曾瑾言第四版课后习题第5章-1

1、第五章：对称性及守恒定律P248设粒子的哈密顿量为V(r)。(2)证明1 rpl证明dt口证明：对于定态P Xpx ?yp2/2T r Vzpz，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律:?H? xpxy?y1 2?z,PV(x, y,z)XPx昭,*(Px2 ?y2?z2) V(x, y,z)X?XypyZ?z, Px22 2 1PyPz xPx yPy ZPz,V(x, y,z)(2)分动量算符仅与一个座标有关，例如P，而不同座标的算符相对易，因此2式可简化成:i x? ?用丹纵点+ 邮y点£卷？；x?x y?y zPz，V(x, y, z)111(3)2_?px>

2、f?2厂爾点郎z, 0；x?x,V90y,Vz0z,V前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：xPx, 02 003?2x?xx?30xx?20x>?x 02x?xx, 0xl0x 0x【x, 0x0x2 2 2i0xi0x 2 i0xx0x,V磁 V?0x x0xV? xV?x x 0x,V将(4)(5)代入(3)，得:? ?, H? (?2 ?y ?Z) x y z x y z泄r V代入(1),证得题给公式:d(2)在定态之下求不显含时间t的力学量?的平均值，按前述习题2的结论，其结果是零，令R ? p*(? ?) d(7)那么一 r p dt但动能平均值由前式P249设粒子的势

3、场 V(x, y,z)是x, y, z的n次齐次式证明维里定理(v irial theorem )nV 2T式中v是势能，T是动能，并应用于特例：(1) 谐振子V T(2) 库仑场V 2T(3) V Crn, nV 2T(解)先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标(x, y,z)的n次齐次式，那么不管n是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中v假定是有理函数(假设是无理式，也可展开成级数)：V(x, y,z)Cjkxiyjzk(1)ijk此处的i,j,k暂设是正或负的整数，它们满足:i j k n (定数)Cjk是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。根据前一

4、题的结论:2T? V(2)现在试行计算此题条件下 rV的式子及其定态下平均值。VVVx y zxyz(x-y-z )CiJk x y jk zxy zxiCjkxii 1 j ky z yjCjkxiJ 1 ki J ky z z kCjk x y z(i j k)CijkXlyJzkijknV x, y,z这个关系在数学分析中称Euler的齐次式定理。再利用2即得:2T nV3本证明的条件只要r V不显含时间见前题证明故是一个普遍的证明。现将其直接用于几种特例，并 另用2式加以验证。1谐振子：V - ix22y23Z2直接看出n 2，根据3式知道2T 2V，即 T V也可以根据前一题的结论，

5、即2式直接来验证前一结论VVyzyzx iX y 2y z 3Z(1X22屮3Z2) 2Vr V 2V，由3式可知T V2库仑场直接看出v是x,y,z的n 1次齐次式，按3式有:2T但这个结论也能用3式验证,为此也利用前一题结论2有:Vzzx2厂(x y2、3/ 2z )(x2、3/ 2z )(x22、3/2z )代入2式，亦得到2T VCrn C(x23场 Vx, y, z直接看出v是x,y,z的n次齐次式，故由2y(3)nz22式得：2TnV仍根据2式来验证:V r V x xV y-nx (x2z2)2 1 (2x) yn 22(xz2)12(2y)n 22(xz2)A (2z)n(x2

6、z2)2 nV由2得 2TnV，结果相同。本小题对于n为正、负都相适，但对库仑场的奇点0除外。P260求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。A?(t)应解根据海森伯表象绘景的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符满足：dA 1 r ? 1?1A, H?idt i又对于自由粒子，有 H? ?不随时间t变化2令A(t) :?(t)为海氏表象座标算符；代入(i)d?(t)dtd?(t)dt但班t), p2 x?2?亠2(t), ?22 iI?2 5?pX? p5?(2)?,p? ?,?2 i?dX(t)1 i?代入(2)，得:2 i?dt2 i积分得X(t) ? C(3)将初始条件

7、t 0时，:?(t)5(0)代入得Cx(0)，因而得到一维座标的海氏表象是:X(t) tX0)P260求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。 解：用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：(1)解法同于前题，有关坐标5?(t)的运动方程式是:型丄X(t)dt i22将等式右方化简，用前一题的化简方法:2 2X1 2X, ?2i2盯X,?2?(t)d?(t)1丄?(t)但这个结果却不能直接积分(与前题不同,dp(t)dt?与t有关)，为此需另行建立动量算符的运动方程式:2 2X (t)2化简右方1評,2 2X (t).22前係2沏xxp2需曲？刃0,刃2?2(t)d?(t) dt将对时间求一阶导数

