近三年高考全国卷理科立体几何真题

1、新课标卷1、(2016年全国I高考)如图，在以A,B,C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,AFD90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60o-DC(I)证明：平面ABEF平面EFDC;/(II)求二面角E-BC-A的余弦化尸乙二二2、(2016年全国II高考)如图，菱形ABCD的A5对角线AC与BD父于点O,AB5,AC6,点E,F分别在AD,CD上，AECF-,4EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF位置，OD而.(I)证明：DH平面ABCD;(II)求二面角BDAC的正弦值.3【2015高考新课标1,理18】如图，四边形ABC

2、D为菱形，/ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点，BEX平面ABCD,DFL平面ABCD,BE=2DF,AEXEC.(I)证明：平面AECL平面AFC;(n)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.4、2014新课标全国卷H如图1-3,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAX平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明：PB/平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=，3,求三棱锥E-ACD的体积.图1-35、2014新课标全国卷I如图1-5,三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABXBiC.图1-5(1)证明：AC=A

3、Bi；(2)若ACLABi,/CBBi=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.6、(2017?新课标n)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1K一AD,/BAD=/ABC=90°,E是PD的中点.(I)证明：直线CEII平面PAB;(n)点M在,梭PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角MABD的余弦值.7、(2017?新课标出)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，/ABD=/CBD,AB=BD.(I)证明：平面ACD，平面ABC;(n)过AC的平面交BD于点

4、E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.8、(2017?新课标I卷)如图，在四棱锥(1); ABEF为正方形AF EF AFD 90 AF DF DF I EF=FAF 面 EFDCAF 面 ABEFPABCD中，AB/CD,且/BAP=/CDP=90°.（12分）证明：平面PAB，平面PAD;若PA=PD=AB=DC,/APD=90°,求二面角APBC的余弦值.1【解析】平面ABEF平面EFDC由知DFECEF60ABIIEFAB平面EFDCEF平面EFDCABII平面ABCDAB平面ABCD.面ABCDI面EFDCCDABIICD

5、CDIIEF.四边形EFDC为等腰梯形以E为原点，如图建立坐标系,FDuuruurBCEB0,2a,02a,uuuAB2a,0,0设面BEC法向量为urmx,y，zuruur2amEB0auruurmBC0即22ay3aa2zi设面ABC法向量为X2y2,Z2rnrnuurBC=0uurAB0.即a2X22aX22ay2X20,y2v-3,Z2cos设二面角EBCA的大小为ITmurmrnTn162.1919而角EBCA的余弦值为21919一5AECF52【解析】证明：:4,AEADCFCD.EF/AC.四边形ABCD为菱形，ACBDEFBDDH，:EF-AO3.又ABAOOB-OB4OHAE

6、AOODDH-OD|2|OH|2lD'H|2-D'H)一EF.D'H面ABCD建立如图坐标系HxyzuuuAB0C1,3,uuur3,0AD'0D'0,1,3,33uuuACA1,3,0ir设面ABD法向量n1in unrn1AB 0 4x in uuiu由n AD 0得 x3y3y03z同理可得面AD'C的法向量0in%urni3,4, 5cosnr uu ni n2 都9 57 5521025sin2 95253,咯案】见解析33【解析】试题分析工(1)连接37设31小孰连接三&FG,33在菱形.齿U3中：不妨设M=L易证工GLM,通

7、过计篁可证EGLFG根据线面垂直判定定理可知工平面.下口由面面垂直判定定理知平面上平面上一(II)以G为坐标原点，分别以3瓦前的方向力k轴，；轴正方向，GE力单位长度,建立空间直角坐标系G利用向量法可求出异面直线.二与UF所成角的余底值，if试题解析*<I)连接为，设即,/0掺连接EG在井工38中,不妨设&3-1,由/二火可得：G=GO有由351平面上5匕/三=3(?可知/三=工匕又AELEC,aEG=x3,EGLAC,在RtzXEBG中，可得BE=V2,故DF=型.2在RtAFDG中，可得FG= 6 .2在直角梯形BDFE中,由 BD=2,DF=q可得,当EG2FG2EF2,E

8、EGXFG,.ACnFG=G,EG，平面AFC,.EG面AEC,.平面AFC,平面AEC.uuu uuruuu(II)如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz,由(I)可得A (0, -3,0), E(1,0, 72),2uuurF (- 1,0,味，C (0,。3, 0) ,AE= (1-uum、3, V2) , CF= (-1, -V3,).10分2uur uuur 故 cos AE,CFuuur uuurAE ?CF3uuur uiur|AE|CF|3所以直线AE与CF所成的角的余弦值为 夸.12分4,解：(1)证

