤：1从所研究的系统中划分一小局部，分析临近局部与

14、这一小局部的相互作用；2根据物理学的规律如：牛顿第二定律、能量守恒定律等，用计算式表达这个作用。3化简、整理，即得所研究问题满足的物理方程。3.1一维波动方程的建立1 6一维波动方程的建立的概述：力学中有一类所谓振动和波的现象，如弹性波，光波，电磁波等等，虽然各有其特殊规律，但有一个共性波动，所以在数学上均能用波动方程来描述其运动规律。设有一根拉紧着的均匀，柔软而有弹性的弦，长为 ，两端钉在O，L两点，当它在平衡位置附近作垂直于OL 方向的微小横振动时，考察弦上各点的运动规律。为了解决这个问题，如图：3. 1所示。选择坐标系，并以ux，t表示弦上x 点在

15、时刻t 沿垂直于x 方向的位移。图 3.1一维波动方程在这弦上，任取一小段 由于弦振动是微小的，故可以认为 是直线。那么有弧长 ，又由于弦是柔软的，弦的张力T的方向总是沿着弦的切线方向。且张力T是一个常数，它与位置x 和时间t 均无关。    通过分析作用在小弦段 上的力是：1作用在 点上的张力T，它在u 轴方向上的分力为 2作用在M点上的张力T，它在u 轴方向的分力为 3作用在 上，垂直于x 轴的外力为&

16、#160;，其中 是在点x 处的外力的线密度。设弦的密度为 ，根据牛顿第二定律有 因 ，故 当 时，有： 同理 代入上式得 应用中值定理得 其中 令 就得到弦的强迫横振动方程 其中 假设外力消失，那么得到弦的自由横振动方程 这样就导出 ( ,  ) 所满足的偏微分方程。方程建立不仅适用弦振动，而且还适用力学上的弹性杆振动，管道中气体小扰动等等。3.2 热传导方程的建立1物理现象

17、中的热传导和扩散在生活中常见。我们知道的有热量差的物体，就有热传导现象。浓度不同的溶液中，就有分子从浓度大的地方流向浓度小的地方。但凡由于物理量的密度不同而产生的运动，通称为扩散。在数学上，描述热传导规律和扩散规律的是同一种方程，人们把它作为研究抛物型方程的模型。在不少的生产实际问题中，经常需要考虑物体上各点的温度分布状态。我们考察一根均匀细杆内热量的传播的过程。设细杆的横截面积为常数A，又设它的侧面绝热，即热量只能沿长度方向传导，由于细杆很细，以至于在任何时刻都可以把横截面上的温度视为等同，因此，是一个一维情况。图3.2热传导方程如图3.2所示，取 轴与细杆重合，以 (&

18、#160;,  )表示 点在时刻 的温度，问题就是要确定函数 ( ,  )。和建立弦振动方程一样，我们采用微元分析的方法来导出函数 ( ,  )所满足的偏微分方程。考查在时间间隔 到 内，细杆上 到 维元段的热量流动情况。此时应成立热平衡方程式，即：引起温度变化所吸取的热量 流入的热量 微元段的温度升高可以表示为：        

19、0;       其中   ，于是，我们得知引起微元段 温度升高所需要的热量为                 另一方面，热传导理论中的付里叶实验定律告诉我们，在 时间内，沿ox轴正向流过 截面其面积为A的热量 为      &#

20、160;      其中 称为热传导系数。同样，在 时间内，流过 截面的热量 为                     因此，流入微元段 的热量 等于通过 截面流入微元段的热量减去通过 截面流出微元段的热量，亦即   

21、                          利用中值定理，上式就变形为                     其中

22、60;   由热平衡方程 = 可得                 令 、 ，从而 、 ，于是得                    &#

23、160;                        31其中 这就是所谓的热传导方程。当细杆内存在热源发出热或吸收热时，假设此热源的密度为 ，即在 时刻和 处，在单位时间内和单位长度上所放出的热量。因此，在时间间隔 到 内，微元段 ， 中的热源所产生的热量为 

