-Lyapunov指数的计算方法

1、【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有79本书！下面以吕金虎混沌时间序列分析及其应用、马军海复杂非线性系统的重构技术为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1.关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。（1）定义法对用维连块动力系统,二网力在时刻以孙为卬心,区为半径脓

2、一个«维的球面.随着时间的演化，在t时刻读球面即变形为M缝的椭球面.设该椭球面的第i个坐标轴方向的半轴长为氏（与，则该系统第i个L河皿3指数为*% = hm-inI。t网（wM|阿有|此即连续系统LyaMnw指孩的定义.实际计向眇取忸武飞,0）|为d5为常敷），以中为球心，欧儿里痣范敬为d的正交矢量集（.,叫£为初始球,由非线性微分方程让尸可以分别计菖出点Q町+如孙理小、足+%经过时间才后演化的轨迹,设具终了专分别为了如、际八、杭，则令则国=6一.加fJ"=W3历L则可得新的矢量集A4NJ由于各个矢量在演化过程中吉哙向着最大的UapurOT指数方向31拨，因此需要

3、通过Sthmidt正交化不断地对新矢量进行置换,即Wulf的文章中提出的GSR方法.表述如下：必就，齿严一<曲铲及耀>蜡，壮；时刃料叫vcn5Kmk4入出支口）>以<>>以尸一附出叫排着以砒为球心，范毅为（I的正交矢境惠心？叫叱了;为新球继续进行演化，设演化至N步时,得到矢量罪化必乜匕巧，且N足够大,这可以得到Lyapunov才徽拊近做计皙公式.卜亨以各n4.4*一竽+$£贴.叫痛计亶时,可以将d取为1定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的连续系统LE求解程序”差不多。以Rossler系统为例Rossler

4、系统微分方程定义程序functiondX=Rossler_ly(t,X)%Rossler吸引子，用索计算Lyapunov指数%a=0.15,b=0.20,c=10.0%dx/dt=-y-z,%dy/dt=x+ay,%dz/dt=b+z(x-c),a=0.15;b=0.20;c=10.0;x=X(1);y=X(2);z=X(3);%Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y=X(4),X(7),X(10);X(5),X(8),X(11);X(6),X(9),X(12);%输出向量的初始化，必不可少dX=zeros(12,1);%Rossler版引子dX(1)=-y-z;dX(2)=x+a*y;dX(3

5、)=b+z*(x-c);%Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco=0-1-1;1a0;z0x-c;dX(4:12)=Jaco*Y;求解LE代码：%计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit=1,1,1;orthmatrix=100;010;001;a=0.15;b=0.20;c=10.0;y=zeros(12,1);%初始化输入y(1:3)=yinit;y(4:12)=orthmatrix;tstart=0;%时间初始值tstep=1e-3;%时间步长wholetimes=1e5;%总的循环次数steps=10;%每次演化的步数iteratetimes=who

6、letimes/steps;%演化的次数mod=zeros(3,1);lp=zeros(3,1);%初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1=zeros(iteratetimes,1);Lyapunov2=zeros(iteratetimes,1);Lyapunov3=zeros(iteratetimes,1);fori=1:iteratetimestspan=tstart:tstep:(tstart+tstep*steps);T,Y=ode45('Rossler_ly',tspan,y);%取积分得到的最后一个时刻的值y=Y(size(Y,1),:);%重新定义起始时

7、刻tstart=tstart+tstep*steps;y0=y(4)y(7)y(10);y(5)y(8)y(11);y(6)y(9)y(12);%正交化y0=ThreeGS(y0);%取三个向量的模mod(1)=sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1);mod(2)=sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2);mod(3)=sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3);y0(:,1)=y0(:,1)/mod(1);y0(:,2)=y0(:,2)/mod(2);y0(:,3)=y0(:,3)/mod(3);Ip=lp+log(abs(mod);%三个Lyapunov指数L

8、yapunovl(i)=lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i)=lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i)=lp(3)/(tstart);y(4:12)=y0'end%作Lyapunov指数谱图i=1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化functionA=ThreeGS(V)%V为3*3向量v1=V(:,1);v2=V(：,2);v3=V(：,3);al=zeros(3,1);a2=zeros(3,l);a3=zeros(3,1);al

