中考数学圆与相似综合练习题含详细答案

1、中考数学圆与相似综合练习题含详细答案一、相似JJ1,已知如图1,抛物线y=-8x2ix+3与x轴交于A和B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,点D的坐标是(0,-1),连接BCAC图1图2S3(1)求出直线AD的解析式；(2)如图2,若在直线AC上方的抛物线上有一点F,当4ADF的面积最大时，有一线段MN=(点M在点N的左侧)在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF,请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；(3)如图3,将4DBC绕点D逆时针旋转a(0Va之180),记旋转中的DBC为DBC若直线B直线AC交于点P,直线BC直线DC交于点Q,当4CPQ是等

2、腰三角形时，求CP的值.【答案】(1)解：:抛物线y=-占x2-4x+3与x轴交于A和B两点,.0=-bx2-x+3,x=2或x=-4,A(-4,0),B(2,0),-D(0,-1),I直线AD解析式为y=-x-1(2)解：如图1,过点F作FHIx轴，交AD于H,jJ1设F(m,-gm2-彳m+3),H(m,-im-1),jaisjLU/.FH=-5m2-4m+3(1m1)=一占m2-Jm+4,I31jJ1.Saadf=Saafh+Sadfh=-FHX帕xa|=2FH=2(一百m2-m+4)=-1m2m+8=/(m+l也工)2+三,2当m=-3时，SxADF最大，216F(-J,3)如图2,作

3、点A关于直线BD的对称点Ai,把Ai沿平行直线BD方向平移到A2,且AiA2=退,连接A2F,交直线BD于点N,把点N沿直线BD向左平移3得点M,此时四边形AMNF的周长最小.OB=2,OD=1,1tan/OBD=二,.AB=6,.AK=, .AAi=2AK=|/24在RtMBK中，AH=7,AiH=b.OH=OA-AH=5,a24.Ai(-J,过A2作A2PA2H, /AiA2P=ZABK, .AiA2=, A2P=2,AiP=i,A2(-，-5)2回 F(-“习)107目 A2F的解析式为y=-x-百,-B(2,0),D(0,i), 直线BD解析式为y=-Px-i，联立得，x=-:，N点的

4、横坐标为：-i)(3)解：-.0(0,3),B(2,0),D(0,.CD=4,BC=W,OB=2,BC边上的高为DH,11根据等面积法得，:BCXDH=CDXOBCDXOB4X2.DH=力C=13,-A(-4,0),C(0,3),.OA=4,OC=3,0A4=一tanZACD=况:，当PC=PQ时，简图如图1,D作DHXPQ,制过点P作PGCD,过点过点P作PGCD,设CG=3a,则PG=4a,.CQ=PC=5a.QG=CQ-CG=2a,PQ=2a,.tanZACD=J设CG=3a,贝UQG=3a,PG=4a,PQ=PC=5a.DQ=CD-CQ=4-6a.PGQADHQ,PC=5a=当PC=C

5、Q时，简图如图2,.tanZACD=1.a=6.DQ=CD-CQ=4-5a.PGQADHQ,CQ,QG,PQ,DQ的长，由同的方法得出，PC=4-万，设CG=3a,则PG=4a,从而得出PGQsDHQ,同的方法得出，PC的长；当QC=PQ时，简图如图1小y过点Q作QGPC,过点C作CNPQ,设CG=3a,贝UQG=4a,PQ=CQ=5aPG=3a,PC=6a.DQ=CD-CQ=4-5a,利用等面积法得，CNaadf=Safh+Sidfh=-FHXDx-xa|二2FH,列出关于m的函数解析式，再根据二次函数的性质，由顶点式得出当m=-J时，热adf最大，从而得出F点的坐标；如图2,作点A关于直线

