椭圆各类题型分类汇总

1、5椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用2 X例2已知椭圆k 8例1椭圆的一个顶点为 A(2Q ),其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.y21.+，=1的离心率e =,求k的值.9222例3 已知方程 +一=-1表示椭圆，求k的取值范围 k -5 3-k例4 已知x2si n y2cos =1 (0 Wa Wn)表示焦点在y轴上的椭圆，求值的取值范围.例5已知动圆P过定点A(3,0),且在定圆B:(x3f+y2 =64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.2.焦半径及焦三角的应用22x y例1已知椭圆 一 十=1 , Fi、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ,使M到左准43

2、线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点 M的坐标；若不存在,请说明理由.1iy22例2已知椭圆方程 与+与= 1（a Ab A0 ）,长轴端点为 A, A2,焦点为F1, F2, P是椭 a b圆上一点， NAPA2=e, /F1PF2=a .求：AF1PF2的面积（用 a、b、a 表示）.3.第二定义应用22例1椭圆+匕=1的右焦点为F ,过点A（1 3 ），点M在椭圆上，当 AM +2MF为16 12最小值时，求点 M的坐标.22例2已知椭圆 J + y2=1上一点P到右焦点52的距离为b (bAl),求P到左准线的距 4b2b2离.22例3已知椭圆x-+L=1内有一点

3、A(1,1), Fl、F2分别是椭圆的左、右焦点，点 95椭圆上一点.(1)求PA + PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标;(2)求PA+3PF2的最小值及对应的点 P的坐标.4.参数方程应用2例1求椭圆 + y2 =1上的点到直线 x-y+ 6 = 0的距离的最小值.322例2(1)写出椭圆 +匕=1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积.9422x y . .例3 椭圆-2 +9 =1 (a >b >0)与x轴正向交于点 A ,若这个椭圆上总存在点a2b2OP_LAP (O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.y5 .相交情况下-弦长公式的应用例1已知椭圆4x2+y2=

4、1及直线y=x+m.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为30 ,求直线的方程.5例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点 F1作倾斜解为 3的直线交椭圆于 A, B两点，求弦 AB的长.6 .相交情况下一点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆与直线 x + y-1 = 0交于A、B两点，M为2X 2 例2已知椭圆x- + y2AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程., ，一台 1、一 一，、一，、，=1 ,求过点P 1,- I,且被P平分的弦所在的直线方程.<2 2)X2c,11、例3已知

5、椭圆 + y2 =1 , (1)求过点P 1|且被P平分的弦所在直线的方程； 2<2 2J(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A(2,1型椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1(4)椭圆上有两点 p、Q, O为原点，且有直线 OP、OQ斜率满足kOP，kOQ=2求线段PQ中点M的轨迹方程.22XV,例4已知椭圆C: +- =1,试确定m的取值范围，使得对于直线 l: y=4x + m,椭圆 43C上有不同的两点关于该直线对称.22例5已知P(4,2)是直线l被椭圆 +工=1所截得的线段的中点，求直线 l的方程.36926椭圆经典例题分类汇总1 .椭圆第一定义的应用例1椭圆

6、的一个顶点为 A(2Q ),其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：(1)当A(2,0)为长轴端点时，b=1,椭圆的标准方程为:三1(2)当A(2,0 )为短轴端点时，a=4,2 2椭圆的标准方程为：±+L=1；416说明：椭圆的标准方程有两个， 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.221例2已知椭圆 -x +匕=1的离心率e =,求k的值.k 892分析：分两种情况进行讨论.1解：当椭圆的焦点在x轴上时，a2 =k+8 , b2 =9,得c2 = k 1 .由e =，得k = 4 .2当

7、椭圆的焦点在 y轴上时,a2 =9 , b2 = k +8 ,得 c2 =1 k .1 -k .5满足条件的卜=4或卜=5.4说明：本题易出现漏解.排除错误的办法是：因为 k+8与9的大小关系不定，所以椭 圆的焦点可能在 x轴上，也可能在 y轴上.故必须进行讨论.22例5 已知方程支+一=-1表示椭圆，求k的取值范围k -5 3-kk -5 <0,解：由 <3 k<0, 得 3<k<5,且 k#4.k -'5 = 3 -'k,，满足条件的k的取值范围是3<k<5,且k#4.说明：本题易出现如下错解：由k-5<0,3k <0,

8、得3ck <5,故k的取值范围是3<k<5.出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a：>bA0这个条件，当a = b时，并不表示椭圆.例6 已知x2si n y2cos =1 (0Ma gn)表示焦点在y轴上的椭圆，求值的取值范围.分析：依据已知条件确定 a的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出 a的 取值范围.x2y211解：方程可化为+y =1 .因为焦点在 y轴上，所以>>0.11cos：sin ：sin ： cos 二3 、因此 since a0且 tana < -1 从而 a w (，一兀),2 4 1/1 八 说明：(1)由椭圆的

