2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案

1、2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2016年3月13日9:0011：00满分150分C,一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分)。每道小题均给出了代号为A,BD的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填都得0分)1.在平面直角坐标系xOy中，已知点B(0,2),点A在x轴正半轴上且BAO30 OAB沿直线AB折叠得zCAB ,则点C的坐标为(. (1,通)B. (73,3)C.(3,V3)D.)(6,1)值的总交AB若实数ab满足a2B. 12若关于x的方程分和为

2、(如图,于点DA. 33a 2C.b24x2 x)B.30在zABC中,AB记ACAI的面积为B. 4C.C.5.值为m已知x,则My为实数,m (且满足403B. 6415C.、填空题(共5小题,每小题3b 2 ,且 aD. 632b,则(1 a2)(1b2)()0只有一个实数根，则符合条件的所有实数BC 3, DAIxy136157分,6.在平面直角坐标系内有两点 A(1,1) 有公共点，则k的取值范围为D.38I为4ABC的内心，连接CI并延长的面积为n,则m nD. 731D. 一52x共35分)B(2,3),若一次函数y kx 2的图像与线段AB8.的最大设Xi ,X2,X3,，Xn

3、是n个互不相同的正整数，且XiX2X3LXn 2017 ,则 n7.如图，在ZXABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于学BD2AE1AFBC5AD2AC9.如图，AB是。的直径，AC是。的切线，BC交。于E点，若OAJ5,则CEAEAB10.若正整数X, y, z满足方程组3X2Xy z 3XyZ ,则Xyz的最大值为 7( y z)解答题(共4题，每小题20分，共80分)11.若关于x的方程X2 (a 3)x a 20有两个不相等的整数根，求a的值12 .如图，H为4ABC的垂心，圆。为4ABC的外接圆。点E、F为以C为圆心、CH长为半径的圆与圆。的交点，D为线段E

4、F的垂直平分线与圆。的交点。(2) DEAB求证：（1）AC垂直平分线段HE;,一AJ13 .对于整数n3,用（n）表示所有小于n的素数的乘积。求满足条件（n）22n32的所有正整数n014 .在一个mn（m行，n列，m1）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：（1）每一列所填的数都是1,2,3,m的一个排列；（即在每一列中，1,2,3,m这m个数出现且仅出现1次）（2）每一行n个的数和都是34。当上述的填数方式存在时，求（m,n）的所有可能取值。2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2016年3月13日9:0011：00满分150分一、选择题(共5小题，每小题7分，共

5、35分)。每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分)1 .在平面直角坐标系xOy中，已知点B(0,2),点A在x轴正半轴上且BAO30。将OAB沿直线AB折叠得ZXCAB,则点C的坐标为()A.(1,73)B.(73,3)C.(3,V3)D.(V3,1)y【答案】B【解答】如图，设CDx轴于点Do依题意，CAOA2卮CAO2BAO60。一所以，CD3,AD褥，OD曲。°。月因此，点C的坐标为(73,3)。2 .若实数a,b满足a2 21 (a b)2 2ab a2b2 1 9 4 4 1

6、8。3a2,b23b2,且ab,则(1a2)(1b2)()9(1 3 2)18A.18B.12C.9【答案】A【解答】依题意，a,b为方程x2因此，由韦达定理得，ab3,(1a2)(1b2)(123a)(12D.63x20的两个不同实根。ab2。3b)9(1a)(1b)91(ab)ab或解：(1a2)(1b2)22221a2b2a2b23.若关于x的方程x24xax2x240只有一个实数根，则符合条件的所有实数a的值的总和为()A.6B.30C.32D.38【答案】D【解答】方程" x 24x a x2 40 化为 2x2 4x a 8 0若方程有两个相等实根，则168(a8)0,a