6、BD的对称点Ai,把Ai沿平行直线BD方向平移到A2,且AiA2=,连接A2F,交直线BD于点N,把点N沿直线BD向左平移飞日得点M,此时四边形AMNF的周长最小，进而求出点A1,A2坐标，即可确定出A2F的解析式和直线BD解析式联立方程组即可确定出N点的横坐标；(3)根据C,B,D三点的坐标，得出CD,BC,OB的长，BC边上的高为DH,根据等面积法得/MBCXDH=CDXOB从而得出DH的长，根据A,C两点的坐标，得出OA,OC的长，根据正切函数的定义得出tan/ACD=4：3;然后分四种情况讨论：当PC=PQ时，过点P作PGCD,过点D作DHXPQ,由tan/ACD=4：3,设CG=3a

7、,则QG=3a,PG=4a,PQ=PC=5a,从而由DQ=CD-CQ得出DQ的长，根据PGQsDHQ,得出PG：DH=PQ：DQ,从而求出a的值，进而求出PC的值；当PC=CQ时，简图如图2,过点P作PGCD,tanZACD=4：3,设CG=3a,贝UPG=4a,从而得出CQ,QG,PQ,DQ的长，由PGQsDHQ,同的方法得出，PC的长；当QC=PQ时，过点Q作QGXPC,过点C作CN,PQ,设CG=3a,贝UQG=4a,PQ=CQ=5a，从而得出PG,PC,DQ的长，利用等面积法得，CN-0Qf-11525a4Sb+=0ECRQ为平行四边形？若存在，求C(5,0)两点,解得：抛物线的解析式

8、为(2)解：歹犬2=-士(x2-2x+1)+?十八-E(x1)2+8,.点B的坐标为(1,8).设直线BC的解析式为y=kx+m,rk半盘=8则，出#M计，H=-2解得：,曲川，所以直线BC的解析式为y=-2x+10.,抛物线的对称轴与x轴交于点D,.BD=8,CD=5-1=4.PMXBD,.PM/CD,BPPk.辰一工tPR即57,i解得：PM=2t,I.0E=1+1t.1.ME=-2(1+-t)+10=8-t.四边形PMNQ为正方形，NE=NM+ME=8-t+t=8-It.iI点N的坐标为(1+Zt,8-Nt),若点N在抛物线上，I11贝If-上(1+-t-1)2+8=8-二t,整理得，t

9、(t-4)=0,解得ti=0(舍去),t2=4,所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上;存在.理由如下：1,PM=-t,四边形PMNQ为正方形，1 .QD=NE=8-t. 直线BC的解析式为y=-2x+10,i:.-2x+10=8t,1解得：x=，t+1,11 .QR=?t+1-1=儿J又EC=CDE=4-t,根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC即41=4-2t,6解得：t=3,此时点P在BD上所以，当t=方时，四边形ECRQ为平行四边形15【解析】【分析】(1)用待定系数法，将A,C两点的坐标分别代入y=ax2+bx+7,得出一个关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而得出

10、抛物线的解析式；(2)首先求出抛物线的顶点B的坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-2x+10.根据点到坐标轴的距离得出BD,CD的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出PM/CD,根据平行于三角形一边的直线，截，其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出BPMsBDC,根据相似三角形对应边成比例得出BP：BD=PM:CD,进而得出关于t的方程，求解得出PM,进而彳#出OE,ME根据正方形的性质由NE=NM+ME得出NE的长，进而表示出N点的坐标，若点N在抛物线上，根据抛物线上的点的特点，得出关于t的方程，求解得出t的值，所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上；存在.理由如下：

11、根据PM的长及正方形的性质从而表示出QD=NE的长度，进而得出方程，求出x的值，进而表示出QR根据线段的和差及平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC从而得出关于t的方程，求解得出答案。4.如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,/ABC=/DEF=90,/EDF=30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q(1)【探究一】在旋转过程中，CE二1如图2,当EA时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.CE=2 如图3,当EA时eP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.CE 根据

12、你对（1）、（2）的探究结果，试写出当成一历时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中3的取值范围是（直接写出结论，不必证明）CE（2）【探究二】若屈f,一且AC=30cm,连续PQ,设EPQ的面积为S（cm2）,在旋转过程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由随着S取不同的值，对应4EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取彳1范围.CE【答案】（1）解：当EA,时，PE=QE即E为AC中点，理由如下：连接BE,ABC是等腰直角三角形，.BE=CE/PBE=/C=45；又/PEB吆BEQ=90,/CEQ吆BEQ=90,/PEB=/CEQ,在PEB和4QEC中，