9、明：连接BD交AC于点O,连接 因为ABCD为矩形，所以。为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO/PB.EO.因为EO?平面AEC, PB?平面AEC,所以PB/平面AEC. (2)因为FAL平面ABCD, ABCD为矩形，所以AB, AD, AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点，AB,为单位长，建立空间直角坐标系0及1U, 2 ， 2 .设 B(m, 0, 0)(m>0),则 C(mAD, AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|AP|A-xyz,则 D(0, V3, 0), E 0,g P AE =弧 0), AC=(m,品 0).设ni = (x, y, z)为平面ACE的法向量

10、,AC=0, 即Al=0mx+ V3y=0,31 n2 y+gz= 0,可取ni =又 n2=(1,由题设易知m，0,-10)为平面DAE的法向量, 1 口|cos <n1, n2> |=2,即3+4m2 = 2,解得 m3 =2.因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为;三棱锥E-ACD的体积V=232义,3X2X|=-83.5解：(1)证明：连接BC1,交B1C于点O,连接AO,因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CXBC1,且。为B1C及BC1的中点.又ABLBiC,所以BiC，平面ABO.由于AO?平面ABO,故BiCXAO.又BiO=CO,故AC=ABi.(2)因为

11、ACLABi,且。为BiC的中点，所以AO=CO.又因为AB=BC,所以ABOA/XBOC.故OALOB,从而OA,OB,OBi两两垂以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为/CBBi=60°,所以CBBi为等边三角形，又AB=BC,则A0,0,当3,B(1, 0, 0), Bi 0* 0 , c 0,号,0 .AB1=0,卓当，AB-AB：i,0,一乎,/3BC=BC=-i,三，0.设n=(x,y,z)是平面AAiBi的法向量，则n ABi = 0n AiBi= 03y3zu，即所以可取n=(i,V3,J3)x£

12、;=0.3设m是平面AiBiCi的法向量,m AiBi = 0同理可取m = (i, -V3,也).mBiCi=0|n|m|7.i所以结合图形知二面角A-AiBi-Ci的余弦值为6、【答案】(I)证明：取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点,11111所以EF"二AD,AB=BC=2AD,/BAD=/ABC=90,.BCIIAAD,BCEF是平行四边形，可得CE/BF,BF?平面PAB,CF?平面PAB,直线CE/平面PAB;(II)解：四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=-AD,/BAD=/ABC=90,E是PD的中点.取AD的中

13、点O,M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2,则AB=BC=i,OP=./PCO=60,直线BM与底面ABCD所成角为45°,二面角M AB D的余弦值为：可得：BN=MN,CN=MMN,可得：1+BN2=BN2,BN=作NQXAB于Q,连接MQ,所以/MQN就是二面角MAB叵=刀-一，BC=1,MN=,-D的平面角，MQ=P+()K叵丁=5. ./BOD=9 0 .又 DOH AC=O ,(n)解：设点平面 ACD，平面 ABC .姓DEhE ,则还=以百.7、【答案】（I）证明：如图所示，取AC的中点O,连接BO,OD.,ABC是等边三角形，.OB±AC.ABD

14、与ACBD中，AB=BD=BC,/ABD=/CBD,.AABDACBD,AD=CD.ACD是直角三角形，1.AC是斜边，./ADC=90.DO=AC.do2+bo2=ab2=bd2OB±OD.OB,平面ACD.又OB?平面ABC,D,B到平面ACE的距离分别为hD平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,*£依如秘至"=卜正=诟=1.点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2.则 O (0, 0,0) , A (1, 0, 0) , C (1, 0, 0) , D (0, 0, 1) , B (0,0) , E0,1),AE=设平面ADE

15、的法向量为刑=(x,y,z)，则俯五5=o匕声NS=o,即=同理可得：平面ACE的法向量为另=（0.cos ,.*；：=/布=£二面角D-AE-C的余弦值为7. AB XPD,8、【答案】（1）证明：,/BAP=/CDP=90°,PA±AB,PD±CD,.ABIICD,又PAIPD=P,且PA?平面PAD,PD?平面PAD,AB，平面PAD,又AB?平面PAB,平面PAB，平面PAD;PAD , AB（2）解：:ABIICD,AB=CD，:四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB，平LAD,则四边形ABCD为矩形，在AAPD中，由PA=PD,/APD=90,可得PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a,则AD=取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、v、z轴建立空间直角坐标