9、标准方程知 >0,>0,这是容易忽视的地方.sin.：cos*21. 21(2)由焦点在y轴上，知a =-, b =.(3)求口的取值范围时，应注意题目cos.i sin 工中的条件0 _ ：二二 例5已知动圆P过定点A(3,0),且在定圆B:(x3f+y2 =64的内部与其相内切,圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点 P满足的关系式.解：如图所示，设动圆 P和定圆B内切于点M .动点P到两定点，即定点A(-3,0 )和定圆圆心B(3,0 )距离之和恰好等于定圆半径，即PA+|PB =|PM|+|PB = BM =8 .，点P的轨迹是以 A, B为两焦点，22半长轴为4

10、,半短轴长为b = J42 _32 = J7的椭圆的方程: = 1 .167说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方 程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用22x y .例1已知椭圆 一+上=1 , F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ,使M到左准43线l的距离MN是MFi与MF2的等比中项？若存在，则求出点 M的坐标；若不存在,请说明理由.解：假设M存在，设M (x1, y1 ),由已知条件得，b = Y3 ,，c =1 , e = 1 .左准线l的方程是x = Y,2MN =4 + x1 .又由焦半径公式知：11MF1

11、| =a -ex1 = 2-x1, MF2| = a+ex = 2+万 x1.2,2U1Y-17MN = MF1 MF2 ,（x +4） = 2-x1 Ii2+-x1 I.12人2J整理得 5x12 +32x1 +48 = 0 .12斛之得x1 = 一4或%=一 一 5另一方面2 Wx1 <2,则与矛盾，所以满足条件的点M不存在.22例2已知椭圆方程 0十与= 1(a Ab A0 ),长轴端点为 A,A2,焦点为F1, F2, P是椭a b圆上一点， /APA2=H, /F1PF2=a .求：AF1PF2的面积(用 a、b、a 表示).1 .分析：求面积要结合余弦定理及定义求角解：如图，

12、设P(x, y ),由椭圆的对称性,不妨设P(x, y),由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦定理知:F1F22=PF1 2 + PF2 , 2 一-2 PF1 PF2 cosa = 4c .由椭圆定义知：PF1I -.-|PF2 =2a则2得2b21 cos：故 S.F1PF21 - I =一 PF1 PF2 sina2b22 1 cos工一 .2.:"since =b tan .2c(的两邻边，从而利用$占=万absinC求面积.22例1椭圆+匕=1的右焦点为F16 123.第二定义应用,过点A(1,<3、点M在椭圆上，当 AM| +2MF为最小值时，求点 M的坐标.

13、，一1分析：本题的关键是求出离心率 e=,把2MF转化为M到右准线的距离，从而得21最小值.一般地，求 AM + MF均可用此法.e1.解：由已知：a =4, c = 2 .所以e=一，右准线2过A作AQ_U ,垂足为Q,交椭圆于 M ,故MQ| = 2MF .显然AM|十2MF的最小值为 AQ ,即M为所求点，因此 yM = J3 ,且M在椭圆上.故 Xm =2n.所以M 2 V 3, J3 ).，工，一一 一 ，一1说明：本题关键在于未知式 AM +2MF中的“2”的处理.事实上，如图， e=，2即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点 M ,使M到A的距离与到

14、右准线距离之和取最小值.22例2已知椭圆 J + Y2=1上一点P到右焦点52的距离为b (bAl),求P到左准线的距 4b b离.分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.22小解法:由+1 11,得 a = 2b , c = v 3b , e =, 4b2 b22由椭圆定义， PF1| +|PF2| =2a=4b,得PFj=4b_pF2| =4bb=3b.PFi_由椭圆第一定义， =e, 1为P到左准线的距离，did1 = ' =2，3b , e即P到左准线的距离为 2 J3b.一一PF2 - c 33斛法一： =e, d2为P到右准线的距离， e =,d2a

15、 2PF22、值 _ ,a2 8d3 d 2 =b .又椭圆两准线的距离为 2 =b .e 3c 3P到左准线的距离为 以3b-23b=2<3b33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征， 解题时要灵活选择，运用自如.一般地, 如遇到动点到两个定点的问题， 用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题， 则用 椭圆的第二定义.22例3已知椭圆x_+匕=1内有一点A(1,1), I F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是95椭圆上一点.(1)求PA + PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2)求PA+|PF2