13、ZPEB=SE=CEZPBEZ,2 .PEBAQEC(ASA),3 .PE=QE.;EP:EQ=EA:EC=1：2理由如下：作EMLAB,ENBC,/EMP=ZENQ=90；又/PEN+ZMEP=ZPEN+/NEQ=90,/MEP=ZNEQ,4 .MEPANEQ,5 .EP:EQ=ME:NE,又/EMA=/ENC=90,/A=/C,6 .MEAANEC,7 .ME:NE=EA:ECCE=2EA.EP:EQ=EA:EC=1:2.;EP：EQ=1:m；0mc2+.(2)解：存在.CE由【探究一】中(2)知当EA时，EP:EQ=EAEC=1:2;/设EQ=x,贝UEP=Ix,I1112 .S=上EP

14、EQ=已x3x=Xx2,当EQ,BC时，EQ与EN重合时，面积取最小，,.AC=30,ABC是等腰直角三角形，.AB=BC=15羽,CE=23 EA,AC=30,.AE=10,CE=20在等腰RtCNE中，.NE=10-,当x=10、12时,Smin=50(cm2)；当EQ=EF时，S取得最大，4 AC=DE=30,/DEF=90,/EDF=30,在RtDEF中，婷tan30=,*EF=30X、=10I，J,此时4EPQ面积最大，.Smax=75(cm2)；由(1)知CN=NE=5V二，BC=15k/E,.BN=10耶,在RtBNE中，.BE=5、足， 当x=BE=5寸质时，S=62.5cm2

15、, 当50S625这样的三角形有2个；当S=50或62.5SW75寸，这样的三角形有1个.【解析】【解答】(1)作EM,AB,ENXBC, /B=/PEQ=90, /EPB吆EQB=180,又/EPB吆EPM=180,/EQB=ZEPM, .MEPsNEQ,.EP:EQ=ME:NE,又/EMA=/ENC=90,/A=/C, .MEAANEC, .ME:NE=EA:ECCEM, .EP:EQ=EA:EC=1：mEP与EQ满足的数量关系式为EP:EQ=1:m,，02+%冏时，EF与BC不会相交）.【分析】【探究一】根据已知条件得E为AC中点，连接BE,根据等腰直角三角形的性质可BE=CEZPBE=

16、/C=45,由同角的余角相等得/PEB=/CEQ,由全等三角形的判定ASA可得PEg4QEC,再由全等三角形的性质得PE=QE.作EMAB,ENBC,由相似三角形的判定分别证MEPsNEQ,MEAsNEC,再由相似三角形的性质得EP:EQ=ME:NE=EA:EC从而求得答案.作EMAB,ENBC,由相似三角形的判定分别证MEPsNEQ,MEAsNEC,再由相似三角形的性质得EP:EQ=ME:NE=EA:EC从而求得答案.7【探究二】设EQ=x,根据【探究一】（2）中的结论可知则EP=jx,根据三角形面积公式得出S的函数关系式，再根据当EQ,BC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当EQ=EF时，

17、S取得最大；代入数值计算即可得出答案.根据（1）中数据求得当EQ与BE重合时，4EPQ的面积，再来分情况讨论即可.5.如图，AB为d的直径，C为00上一点，D为BA延长线上一点，上ACD5.（1）求证：DC为。的切线;（2）线段DF分别交AC,BC于点E,F且|二tEF0的半径为5,siiiB-白，求CF的长.【答案】（1）解：如图，连接OC,:AB为90的直径，:一ACU二4二第，：088,.：5=/BC0,:JACDB|?:JICD上加。，二ZACD,4CA-缈，即D-的.：DC为。0的切线3AC(2)解：|仁咖1KB中，曲-1，一一二M*：AC6B(8上ACD4/ADC上JE：/CADs

