数学八年级上：因式分解练习题及答案解析

1、一、单选题1、正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，并且a+bc+b+ca=24，则这样的三角形有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2、任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t（s，t是正整数，且st），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）=给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1其中正确说法的个数是（

2、）A1 B2 C3 D43、ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若=，则ABC是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形4、对于任意整数n，多项式（n+11）2-（n+2）2都能被（ ）整除 A9 B2 C11 Dn+95、已知a-b=1，则a2-b2-2b的值为（ ） A4 B3 C1 D06、如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（ ） A6 B8 C-6 D-87、如果x2+3x-3=0，则代数式x3+3x2-3x+3的值为（ ）A0 B-3 C3 D8、设x2-x+7=0，则x4+7x2+49=（ ） A7 B C- D0二、填空

3、题9、设，则代数式3a3+12a2-6a-12的值为 10、已知关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m0），则m-n= 11、若ab=3，a+b=4，则a2b+ab2= 12、设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab20，则= 13、已知a+b=3，ab=-1，则a2b+ab2= 14、已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2011的值是 15、甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地应该是 米三、解答题16、

4、我们学过因式分解的概念，在计算多项式的过程中，如果能适当地分解因式进行化简，会使得计算更为简单我们为此引入质因数分解定理：每一个大于1的整数都能分解为质因数的乘积的形式，如果把质因数按照从小到大的顺序排在一起，相同因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的请你学习例题的解法，完成问题的研究例：试求5746320819乘以125的值解：125=1000÷85769320819×125=5746320819000÷8=718290102375答：由上知，5746320819×125=718290102375请根据例题，求一实数，使得它被10除余9，被9除

5、余8，被8除余7，被2除余1 17、按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，每扩充一个新数叫做一次操作现有数2和3求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由 1、正整数a，b，c是等腰三角形三边的长，并且a+bc+b+ca=24，则这样的三角形有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个C【解答】 分析：先将a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合讨论是否符合题意即可得出答案解

6、答：解：a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，其中a，b，c都是正整数，并且其中两个数相等，令a+b=A，c+1=C 则A，C为大于2的正整数，那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，3×8，2×12，、A=2，C=12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解；、A=3，C=8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解；、A=4，C=6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解；、A=6，C=4时，c=3，a+b=6，可以得

7、到a=b=c=3，可以组成等腰三角形；、A=8，C=3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形，a=b=4是两个腰；、A=12，C=2时，可得 a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形，a=b=6是两个腰一共有3个这样的三角形故选C题考查数的整除性及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键2、2×9，3×6这三种，这时就有F（18）=给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1其中正确

8、说法的个数是（ ）A1 B2 C3 D4B【解答】 分析：把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同解答：解：2=1×2，F（2）=是正确的；24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，F（24）=，故（2）是错误的；27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又39，F（27）=，故（3）是错误的；n是一个完全平方数，n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的正确的有（1），（4）故选B

9、点评：本题考查题目信息获取能力，解决本题的关键是理解此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=（pq）3、ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若=，则ABC是（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形D【解答】 分析：分别从当AD=BD时，可得ABC是等腰三角形；当AC2=ADAB，BC2=BDAB时，ABC是直角三角形解答： 解：若AD=BD，=，AC=BC，此时CD是高，符合题意，即ABC是等腰三角形；=，=，当AC2=ADAB，BC2=BDAB时成立，即，A是公共角，ABCACD，ACB=ADC=90°，ABC是

10、直角三角形；ABC是等腰三角形或直角三角形故选D点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的判定此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用4、对于任意整数n，多项式（n+11）2-（n+2）2都能被（ ）整除 A9 B2 C11 Dn+9A【解答】 分析：将多项式利用平方差公式分解因式，由n为整数，得到2n+13为整数，可得出多项式能被9整除解答：解：多项式（n+11）2-（n+2）2=（n+11）+（n+2）（n+11）-（n+2）=9（2n+13），n为整数，2n+13为整数，则多项式（n+11）2-（n+2）2都能被9整除故选A点评

11、：此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键5、已知a-b=1，则a2-b2-2b的值为（ ）A4 B3 C1 D0C【解答】 分析：先将原式化简，然后将a-b=1整体代入求解解答：解：a-b=1，a2-b2-2b=（a+b）（a-b）-2b=a+b-2b=a-b=1故选C点评：此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用6、如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（ ） A6 B8 C-6 D-8C【解答】 分析：由x2+x-1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可解答：解：由x2+x-1=0得x2+x=1，x3+2x2-

12、7=x3+x2+x2-7，=x（x2+x）+x2-7，=x+x2-7，=1-7，=-6故选C点评：本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值7、如果x2+3x-3=0，则代数式x3+3x2-3x+3的值为（ ）A0 B-3 C3 DC【解答】 分析：先对所求代数式的前三项提取公因式x，再利用整体代入来求值解答：解：当x2+3x-3=0时，x3+3x2-3x+3，=x（x2+3x-3）+3，=3故选C点评：本题考查提公因式法分解因式，关键是提取公因式后出现已知条件的形式，然后