24、60;，那么，在上述热传导方程右边还得加一个非齐次项 ，而成为 .                               3. 23. 1、3. 2式就是一维热传导方程。3.3泊松方程和拉普拉斯方程的建立    在热传导问题

25、中，如果温度分布稳定，即 ，得方程                         此方程称为泊松方程。如果 那么得到拉普拉斯方程，也称为调和方程。同样，在扩散问题中，浓度处于稳定的章台或考虑振动的平衡现象，都得到同样的拉普拉斯方程或泊松方程。下面讨论由静电和产生的静电场，从电磁学中知道静电场是无旋场。即 其中

26、0;为场强。因无旋场必有势场，即存在势函数 ，使 。有电动力学中的高斯定理，有   其中 为电荷密度，而由数学中的高斯公式，左边的面积分可写为体积分                  故有：  = 有D的任意性得泊松方程         &

27、#160;         如果所考虑的区域中没有电荷，势函数满足拉普拉斯方程 3.4定解条件的提出与定解问题确实定73.4.1定解条件的提出上一节通过具体的物理过程讲了一维波动方程的建立、热传导方程的建立、拉普拉斯方程的建立，方程导出以后，目的就是要解方程，得出方程的解规律 ，但要完全确定方程的解，仅仅有方程是不够，还与具体的物理过程相关的初始条件、边界条件以及边界所受的外界作用有关。如：在弦振动，振动物体在某一时刻的振动状态总是和以前的状态有关，即与初始时刻的状态有关。另外，弦的两

28、端受到约束，也会影响弦的振动，约束的条件不同，弦振动边界条件也不同。因此，找出这些条件才能完全确定方程的解，这些条件就是初始条件和边界条件。1弦振动的初始条件和边界条件1初始条件指弦上的某一点 处是初始时刻的位移和速度                              2边界条件：

29、指弦的两端应受到的约束条件分为三类 第一边界条件：指端点上的运动规律                            假设两圆固定在OL上，那么  第二边界条件：指端点的多处受的外力作用  假设不受垂直于 轴的外力作用： 表示 端为自由端。在端点张力&#

30、160;、 ，所以  第三边界条件：指端点受到弹性体支撑的外力作用在 点： 2热传导方程的初始条件和边界条件1初始条件：指开始时刻物体的分布情况 2边界条件第一边界条件：指细杆端点的温度                假设 表示在细杆 段的温度为零。第二边界条件：指细杆端点的热量 ， ， 假设 表示细杆端绝热。第三边界条件：指细

31、杆端点与介质的接触 对于边界条件与方程一样，假设自由项不为零，那么称为非齐次边界条件。假设自由项为零，那么称为齐次边界条件。即 、 、 为零的边界条件为齐次边界条件。3.4.2定解问题确实定上一节我们讲到了弦振动、热传导的初始条件和边界条件1定解条件、初始条件和边界条件统称为定解问题确定解的附加条件2定解问题：某个偏微分方程和相应的定解条件统称为定解问题如：                

32、0;    0  ， 0                    定解问题也分三类1初始问题哥西问题：定解条件中只有初始条件的定解问题如：                &

33、#160;             无限长的弦振动2边界问题：只有边界条件的定解问题。如：                   一个薄圆 3混合问题：既有边界条件又有初始条件的定解问题。3.5小结：    本章主要根据物理现象导出

34、一维波动方程、热传导方程、泊松方程和拉普拉斯方程的建立方法以及定解条件的提出与定解问题确实定。4.数学物理方法在物理中应用的举例8 9 104.1别离变量法解有限长的弦振动问题所谓别离变量法就是将未知函数按多个单位函数分开，如，令 从而，将偏微分方程的求解问题，化为假设干个常微分方程的定解问题来求解。其根本步骤为:1将 代入方程和边界条件得到关于 的特征问题和一个关于 的常微分方程。2求出特征问题的特征根 和特征函数 。3求出对应 的有关 的常微分方程的选择 。4写出一系列特解