18、ECD,ACAD6-9BC一，设AD聂，0的，RlJOCD中，0C?，=。巾，于小不衣尸二。为尸，36工1舍或7,：“5EF=/丁|UACB=如口?.:CEH,设CFa,:*/CEF=上班口,4DE?TFE-54DF, :HEJBDF,I：.冬。二T? ZCEDsBFH,CEBF|* 5一而a8一鼻*3031匆4XJO-f-3Xa-T:7,-cfT【解析】【分析】(1)要证DC为。O的切线，需添加辅助线：连半径OC,证垂直，根据直径所对的圆周角是直角，可得出/BCO+/OCA=90。，再利用等腰三角形的性质，可得出/B=/BCO,结合已知，可推出ZOCD=90,然后利用切线的判定定理，可证得结

19、论。(2)根据已知圆的半径和sinB的值，可求出AB、BC的值，再证明ACADsBCD,得出对应边成比例，得出AD与CD的比值，利用勾股定理求出AD、CD的长，再利用/CEF=45去证明CE=CF,然后证明CEDsBFD,得出对应边成比例，求出CF的长。6.(1)【发现】如图，已知等边.做，将直角三角形的bo1角顶点B任意放在BC边上(点4不与点方、。重合)，使两边分别交线段、AC于点、/?nJnncM需fliZ.若w，花-，的=二；，则次h|；求证：JEBDJD_.(2)【思考】若将图中的三角板的顶点以在反边上移动，保持三角板与09、打的两个交点上、月都存在，连接“，如图所示.问点1是否存在

20、某一位置，使E平分二的BL且用平分ZCFE?若存在，求出班的值；若不存在，请说明理由.(3)【探索】如图，在等腰山浏中，H修花，点4为比边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点匕处(其中乙侬上田)，使两条边分别交边39、ne于点石、声(点8、H均不与再取的顶点重合)，连接的.设=白，则”加与俶的周长BO之比为（用含IH的表达式表示）风印【答案】（1）解：4;证明：:/EDF=60,/B=160.ZCDF-+ZBDE=120,/BED+/BDE=120,/BED=ZCDF,又:/B=ZC,.二叔一心（2）解：解：存在。如图，作DMXBE,DGiEF,DNXCF,垂足分别为M,G,N,包平分一直

21、以且也平分,.DM=DG=DN,又./Bm/C=60,/BMD=/CND=90,.BDM7ACDN,BD=CD,即点D是BC的中点，飞一。o(3) 1-COSa【解析】【解答】(1).一ABC是等边三角形，.AB=BC=AC=6./B=/C=60,.AE=4,.-.BE=2,贝UBE=BD,.ABDE是等边三角形，./BDE=60,又/EDF=60,/CDF=180-ZEDF-ZB=60；贝U/CDF=/C=60；CDF是等边三角形,CF=CD=BC-BD=6-2=4(3)连结AO,作OGBE,ODXEF,OHCF,垂足分别为G,D,H,B贝U/BGO=ZCHO=90,.AB=AC,O是BC的

22、中点，/B=/C,OB=OC .OBG7AOCH, .OG=OH,GB=CH,/BOG=/COH=90则/GOH=180-(/BOG+/COH)=2”， /EOF玄B=%则/GOH=2/EOF=Z,由(2)题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH可通过半角旋转证明)，贝U=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG设AB=m,贝UOB=mcos,GB=mcos2a,d胶AG遢-ucos2a-二二1-COSGCaa8C2(AB*OB)AB4酬用*掘ost【分析】(1)先求出BE的长度后发现BE=BD的，又/B=60,可知BDE是等边三角形，可得/BDE=60,另外/EDF=60

23、,可证得4CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD证明.1hW皿，这个模型可称为线三等角相似模型”，根据“AAJ定相似；(2)【思考】由平分线可联系到角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DMXBE,DGEF,DNICF,贝UDM=DG=DN,从而通过证明BDM?CDN可得BD=CD;(3)【探索】由已知不难求得圆碗二/协盘/既二附汽淑=2(m+mcos),则需要用m和“的三角函数表示出J西I,山蛙=AE+EF+AF题中直接已知O是BC的中点，应用(2)题的方法和结论，作OGLBE,ODXEF,OHCF,可得EG=EDFH=DF,贝U心；=AE+EF+AF=AG+AH