8、，并与式结合，得算符x(t)的微分方程式：2X(t) 0dt2这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率3,它的解是:?(t) A cos tBsin t A?, B待定算符，将它求导，并利用:卩(t)(Rcos tAsint)将t=0代入x(0)=AP (0)= B,最后；得解-X(t):?(0) cost丄?(0)s int-P(t)p(0)costx(0) sint)在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式中:X(0)?讯0)i xc.f.P.Roman.AdvaneedQuantum Theory: § 1.1.p.47-48 Addison-W

9、esley 5.1设力学量 A不显含t , H为本体系的Hamilton量，证明d2代H ,HdA 1证.假设力学量A不显含t，那么有-厂A,H,令A,Hd2A"dt1 dCi dtdt2A, H ,H4adt25.1证明力学量 A 不显含t的平均值对时间的二次微商为:H?是哈密顿量解根据力学量平均值的时间导数公式，假设力学量A不显含t,有(1)将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量丄A,H?的平均值，那么有:id2Adt2丄丄険同,点i i2此式遍乘 即得待证式。t的导数的平均值等于零。A在态中的平均值，有:5.2证明，在不连续谱的能量本征态束缚定态下，不显含t的物理量对时间

10、证明设A?是个不含t的物理量，是能量H?的公立的本征态之一，求A *A d将此平均值求时间导数，可得以下式推导见课本§5.1(1)普 丄尺H? -*AH? H?Addt ii今代表FP的本征态，故满足本征方程式H? E E为本征值又因为FP是厄密算符，按定义有下式需要是束缚态，这样下述积分存在题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量2 3代入1得：兽丄 *AH?d 丄H?*Ad dt ii* /? dE*A diidA因 e E*，而 dA 0dtdA52设力学量A不显含t，证明束缚定态，不0证：束缚定态为n r,tiEn r e 1nto在束缚定态nr,t，有Hn r,ti

11、ntr,tEn n r ,t °其复共轭为*H*nr,ti t*n reiEntEnn* r,t odAdAdd nA dn ,nn , An,A nn,A-dtdtdtdtdtdA11Hn , A nn,A：-Hndt iiHAdAn , HA n 丄n , AH n _A,H n, AHdtiiii1 -A, H H, A 0。idi 5.3证明，对于一维波包有：孑2 XP PX2解一维波包的态中，势能不存在故自由波包依据力学量平均值时间导数公式:d x dt丄丽丄X2,孚II2入x2,?x2(2)pXx2(X?x?x ?PxX?x)(X?xX?x Xpx?X(XPxPxX ?x

12、X?x?)(?xXPx>? ?x?xXX)XX, ?x?x?Px?, Px x, ?x?xxPxx, ?x>?(3)刃,P<I(4)0,?： 2 I(x?x Pxx代入2式，得到待证的一式。5.4多粒子系假设不受外力，那么其哈密顿算符可表成:H?j22m IV/rII ,jI jrj /证明：总动量?I为守恒。i证明：待证一试是矢量算符，可以证明其x分量的守恒关系，即为足够按力学量守恒条件这要求:?x,R0?x,V?ix,IV(/ rirj/)I, j=I?ix,i12m I0I2Pix, V (/ ri rj /)ii,j=p1x?Ix2>1x2p1y2P1z2)12

13、mI(Pix2?iy2Piz2 )+ p1x?2xV(/A 叨)V (/ rIrj /)第一个对易式中，因为:Bix，?jl0，?ix,?j/0，?ix,P故整个?Ix,至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式V/ri 几/i,jV(Xi Xj, yi yj ,ZiZj )i,j1V(Xi Xj, yiyj,Zi Zj) V(Xi Xj, yi yj,ZjZj)2 i,j又式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和, 易，式又能简化成：?x,H由于不同粒子的坐标算符和动量算符永远能够对再运用对易式?ix, V?(Xi Xj ,Yi Yj,ZiZj)j?冷心“儿乙z) V?(xjXi,

14、yj yi,Zj Zi)第四章 11题?ix,F(Xi) J F(Xi)XiV(Xi) i Xi代入上式得:?x,H?Xj, yiyj,ZiZj )?ix,2?(XjXi, yjyi,Zj乙)j 2i XiV2i xi满足式，故式得征。5.5多粒子系如所受外力矩为0，那么总动量L?为守恒。证明：与前题类似，对粒子系,外力产生外力势能和外力矩，内力那么产生内力势能V5rj，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0因此假设合外力矩为零，那么总能量中只含内势能:R 土?2Vrii,jrj要考察合力矩是否守恒，可以计算L?, H?的分量看其是否等于零。?x,H?(yi PiZ Zi Piy ), iH2V