7、6。a6时，方程的根x1x21,符合要求。若x2是方程的根，则88a80,a24,此时，方程的另一个根为x4,符合要求。若x2是方程的根，则88a80,a8,此时，方程的另一个根为x0,符合要求。4.如图，在zABC中,AB6, BC3, CA 7,1为4ABC的内心，连接CI并延长所以，符合条件的a有6,24,8,其总和为38A. 3B.C.D.【答案】 C【解答】依题意，m £。n ID由I为AABC的内心知，JC AC .BCID AD BD(第4题)所以，由等比定理知,m IC ACn ID ADBCBDACBCAD DB5.已知xy为实数,且满足x2 xy4y2xy4y2的

8、最大值为交AB于点D。记zCAI的面积为m,ADAI的面积为n,则m()na 40A. 3B.64150136C.15D.31值为m,则Mm()由x2xy4y2xy4,xy24y 2xy4。5xy 4xy(x24y24) (x 2y)2当且仅当x 2y ,10-2 .10,或 x ,554°时等号成立。xy的最小值为2xy 4y. . 12 一2xy 4的取小值为一，即51253xy24xy (x4y24)(x 2y)24 ,当且仅当x 2y ,即x2.63 ，通或3【答案】Cxy的最大值为4 , 3xy 4y2 2xy 4的最大值为日，即M20o3xUy£时等号成立。20

9、12136Mmo3515或解：由x AE 1 n. AF-,，则一xy4y24,得x24y2xy4,ux2xy4y22xy4。设xyt,若x0,则4；x0时，x将y-代入x2xy4y24,tx2(t4)x(t 4)2 16t2 0,解得4°4代入方程,解得x232.6t4 、一一 °4代入方程，解得x25210xo5xy的最大值为4,3最小值为因此，M83420320m312136o515、填空题(共5小题,每小题7分，共35分)2的图像与线段AB6.在平面直角坐标系内有两点A(1,1),B(2,3),若一次函数ykx有公共点，则k的取值范围为1.一，一，一一-(个人觉得还

10、要补充k0,因为是一次函数)易得直线AB对应的一次函数的解析式为y2x1。由yy依题意,2x1/口,得(kkx22)x3方程有1x2的解。2 0,且 11k-。故k的取值沱围为2或通过作图求解。7.如图，在ZXABC中,D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于BD点FoBC【解答】如图，过点C作CG/BF交AD的延长线于点G,则AFAE又由CG/BE,知DGCsDEBoOACAG(第7题)AGDGDC3-ODEDB2ADDG372DE-DEDE。22AECBDAFACAEAGDEAGXn是n个互不相同的正整数，且X1X2X3Xn2017的最7值是【答案】63【解答】依题意,201

11、7x1x2于是，2017必XiX31)又当X11,X2X1x2x3LX22，Xn163。X3Xnnon(n1)o2，X3X6262,X6364时,X62L62646364212017所求n的最大值为63。9.如图，AB是。的直径,AC是。的切线,BC交。于E点,若OA赤，则CEAEAB【答案】住OA【解答】由AB为。O的直径知,局，AB2厮。由条件易得ACEs、AEBC。设CECEAEAEBE，AE2CEEB,即AE2mEB。结合AB2AE2EB、（或由射影定理得BA2得(2而m)2mEBEB2。BEBC,即(275m)2BE(BEm)EB2mEB20m20,解得EB4m或EB5m（舍去）。A

12、E2m,AE2m-叵,AB2、5m510.若正整数x,y,z满足方程组33yz3xyz7(yz)则xyz的最大值为答案】84解答】由x3y3z33xyz,得0o333一1xyz3xyz(xyz)(x2结合x,y,z为正整数得，(xy)22rrrx7x,x7,yz7。当x7,y3,z4或x7,y)2(xz)2(zy)20o(xz)2(zy)20,于是xyzy4,z3时，xyz有最大值84。三、解答题(共4题，每小题20分，共80分)11.若关于x的方程xn (a 3)n a(a3)xa20有两个不相等的整数根，求a的值。x1x2a 3, x1x2a 2X2是方程两个不相等的整数根，则2均为整数。