24、=2AG而AG=AB-OR从而可求得。7.问题提出;PCBPQC3图1图2图3(1)如图1,矩形ABCD,AB=4,BC=8,点E为CD的中点，点P为BC上的动点，CP=时，APE的周长最小.(2)如图2,矩形ABCD,AB=4,BC=8,点E为CD的中点，点P、点Q为BC上的动点，且PQ=2,当四边形APQE的周长最小时，请确定点P的位置(即BP的长)问题解决；(3)如图3,某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部(不包括边界)点P处修一个凉亭，设计要求PA长为100米，同时点M,N分别是水域AB,AC边上的动点，连接P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN的面积最大，请你帮忙算算此

25、时四边形AMPN面积的最大值是多少？【答案】(1)工(2)解：点A向右平移2个单位到M,点E关于BC的对称点F,连接MF,交BC于Q,此时MQ+EQ最小，F .PQ=3,DE=CE=2,AE=2储；，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行,即AP+EQ=MQ+EQ,过M作MNBC于N, .MN/CD .MNQsCQCFCQ.而,五26-KQ_-JNQ.NQ=4.BP=BQ-PQ=4+2-2=4(3)解:如图，作点P关于AB的对称点G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB,AC于点M,N,此时APMN的周长最小.-.AP=AG=AH=100米，/GAM=/PAM,ZHAN=Z

26、PAN,/PAM+ZPAN=60,/GAH=120；且AG=AH,/AGH=ZAHG=30,过点A作AOXGH, .AO=50米，HO=GO=50米，.GH=100W米， Saagh=-GHXAO2500f平方米， -S四边形ampn=Saagm+Saanh=S/aghSaamn,Saamn的值最小时，S四边形ampn的值最大，.MN=GM=NH=3时2500500043S四边形ampn=SaaghSaamn=2500vl-3=3平方米.【解析】【解答】（1）四边形ABCD是矩形，ZD=90=/ABC,AB=CA4,BC=AD=8, .E为CD中点, .DE=CE=2,在RtADE中，由勾股定

27、理得：AE=4。/优=*4=25,即APE的边AE的长一定，要APE的周长最小，只要AP+PE最小即可，延长AB到M,使BM=AB=4,则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P,此时AP+EP的值最小, 四边形ABCD是矩形， .AB/CD,.,.ecfambp,CECA2CP.丁8口.CP=内故答案为：【分析】（1）延长AB至ijM,使BM=AB,则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P,此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩彩f质得出AB/CD,推出ECFAMBP,得出比例式，代入即可求出CP长；（2）点A向右平移2个单位到M,点E关于BC的对称点F,连接MF,交BC于Q,

28、要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证MNQsFCQ即可求BP的长；（3）作点P关于AB的对称点G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB,AC于点M,N,此时PMN的周长最小.S四边形AMPN=SAGM+SJAANH=SzAGH-SAAMN,即SAAMN的值最小时，S四边形AMPN的值最大.8.如图所示，在ABC中，点。是AC上一点，过点。的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.RCN国（1）【问题引入】F邑若点。是AC的中点，求击的值；温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.（2）【探索研究】若点。是AC上任意一点（不与A,C重合），求证：物.忆刨;

29、（3）【拓展应用】如图所示，点P是4ABC内任意一点，射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,AFBD1Ah二T二E,F若身73,CD二，求值的值.WDC图【答案】（1）解：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.ON/AG,toCNNGNG4一心.O是AC的中点，AO=CO,NG=CN.MN/AG,.BN地，MAMI=tSNMBjAM的CC第BN11 .,*1.(2)解：证明：由可知，A0,柘，姐NC超期必题=1(3)解：在4ABD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB,BD的延长线分别相交于AFBCDP点F,C.由(2)可得而而,西.在4ACD中，过点P的直线与AC,CD的延