35、0;  h=1.2。5进行叠加 ，由初始条件确立 ，那么由欧拉公式确立 的 就是混合问题的的解。例：弦振动定解问题为                               4.1    

36、0;                                     4.2            &

37、#160;                              4.3                  

38、0;             4.4解：令                                   

39、0;                4.5将4.5代入方程4.1和边界条件4.2，4.3得：                即             

40、;    于是得：                                             &

41、#160;     4.6                                           

42、0;4.7                                                 &

43、#160;           4.8                                     

44、0;                      4.9下面求本征值问题4.64.8：      度 ，那么               又代入4.8得：

45、0;                                 于是得 ， ，即，当 时 ，故 。 时 ，那么4.6有通解      

46、  由4. 7得                                               

47、                     4.10                            &#

48、160;                                     4.11解：   由4.10、4.11得      

49、60;               故有                  又由4.8得：               

50、                                        4.12         &#

51、160;                                             4.13解：   由4

52、.12、4.13得                   所以                           n=1，2，3故本征值问题

53、为 ，本征函数为 将 代入T的方程4.9得：                                    从而有：       &

54、#160;                4.14代入初始条件4.4得                               

55、;                          将上两式代入4.14便是弦振动的运动规律。4.2用达朗贝尔公式解无限长的弦振动问题4.2.1达朗贝尔公式对于一维波动方程的Cauchy问题            &#

56、160;                 4.15                           ，    

57、60;                      4.16方程4.15的通解为                         &

58、#160;  4.17其中， 是以速度a沿x轴正向传播的正行波，而 是以速度a沿x轴负向传播的反行波。1定解问题4.154.16的特解为               4.18称为达朗贝尔公式。它说明弦上的任意扰动，总是以行波的形式分别向正反两个方向以速度a传播出去。此解法又称为行波法.其解题要领为：1引入变量代换，将方程化为变量可积的形式，从而求得其通解；2用定解条件确定通解中的任意函数或常数，从而求得其特

59、解。4.2.2用达朗贝尔法求解定解问题例：在无限长得输线上传播着的电压和电流满足如下定解问题                                          &#

60、160;   4.19                                             

61、0;                4.20                                 

62、                                4.21                 &#

63、160;                                           4.22而且有 ，试求该传输线上的电流和电压。 

64、0;    解： 这是关于未知函数 和 的一阶偏微分方程的定解问题，我们希望通过适当的变换，将之化为本课程所讨论的二阶线性偏微分方程来求解。首先，将4.20乘 后对 求导减去4.19乘 后对 求导得：                    由4.20有   &

65、#160;              ，                  并考虑到CR=GL以及4.21和4.22给定的初始条件，于是有            

66、;                               4.23          ，        

67、            4.24现在我们令                                    

68、60;                           (4.25)代入定解问题4.23、4.24得                   

69、;     ， 由达朗贝尔可以求得 于是，原定解问题中的电压为 类似的，也可以求得原定解问题中的电流。4.3用格林函数法求解数学物理方程4.3.1格林函数的定义通过拉普拉斯方程的球内狄利克雷问题的解决，可以引出关于一般曲面 的狄利克雷问题          ，在区域 内          ，在

70、60;的边界 上的求解得到公式：           调和函数 在界面 上与函数 相等，那么上式就变为          然后令          于是        &

71、#160;                                                 &

72、#160;  (4.26)对于平面的情形可以推导得                                            &

73、#160;             (4.27)其中                                                        (4.28)函数 称为拉普拉斯方程 关于区域 狄利克雷问题的格林函数。格林函数的存在解决了狄利克雷问题。所以人们也把这种处理问题的方法称为格林函数法。例：半空间的情形，即求一个在