9、=v1;a2=v2-(a1'*v2)/(a1'*a1)*a1;a3=v3-(aT*v3)/(aT*a1)*a1-(a2'*v3)/(a2'*a2)*a2;A=a1,a2,a3;计算得到的Rossler系统的LE为0.0632310.092635-9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为0.090-9.77需要注意的是一一定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。正交化程序可以根据上面的扩展到N*N向量，这里就不加以说明了，对matlab用户来说应该还是比较简单的！Jacobian方法通过资料检索，发现论坛中用的

10、较多的LET工具箱的算法原理就是Jacobian方法。基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的Jacobian矩阵进行QR分解，计算Jacobian矩阵特征值的乘积，最后计算出LE和分数维。经过计算也证明了这种方法精度较高，对目前常见的混沌系统，如Lorenz、Henon、Duffing等的Lyapunov指数的计算精度都很高，而且程序编写有一定的规范，个人很推荐使用。（虽然我自己要做的系统并不适用于孑）LET工具箱可以在网络上找到，这里就不列出了！关于LET工具箱如果有问题，欢迎加入本帖讨论！Jacobian法求解Lyapunov指数.JPG对离散动力系统，或者说是非线性

11、时间序列，往往不需要计算出所有的Lyapunov指数，通常只需计算出其最大的Lyapunov指数即可。“1983,格里波基证明了只要最大Lyapunov指数大于零，就可以肯定混沌的存在”。目前常用的计算混沌序列最大Lyapunov指数的方法主要有一下几种：(1)由定义法延伸的Nicolis方法(2) Jacobian方法(3) 3)Wolf方法(4) P范数方法(5)小数据量方法其中以Wolf方法和小数据量方法应用最为广泛，也最为普遍。下面对Nicolis方法、Wolf方法以及小数据量方法作一一介绍。1) 1)Nicolis方法这种方法和连续系统的定义方法类似，而且目前应用很有限制，因此只对其

12、理论进行介绍，编程应用方面就省略了Nicolis方法求最大LE.JPG2) Wolf方法Wolf方法求最大LE.JPGWolf方法的Matlab程序如下：functionlambda_1=lyapunov_wolf(data,N,m,tau,P)%该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov指数-Wolf方法%m:嵌入维数！一般选大于等于10%tau:时间延迟！一般选与周期相当，如我选2000%data:时间序列！可以选1000;%N:时间序列长度满足公式：M=N-(m-1)*tau=24000-(10-1)*1000=5000%P:时间序列的平均周期，选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相

13、点为I,则演化相点只能在|IJ卜P的相点中搜寻！P=周期=600%lambda_1:返回最大lyapunov指数值min_point=1;%&&要求最少搜索到的点数MAX_CISHU=5;%&&最大增加搜索范围次数%FLYINGHAWK%求最大、最小和平均相点距离%最大相点距离%最小相点距离max_d=0;min_d=1.0e+100;avg_dd=0;Y=reconstitution(data,N,m,tau);%相空间重构可将此段程序加到整个程序中，在时间循环内，可以保存时间序列的地方。见完整程序。M=N-(m-1)*tau;%重构相空间中相点的个数fori

14、=1:(M-1)forj=i+1:Md=0;fork=1:md=d+(Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,j);endd=sqrt(d);ifmax_d<dmax_d=d;endifmin_d>dmin_d=d;endavg_dd=avg_dd+d;endend%Sf在 min_epsmax_eps中找不至U演化相%演化相点与当前相点距离的最小限%&&演化相点与当前相点距离的最大限avg_d=2*avg_dd/(M*(M-1);%平均相点距离dlt_eps=(avg_d-min_d)*0.02;点时，对max_eps的放宽幅度min_eps=min_