30、长线分别相交于点E,B.由(2)可得AFBCDP二/BFCDPAAFBCDPAECB第.而不可一说为耳AEAFBCBDAFBC1.五一乐.而商一麻.而一%【解析】【分析】(1)作AG/MN交BN延长线于点G,证AB34MBN得倒妞,NGAC即BN妞，同理可证ACGOCN得CN空，结合AO=CQ得NG=CN从而由色NG创西邮等进行求解，NG凰ICOdBNCONGBNCN二g二I.二J(2)由倒Mb,AO也可知：通XC朝BNNC称,AECBDP由(2)可知，在ABD中有8刊,在4ACD中有反血1网,AFBCDPAECB讲AEAFBC即AF8C二_#二T从而BFa)用EC必图，因此可得：一4BFCD

31、CBBFCD6.二、圆的综合9.如图，AB为eO的直径，弦CD/AB,E是AB延长线上一点，CDBADE.1 DE是eO的切线吗？请说明理由；2 求证：AC2CDBE.【答案】(1)结论：DE是eO的切线，理由见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)连接OD,只要证明ODDE即可；(2)只要证明：ACBD,VCDBsVDBE即可解决问题【详解】1解：结论：DE是eO的切线.ADCEDB,QCD/AB,CDADAB,QOAOD,OADODA,ADOEDB,QAB是直径，ADB900,ADBODE900,DEOD,DE是eO的切线.2QCD/AB,ADCDAB,CDBDBE,nnACBD，A

32、CBD,QDCBDAB,EDBDAB,EDBDCB,VCDBsVDBE,CDDB,BDBEBD2CDBE,AC2CDBE.【点睛】解题的关键是学会本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识,添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型10.如图，CD为。的直径，点B在。上，连接BCBD,过点B的切线AE与CD的延长线交于点A,ZAEO/C,OE交BC于点F.(1)求证：OE/BD;2(2)当。的半径为5,sinDBA时，求EF的长.5【答案】(1)证明见解析；(2)EF的长为一2【解析】试题分析：(1)连接OB,利用已知条件和切线的性质证明；(2)根据锐角三角

33、函数和相似三角形的性质，直接求解即可.CBOOBD90ABDCBO.ABD.试题解析：(1)连接OB,.CD为。的直径，CBD.AE是。的切线，ABOABDOBD90.OB、OC是。的半径，OB=OCCCBO.C-EC,EABD.OE/BD.一2.BD2(2)由(1)可得sin/C=/DBA=,在RtOBE中，sin/C=一一,OC=55CD5BD4CBDEBO90EBDBOEOC,ACBDAEBO.CDEO25.2.OE/BD,CO=OD,.CF=FB.-1.OFBD2.221EFOEOF211 .如图，已知AB为。O直径，D是？C的中点，DELAC交AC的延长线于E,OO的切线交AD的延长

34、线于F.(1)求证：直线DE与。O相切；(2)已知DG，AB且DE=4,。的半径为5,求tan/F的值.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】试题分析：(1)连接BGOD,由D是弧BC的中点，可知：ODLBC；由OB为。的直径，可得：BOXAC,根据DELAC,可证ODLDE,从而可证DE是。的切线；(2)直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan/F的值.试题解析：解：(1)证明：连接OD,BC,.是弧BC的中点，.-.OD垂直平分BC,.AB为。的直径，.-.ACBC,，OD/AE./DEAC,.OD,DE,OD为。的半径，.DE是。的切线；(2)解：.D是弧BC

35、的中点，.DC?B，/EAD=/BAD,DE，AC,DGAB且DE=4,.-.DE=DG=4,/DO=5,.GO=3,.AG=8,tanZADG=2,BF是。的切4线，./ABF=90,，DG/BF,.tan/F=tan/ADG=2.AG,DG的长是点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出解题关键.12 .已知A(2,0),B(6,0),CBx轴于点B,连接AC画图操作：(1)在y正半轴上求作点P,使得/APB=/ACB(尺规作图，保留作图痕迹)理解应用：(2)在(1)的条件下, 若tan/APB,求点P的坐标2当点P的坐标为时，/APB最大拓展延伸：(3)若在直线y9