16、的最小值及对应的点 P的坐标.分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法.二是数形结合，即几何方法.本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解 决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.解：如上图，2a =6, F2（2,0）, AF2=J2,设P是椭圆上任一点，由PE|十|PF2|=2a=6,|PA 引 PF2AF2,PA +|PF1| > PF1| +|PF2 AF2| =2a - AF2| =6-2 ,等号仅当 PA = PF2 AF2 时成 立，此时P、A、F2共线.由 PA <|PF2| +|AF2 ,PA

17、+ PF1I < PF1I +IPF2I +IAF2I =2a+|AF2 =6 + V2 ,等号仅当PA =|PF2 +|AF2时成立，此时P、A、F2共线.，x + y2 = 0,建立A、F2的直线方程x+y-2 = 0,解方程组,22得两交点5x +9y =45c/915c 5154 c/9 15- 515P(一寸2,一十72)、 P>(_ 、,2, 一一v2).7147147 14714综上所述，P点与P1重合时，|PA+|PF1取最小值6-石，P点与P2重合时,PA + PF2取最大值6 + J2 .(2)如下图，设P是椭圆上任一点，作PQ垂直椭圆右准线，Q为垂足，由a =

18、 3, c = 2,定义知PF2PQPQ =3 PF22PA +r|PF2 =|PA +|PQ| ,要使其和最小需有A、P、Q共线，即求A到右准线距离.右-9准线方程为x=92A到右准线距离为21,代入椭圆得满足条6 5 件的点P坐标(6上5,1).51 _ 一说明：求PA +-PF2的最小值，就是用第二定义转化后，过A向相应准线作垂线段.巧 e用焦点半径PF2与点准距PQ互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用2例1求椭圆 '十y2 =1上的点到直线 x-y+ 6 = 0的距离的最小值. 3分析：先写出椭圆的参数方程， 由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值.解：

19、椭圆的参数方程为="38s6,设椭圆上的点的坐标为(J3cose,sin8 ),则点到 = sin .直线的距离为V3cos6 -sina +622sin6 |+6当 sin g81=一1 时，d 最小值=2J2.<3)说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.22例2(1)写出椭圆 +匕=1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积.94分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题.解:x =3cosHy =2sin8（日 w R）.(2)设椭圆内接矩形面积为S,由对称性知

20、，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设(3cos日,2sin日)为矩形在第一象限的顶点，(0M日<(),则 S=4 3cosu 2sin- -12sin2- <12故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最 值问题，用参数方程形式较简便.22例3椭圆xy + =1 (a >b >0)与x轴正向交于点 A ,若这个椭圆上总存在点P ,使a bOP _L AP (O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围.分析：:。、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OP_LAP,转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐

21、标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式.为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程.-, , ,x = a cos日解：设椭圆的参数方程是，(a >b>0),y = bsin 日则椭圆上的点 P(acos6 , bsin 9), A(a , 0),.OP1AP,n , acos a cos 二-a即（a2 -b2）cos2 6 -a2 cos6 +b2 = 0 ,.一 .， . b2解得 cos8 = 1 或 cos 9 =2，a 。bb2c c c-1 <cose <1 ，cos8=1 （舍去），1<2<1 ,又 b2 =a2c2 a2 -b

22、2-a222.0<二父2, e > ,又 0 < e <1, < e < 1.c2222彳说明：若已知椭圆离心率范围(,1),求证在椭圆上总存在点P使OPLAP .如何2证明？5.相交情况下-弦长公式的应用例1已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为2il0 ,求直线的方程.5解：(1)把直线方程y = x + m代入椭圆方程4x2+y2=1得4x2+(x + m2=1,即 5x2+2mx+m2 1 =0 . = (2m / 4乂 5 黑(m2 1 )= 16m2+20 之 0 ,解得(

23、2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 , x2,由(1 )得x1 +x2 = 2m , x1x2 =5根据弦长公式得1 12解得m = 0 .方程为说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的这里解决直线与椭圆的交点问题,般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式.,可大大简化运算过程.用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)例2已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点 F1作倾斜解为 3的直线交椭圆于 A, B两点，求弦 AB的长.分析：可以利用弦长公式 |AB =v1+k2|x1x2 =(1+k2)(x1+x2)2

24、4x1x2求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB = J1+k2|xx2 =。(1 +k2)(x1+x2)24x1x2 .因为 a = 6, b=3,所以 c=3<3 ,因为焦点在x轴上，22所以椭圆方程为 人+以=1 ,左焦点F(33,0),从而直线方程为 y=J3x + 9.369由直线方程与椭圆方程联立得:13x2+72V3x+36m8 = 0.设，x2为方程两根，所以72,3x1 x2 = -1336 8X1X2 =,13AB = Jl+k2 X1 -x22248k )(X1 X2) -4X1X2 =13（法