15、d+dlt_eps/2;max_eps=min_d+2*dlt_eps;%从p+iM-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK)及其最短距离DKDK=1.0e+100;%第i个相点到其最近距离点的距离Loc_DK=2;%第i个相点对应的最近距离点的下标fori=(P+1):(M-1)%限制短暂分离，从点P+1开始搜索d=0;fork=1:md=d+(Y(k,i)-Y(k,1)*(Y(k,i)-Y(k,1);endd=sqrt(d);if(d<DK)&(d>min_eps)DK=d;Loc_DK=i;endend%以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd()数组中%

16、i为相点序号，从1至iJ(M-1),也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短距离的相点位置，DK为其对应的最短距离%Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离%前i个log2(DK1/DK)的累计和用于求i点的lambda值sum_lmd=0;%存放前i个log2(DK1/DK)的累计和fori=2:(M-1)%计算演化距离DK1=0;fork=1:mDK1=DK1+(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1)*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1);endDK1=sqrt(DK1);old_Loc_DK=Loc_DK;%保存原

17、最近位置相点old_DK=DK;%计算前i个log2(DK1/DK)的累计和以及保存i点的李氏指数if(DK1=0)&(DK=0)sum_lmd=sum_lmd+log(DK1/DK)/log(2);endlmd(i-1)=sum_lmd/(i-1);此处可以保存不同相点i对应的李氏指数，见完整程序。%以下寻找i点的最短距离:要求距离在指定距离范围内尽量短,与DK1的角度最小point_num=0;%&&在指定距离范围内找到的候选相点的个数cos_sita=0;%&&夹角余弦的比较初值要求一定是锐角zjfwcs=0;%&&增加范围次数wh

18、ile(point_num=0)%*搜索相点forj=1:(M-1)ifabs(j-i)<=(P-1)%&&候选点距当前点太近，跳过！continue;end%*计算候选点与当前点的距离dnew=0;fork=1:mdnew=dnew+(Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,j);enddnew=sqrt(dnew);if(dnew<min_eps)|(dnew>max_eps)%&&不在距离范围，跳过！continue;end%*计算夹角余弦及比较DOT=0;fork=1:mDOT=DOT+(Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k

19、,i)-Y(k,old_Loc_DK+1);endCTH=DOT/(dnew*DK1);ifacos(CTH)>(3.14151926/4)%&&不是小于45度的角，跳过！continue;endifCTH>cos_sita%&&新夹角小于过去已找到的相点的夹角，保留cos_sita=CTH;Loc_DK=j;DK=dnew;endpoint_num=point_num+1;endifpoint_num<=min_pointmax_eps=max_eps+dlt_eps;zjfwcs=zjfwcs+1;ifzjfwcs>MAX_CISHU

20、%&&超过最大放宽次数，改找最近的点DK=1.0e+100;forii=1:(M-1)ifabs(i-ii)<=(P-1)%&&候选点距当前点太近，跳过！continue;endd=0;fork=1:md=d+(Y(k,i)-Y(k,ii)*(Y(k,i)-Y(k,ii);endd=sqrt(d);if(d<DK)&(d>min_eps)DK=d;Loc_DK=ii;endendbreak;endpoint_num=0;%&&扩大距离范围后重新搜索cos_sita=0;endendend%取平均得到最大李雅普诺夫指数(此

21、处只有一个值，若为正说明体系是混沌的，若为负则说明体系是周期性的确定性运动)lambda_1=sum(lmd)/length(lmd);程序中用到的reconstitution函数如下：此段程序可直接放在时间循环内部，即可以保存时间序列的地方。见完整程序范例。functionX=reconstitution(data,N,m,tau)%该函数用来重构相空间%m为嵌入空间维数%tau为时间延迟%data为输入时间序列%N为时间序列长度%X为输出,是m*n维矩阵M=N-(m-1)*tau;%相空间中点的个数forj=1:M%相空间重构fori=1:mX(i,j)=data(i-1)*tau+j);

22、endend这里声明一下，这些程序并非我自己编写的，均是转载，其使用我已经验证过，绝对可以运行！(3)小数据量方法说小数据量方法是目前最实用、应用最广泛的方法应该不为过吧，呵呵！小数据量方法求最大Lyapunov指数.JPG上面两种方法，即Wolf方法和小数据量方法，在计算LE之前，都要求对时间序列进行重构相空间，重构相空间的优良对于最大LE的计算精度影响非常大！因此重构相空间的几个参数的确定就非常重要。(1)时间延迟主要推荐两种方法自相关函数法、CC方法自相关函数法对一个混沌时间序列，可以先写出其自相关函数，然后作出自相关函数关于时间t的函数图像。根据数值试验结果，当自相关函数下降到初始值的