13、利用整体代入求解8、设x2-x+7=0，则x4+7x2+49=（ ） A7 B C- D0D【解答】 分析：首先将x4+7x2+49变形，可得x2（x2+7）+49；然后将x2-x+7=0变形，可得：x2=x-7，x2+7=x，整体代入即可得到7x2-7，提取公因式7，即可求得解答：解：x4+7x2+49=x2（x2+7）+49又x2-x+7=0，x2=x-7，把x2=x-7和代入x2（x2+7）+49得：=（-7）+49，=7x2-7，=7（x2-x+7），=7×0，=0故选D点评：本题主要考查了因式分解的应用注意整体思想的应用9、设，则代数式3a3+12a2-6a-12

14、的值为 24【解答】 分析：将所求式子提取3后，拆项变形，分别得到a+1的因式，将已知等式变形得到a+1=，把a与a+1的值代入计算，即可求出值解答：解：a=-1，即a+1=，3a3+12a2-6a-12=3（a3+4a2-2a-4）=3（a3+a2+3a2+3a-5a-5+1）=3a2（a+1）+3a（a+1）-5（a+1）+1=3×（-1）2×+3（-1）×-5+1=3（8-14+21-3-5+1）=3×8=24故答案为：24点评：此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键10、已知关于x的方程x2-nx+m=0有一个

15、根是m（m0），则m-n= 答案是-1【解答】 分析：将x=m代入原方程，列出关于m的一元二次方程m2-nm+m=0，然后通过因式分解法解该方程求得m-n的值即可解答：解：关于x的方程x2-nx+m=0有一个根是m（m0），x=m满足关于x的方程x2-nx+m=0，m2-nm+m=0，即m（m-n+1）=0，m=0（舍去），或m-n+1=0，m-n=-1；故答案是：-1点评：本题考查了一元二次方程的解的定义、因式分解的应用解答该题时，通过提取公因式m将方程m2-nm+m=0的左边转化为两式之积的形式，从而求得m-n的值11、若ab=3，a+b=4，则a2b+ab2= 【答案】12【解

16、答】 分析：此题只需先对a2b+ab2进行因式分解得ab（a+b），再将ab和a+b的值代入即可得到结果解答：解：ab=3，a+b=4，a2b+ab2=ab（a+b）=3×4=12故答案为：12点评：本题考查了因式分解的应用，关键是提取公因式，比较简单12、设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab20，则= 答案为-32【解答】 分析：根据1-ab20的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值解答：解：a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b

17、2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=-（a2+2a-1），a2+2a-1=0，-（a2+2a-1）=0，与题设矛盾a-b2+20，a+b2=0，即b2=-a，=-=-（）5=-25=-32故答案为-32解法二：a2+2a-1=0，a0，两边都除以-a2，得-1=0又1-ab20，b2 而已知b4-2b2-1=0，和b2是一元二次方程x2-2x-1=0的两个不等实根 +b2=2，×b2=-1，（ab2+b2-3a+1）÷a=b2+-3+=（b2+）+-3=2-1-3=-2，原式=（-2）5=-32点评：本题考查了因式

18、分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab20的运用13、已知a+b=3，ab=-1，则a2b+ab2= 【答案】-3【解答】 分析：将所求式子提取公因式ab，分解因式后，将a+b及ab的值代入即可求出值解答：解：a+b=3，ab=-1，a2b+ab2=ab（a+b）=-1×3=-3故答案为：-3点评：此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，将所求式子分解因式是本题的突破点14、已知m2+m-1=0，那么代数式m3+2m2-2011的值是answer【答案】-2010【解答】 分析：根据已知求出m2+m=1，把所求的代数式化成含有m2+m的形

19、式，代入求出即可解答：解：m2+m-1=0，m2+m=1m3+2m2-2011=m（m2+m）+m2-2011=m1+m2-2011=m+m2-2011=1-2011=-2010故答案为：-2010点评：本题考查了分解因式的应用，关键是如何把已知条件代入所求的代数式，思路是：求出m2+m的值，把m2+m当作一个整体进行代入15、甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地应该是answer米【答案】（a+c）米【解答】 分析：首先计算

20、原来4块地的总面积，再进一步因式分解，出现a+b的形式解答：解：原来四块地的总面积是a2+bc+ac+ab=a（a+c）+b（a+c）=（a+c）（a+b），则交换之后的土地长是（a+c）米故答案为：（a+c）米点评：此题要能够熟练运用分组分解法进行因式分解16、我们学过因式分解的概念，在计算多项式的过程中，如果能适当地分解因式进行化简，会使得计算更为简单我们为此引入质因数分解定理：每一个大于1的整数都能分解为质因数的乘积的形式，如果把质因数按照从小到大的顺序排在一起，相同因数的积写成幂的形式，那么这种分解方法是唯一的请你学习例题的解法，完成问题的研究例：试求5746320819乘以125的值

21、解：125=1000÷85769320819×125=5746320819000÷8=718290102375答：由上知，5746320819×125=718290102375请根据例题，求一实数，使得它被10除余9，被9除余8，被8除余7，被2除余1【答案】N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519【解答】 分析：这个数加1可以被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，只需要求出10、9、8、7、6、5、4、3、2的最小公倍数减一即可解答：解：设这个实数是N根据题意，可知，这个自然数加1就可以被10，9，8，7，6，5，4，3，2整除，则N就是10，9，8，7，6，5，4，3，2的最小公倍数减去1，故N=3×3×2×2×2×7×5-1=2519点评：本题考查带余数的除法，难度较大，关键是掌握解答本题的解答步骤17、按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数