13、因此，a为整数。 (a 3)2设(a 5)2 8则(a 5)2 t2 由于a 5 t,t24(a 2) a2 10a 17(t为整数，且t 0)。于是，(a 5 t)(a 55 t奇偶性相同，且a(at)5)28为完全平方数。1015a解得t经检验a2,a8符合要求。8。20n )是方程两个不相等的整数根。另解：设m,n(m2则m(a3)ma两式相减，得(mn)(mn)(a3)(mn)(mn3代入,1)(n1)2。3,得mnn为整数，且因此,10分17时,158。2；273时，20分AEDHCBF（第12题）12.如图，H为4ABC的垂心，圆。为4ABC的外接圆。点E、F为以C为圆心、CH长为

14、半径的圆与圆。的交点，D为线段EF的垂直平分线与圆。的交点。求证：（1）AC垂直平分线段HE；（2）DEAB。【解答】（1）解法一：如图，连结AH,AE,EC0由H为ZXABC的垂心知，AHCABC180。由A、B、C、E四点共圆，得AECABC180AECAHC。又CHCE,CEHAEHAHE,AEAC垂直平分线段HEAH。10分解法二：作点H关于直线AC的对称点G。连结AH,AG,GC。则CG上。CH,点G在以C为圆心、CH长为半径的圆5分AGCAHC,H为AABC的垂心，AGCAHC180ABC,A、G、C、B四点共圆。因此，点G也在圆。上。E、G两点重合。ADHCBADHECBF10分

15、因此，E、H关于直线AC对称，即AC垂直平分线段HE。CH CF 。结合D为线段EF的垂直平分线DA AC 。又由（1）,以及H为4ABC的垂心知,HE ACBH AC。因止匕,三点共线。BE AC 。15分DCE 90CDE 90 CBEACBoDae AdbADHCBF（2）连结CF,BH。依题意有CE与圆O的交点，知CD为圆O的直径。20分DEABo或：通过DAEADB,证明DEABo或通过证明四边形ADBE等腰梯形，证明DEAB。13.对于整数n3,用（n）表示所有小于n的素数的乘积。求满足条件（n）22n32的所有正整数n0【解答】解法一：若n11,则11整除（n）,但11不能整除2

16、2n32。因此，n11不符合要求。故，n11。10分若7n11,则（n）2357210,由21022n32,得n11。15分若567,则（n）23530,由3022n32,得正整数n不存在。若3n5,则（n）236,由622n32,得正整数n不存在。若n3,则（n）2,由222n32,得正整数n不存在。满足条件的正整数n只有1个，n11。20分解法二：由（n） 22n 32,得（n） 1024 由于（n）是偶数，但不是4的倍数，因此, 若n 48 3,则n 48含有奇数的素数因子22（n 48）。n 48是奇数。 5分p,即p为奇素数，且p整除n 48。由n48n知，p整除（n）。由此p整除1

17、024,矛盾故，n483,即n49,且n为奇数。10分n49时，22n322249321046,（n）1046。又2357210,235711210111046。n11。即n3,5,7,9,11。15分将n3,5,7,9,11分别代入（n）22n32验证，n3时，（3）2,22n3234,不符合要求。n5时，（5）236,22n3278,不符合要求。n7时，23530,22n32122,不符合要求。n9时，（9）2357210,22n32166,不符合要求。n11时，（11）2357210,22n32210,符合要求。满足条件的正整数n只有1个，n 1120分14.在一个mn(m行，n列，m1

18、)的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：(1)每一列所填的数都是1,2,3,m的一个排列；(即在每一列中，1,2,3,m这m个数出现且仅出现1次)(2)每一行n个的数和都是34。当上述的填数方式存在时，求(m,n)的所有可能取值。【解答】依题意，每列m个数的和为123Lmm(m1),共n列。又每行m个数2的和为34所以,m(1n34m,(m1)n682217。2又m1。所以，(m,n)(67,1),(33,2),(16,4),(3,17)。当(m,n)(67,1)时，每一行1个数的和互不相同，与(2)矛盾，即符合条件的填数方式不存在。舍去。记aij为第i行，第j列所填写的数。当(m,n)(33,2)时，令a皿i,ai234i。即当第1列自上而下各行所填的数依次为1, 2, 3,，33;第2列自上而下各行所填的数依次为33,32