23、11/e时，所得的时间t即为重构相空间的时间延迟。CC方法可以同时计算出时间延迟和时间窗口，个人推荐使用这种方法！(2)平均周期平均周期的计算可以采用FFT方法。在matlab帮助中有一个太阳黑子的例子，现摘录如下：loadsunspot.dat%装载数据文件year=sunspot(:,1);%读取年份信息%读取黑子活动数据%绘制原始数据图% 快速 FFT 变换wolfer=sunspot(:,2);plot(year,wolfer)title('SunspotData')Y=fft(wolfer);N=length(Y);%FFT变换后数据长度Y(1)=;%去掉Y的第一个数

24、据，它是所有数据的和power=abs(Y(1:N/2).A2;%求功率谱nyquist=1/2;freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;%求频率plot(freq,power),gridon%绘制功率谱图xlabel('cycles/year')title('Periodogram')period=1./freq;%年份(周期)plot(period,power),axis(04002e7),gridon绘制年份功率谱曲线ylabel('Power')xlabel('Period(Years/Cycle)')mp,

25、index=max(power);%求最高谱线所对应的年份下标period(index)%由下标求出平均周期(3)嵌入维数目前嵌入维数的主要计算方法是采用Grassberge和Procaccia提出的GP算法计算出序列的关联维数d,然后利用嵌入维数m>=2d+1,选取合适的嵌入维数。GP算法程序如下：functionln_r,ln_C=G_P(data,N,tau,min_m,max_m,ss)%thefunctionisusedtocalculatecorrelationdimentionwithG-Palgorithm%计算关联维数的GP算法%data:thetimeseries时间

26、序列时间序列长度 时间延迟 最小的嵌入维数%N:thelengthofthetimeseries%tau:thetimedelay%min_m:theleastembeddeddimentionm%max_m:thelargestembeddeddimentionm最大的嵌入维数%ss:thestepsizeofr的步长%skyhawkform=min_m:max_mY=reconstitution(data,N,m,tau);%reconstitutestatespaceM=N-(m-1)*tau;%thenumberofpointsinstatespacefori=1:M-1forj=i+

27、1:Md(i,j)=max(abs(Y(:,i)-Y(:,j);%calculatethedistanceofeachtwoend%pointsinstatespacd算状态空间中每两点之间的距离endmax_d=max(max(d);%themaxdistanceofallpoints得到所有点之间的最大距离d(1,1)=max_d;min_d=min(min(d);%themindistanceofallpoints得到所有点间的最短距离delt=(max_d-min_d)/ss;%thestepsizeofr得到r的步长fork=1:ssr=min_d+k*delt;C(k)=corre

28、lation_integral(Y,M,r);%calculatethecorrelationintegralln_C(m,k)=log(C(k);%lnC(r)ln_r(m,k)=log(r);%lnrfprintf('%d/%d/%d/%dn',k,ss,m,max_m);endplot(ln_r(m,:),ln_C(m,:);holdon;endfid=fopen('lnr.txt','w');fprintf(fid,'%6.2f%6.2fn',ln_r);fclose(fid);fid=fopen('lnC.txt

29、','w');fprintf(fid,'%6.2f%6.2fn',ln_C);fclose(fid);程序中的correlation_integral函数如下：functionC_I=correlation_integral(X,M,r)%thefunctionisusedtocalculatecorrelationintegral%C_I:thevalueofthecorrelationintegral%X:thereconstitutedstatespace,Misam*Mmatrix%m:theembeddingdemention%M:Misthenumberofembeddedpointsinm-dimensionalsapce%r:theradiusoftheHeavisidefunction,sigma/2<r<2sigma%calculatethesumofallthevaluesofHeaviside%skyhawksum_H=0;fori=1:M%fprintf('%d/