15、rii,jrj122(yi PiZZi Piy)(?xPiy2 i?iZ2)(?ix2?iy2?Z2)( yi PiZZi Piy )(yi PizZi Piy V (Xi Xj, yiyj,ZiZj) V (Xi Xj, yiyj, ZiZj)( y PiX Z Piy)1 2 2 2 2 2 2(YiPizPixPixYiPiz)(YiPiz?iy?yYiPiz)( Yi PizPizPizYiPiz )i 2 i2 2 2 (Pix z Piy ZiPiy ?x )(Piy ZiPiy(Yi PixVVyi Pix) (VZi Pyi jZi Piy ?/)(pi;乙 PiyV)2izZ

16、iPiyz piy pi/)piz , piy 0、 2 2 2 因为pix , Piy piz, piz piz , pix因而可以化简:?x,H?十0 yi,?iy2?iz 0 02?iz，zi PiyPiz,yV zy, pyj用对易关系:?x,H?jcyiy122 iPiy Piz2 iPiz Piy2 izf最后一式第一求和式用了2yi，Piy 2 ipy 等第二求和式用了:px,f(X)厂最后的结果可用势能梯度内力表示，因内力合矩为零，故有?x,H?- rii i,j一rii i,jfi 0同理可证Ly,闻?因此L是个守恒量。5.6证明：对经典力学体系，假设A，B为守恒量，那么A，

17、B即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒量，对于量子体系假设 A， B是守恒量，那么A, B也是守恒量，但不一定是新的守恒量。证明先证第一总分，设 qi为广义坐标，pi为广义动量，A qi , pi和B qi , pi 是任意力学量，i=1,2,3,£为坐标或动量编号,s 自由度，那么经典 Poisson 括号是：前半题证明 c.f.Goldstein : Clessical MechanlcsA,BA Bi qi PiPiqi在经典力学中，力学量A随时间守恒的条件是或写作:dAAA Pi0dtqi t Pi t将哈密顿正那么方程式组:dqiHdPiHdtPidtqidAAA HA

18、HA r、小代入前一式得HA A, H0dttiqi PiPiqit因此，假设力学量A , B不显示含时间t,那么这两涵数随时间守恒的条件是：A,H0B,H0假定以上两条件都适合，我们来考察A，B是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立： A,H, H 0为了考察前一式，可令:I A, B,HB,A,H将此式用泊松括号的定义展开得:爲HA Hqi PiPiqiH的一阶导数的项，化简形式如下:仔细地展开前一式的各项，将发现全部有关H的二阶导数都抵消，只留下HhI F(A,B) G(A,B) iPiqi式中F，G都含A和B的导数，为了确定这两个待定系数， 可令H等于特殊函数pi这不失普遍性，F与

19、H无关， 代入式后有I A,B, PiB,A,PiA B,A,Bqqi qi前式中B, Pi的值可在中，作替代 A >B，B > Pi得到，A, Pi求法类似。再在式中，令H= pi，得:I=F A，B 因而得:F(A,B) A,B qi同理令H=qj得：G(代B)A, BPi将所得的F和G代入，并将这结果再和等同起来，得到:A，B，H B，A，HHhA,BB A,B, Hi qiPi Piqi这个式子说明：如果(2) , (3)满足，(4)式就成立即A,B守恒。在量子力学体系情形，A, B守恒的条件是A, 0B, H? 0再考察 I A e?H? AB? BAHAgH? BA,H

20、?将此式加减ABH? e?H?A后得到：A,肉旳 A氏H? A,RB BtrfA H?,BA假设A，e?是守恒量，前一式等号右方庫H? 0，氏H? 0，左方>A,e?H? 0所以A,B也是守恒量，所以量子体系的情形也有类似的结论。在量子体系情形，假设A, E?是守恒量，那么A,B?, H?有共同本征态，在此态中测得/?, B的值为确定值Ao和Bo (初始时刻的值)，A,B的值为0。5.7 3.2，3.35.8 Dx a exp ae)piaPx 表示沿x方向平移距离a算符.证明以下形式波函数(Bloch波函数)xikxx e k x , k x ak x是Dx a的本征态，相应的本征值为ikae证：Dx a xik x ae k xe ika eikx k xika证毕5.8证明周期场中的 Bloch波函数(§ 3.4)(x) eikx k(x)， k(x a) k(x)(x)是这种态，那么是Dx(a)的本征函数，相应的本征值是eika。(证明) Dx(a)是位移算符，它的