36、x+4上存在点P,使得/APB最大，求点P的坐标3【答案】(1)图形见解析(2)(0,2),(0,4)(0,273)(3)(逃3,535)5【解析】试题分析：(1)以AC为直径画圆交(2)由题意AC的中点K(4,4)知P(0,2),P(0,6)；y轴于P,连接PAPB,/PAB即为所求；,以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P,易当。K与y轴相切时，/APB的值最大，(3)如图3中，当经过AB的园与直线相切时，/APB最大.想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：(1)/APB如图所示；(2)如图2中，/AP/ACB,tanZACB=tanZAPB=1=-AB,A(2,0),B2BC(

37、6,0),.-.AB=4,BC=8,.C(6,8),，AC的中点K(4,4),以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P,易知P(0,2),P(0,6). 当。K与y轴相切时，/APB的值最大，此时AK=PK=4,AC=8,BC=JAC2AB2=4T3,.C(6,473),.K(4,2&)，.1(0,273).故答案为：(0,2芯).(3)如图3中，当经过AB的园与直线相切时，/APB最大.二.直线y=4x+4交x轴于M3MP2=MA?MB,.MP=3J5,作(-3,0),交y轴于N(0,4).MP是切线,PKOA于K.ON/PKONOMPK-MKNM-4_3_5.pk=12V5MP=375P丁

38、MK=9而,OK=95-3,P(95-3,12行)5555点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题.13.如图，AB是圆。的直径，射线AMLAB,点D在AM上，连接OD交圆。于点E,过点D作DC=DA交圆。于点C(A、C不重合)，连接OC、BCCE(1)求证：CD是。的切线；(2)若圆。的直径等于2,填空： 当AD=时，四边形OADC是正方形; 当AD=时，四边形OECB是菱形.【答案】(1)见解析；(2)1;J3.【解析】试题分析：(1

39、)依据SSS证明OAD0OCD,从而得到/OCD=/OAD=90;(2)依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;依据菱形的性质得到OE=CE则4EOC为等边三角形，则/CEO=600,依据平行线的性质可知/DOA=60,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析：解：.AMXAB,/OAD=90:.OA=OC,OD=ODAD=DC,.OADAOCD,/OCD=ZOAD=90:OCXCD,.CD是。O的切线.(2)二.当四边形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案为：1.二.四边形OECB是菱形，.OE=CE又OC=OE.OC=OE=CE/CEO=60.1.CE/AB,/AOD=60:在R

40、tAOAD中,/AOD=60,AO=1,AD=丹.故答案为：例.点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.14.如图1,是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始(即M点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块30(/CAB=30)角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2。的速度旋转到与CB,在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E.连接BE.(1)当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是,此时

41、4BCE的形状是;(2)设旋转x秒后，点E处的读数为y,求y与x的函数关系式;(3)当CP旋转多少秒时，4BCE是等腰三角形？【答案】(1)60,直角三角形；(2)【解析】y=4x;(3)7.5秒或30秒【分析】(1)根据圆周角定理即可解决问题；(2)如图2-2中，由题意ZACE=2x,/AO曰y,根据圆周角定理可知/AOE=2/AC匕可得y=2x(04W45;(3)分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：(1)如图2-1中， ZACB=90,OA=OB,.-.OA=OB=OC,ZOCA=ZOAC-30,ZAOE=60； 点E处的读数是60,ZE=ZBAO30:OE=OB,ZOBE=ZE=30；ZEBC=ZOBB-ZABC=90,.EBC是直角三角形；故答案为60,直角三角形；(2)如图2-2中, /ACE2x,/AOy, /AOE=2/ACE, .y=4x(0虫w45.(3)如图2-3中，当EB=EC时，EO垂直平分线段BC, .ACBC, .EO/AC,/AOE=ZBAC=30,-1o/ECA=ZAOE=15:2.x=7.5.若2-4中，当BE=BC时,易知/BEC=/BAC=/BCE=30,/OBE=/OBC=60；.OE=OB,.OBE是等边三角形，/BOE=60;/AOB=120；-1/ACE=-ZACB=60,x=30,综上所述，当C