25、2）利用椭圆的定义及余弦定理求解22由题意可知椭圆方程为二+ L=i ,设AF11 = m, BF1| = n ,则AF2 =12m ,3691111BF2 =12-n .在AAF1 F2中 ，AF2 2 =|AF1 2 +|F1F22 -2 AF1| F1F2 c 三o,s 即(12m)2 =m2 +36 3 2 m 6V3 ：；6，、648所以m =产.同理在ABF1F2中，用余弦定理得n =产,所以AB = m + n =.4 -V34 + J313（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2+72J3x+36黑8 = 0求出方程的两根 Xi, X2,它们分别是A, B的横

26、坐标.再根据焦半径AEjua+ex, |BF1|=a+ex2,从而求出 AB = AF1 +| BF16 .相交情况下一点差法的应用例1已知中心在原点，焦点在 X轴上的椭圆与直线 x + y-1 = 0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.2解：由题意，设椭圆方程为 、+ y2=1, ax y T = 0x227 y =1得(1 + a 2 x2 -2a2x = 0 ,X1x21 a1, , Xm =-2-，yM = 1 xm =2，2 ai akoM迄=2J_2 _xma 42+ y2 =1 为所求. 4说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系

27、数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.x21例2已知椭圆 二+ y2 =1 ,求过点P 1,且被P平分的弦所在的直线方程.2<2 2）分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k,利用条件求k .八1一,一，人一,一,、11 1 '解法一：设所求直线的斜率为 k,则直线万程为y=k x- L代入椭圆方程，并2<2）整理得1 +2k2 x2 -（2k2 2kX+1k2 -k+- =0.22一2k2 -2k由韦达定理得x1 x2 = 2k2k .1 2k1- P是弦中点，x1 + x2 =1.故得k =-.2所以所求直

28、线方程为 2x+4y-3 = 0.分析二：设弦两端坐标为（x1,y1 y仅2,y2）,列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从 而求斜率：y1 -y2 .x -x2、1 1斛法一：设过P 一，一 |的直线与椭圆父于 A(x1 y1 )、B(x2 y2 ),则由题意得<2 2 J2工+ y2=1,22,至+ y；=1,2x1 +x2 =1,j1+y2=1.2 _2一得 x1 x2 +y12 -y|=0.2将、代入得 七3 = 1 ,即直线的斜率为 1 .x1 -222所求直线方程为2x+4y3 = 0.说明：(1)有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点 轨迹

29、；过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” .有关二次曲线问题也适用.例3已知椭圆,，一门 1、，、，、，一，、，=1, (1)求过点P -,- i且被P平分的弦所在直线的方程;<2 2J求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(3)过A(2,1 椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;1椭圆上有两点 P、Q, O为原点，且有直线 OP、OQ斜率满足kOPkOQ=-求线段PQ中点M的轨迹方程.分析:此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M(x

30、i,yi ), N(x2,y ),线段 MN 的中点 R(x, y ),则X2 +2y2 =2 X +2y2 =2 为 & =2x, Vi 丫2 =2y,一得(Xi +X2 反X2 )+25 + y2 jtyi y2 )=0.由题意知X1 = X2 ,则上式两端同除以X1 - X2 ,有% +X2 2(yi + y2 )yy2 = 0，X1 - X2将代入得X + 2y江上 =0 .X1 -X2(1)将X=1, y=代入，得之二£ =1，故所求直线方程为：2X + 4y3=0.22x1 - x2222211将代入椭圆万程 X +2y =2得6y 6y = 0, =36 4黑6

31、区一 a 0符合题意，442x+4y 3=0 为所求.(2)将 以二退=2代入得所求轨迹方程为：X1 -X2(3)将Y_n2 =2二！代入得所求轨迹方程为:x1 -x2x -'2x +4y =0 .(椭圆内部分)22X +2y 2x 2y = 0.(椭圆内部分)22(4)由十得：±±xl+(y2 + y； )=2,，将平方并整理得22242c22，2% +x2 =4x - 2x1X2,，yi + y2 =4y 2y1y2,d24x - 2x1x22 99将代入得:+ (4 y 2 yly2 )= 2 ,41 一 一再将y1y2 = -x1x2代入式得:2x2-x1x

32、2 + 4y -2 - - x1x2 J = 2 ,2此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.22x y例4已知椭圆C: 一+=1,试确定m的取值范围，使得对于直线 l: y=4x + m,椭圆 43C上有不同的两点关于该直线对称.分析：若设椭圆上 A, B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线AB_L l ; (2)弦AB的中点M在l上.利用上述条件建立 m的不等式即可求得 m的取值范围.解：(法1)设椭圆上A(x , yj , B(x2 , y2)两点关于直线l对称，直线AB与l交于M (x0 , y°)点. l的斜率kl =4, .设直

33、线 AB的方程为消去y得y 二-x n,422L+上=1l43一 2213x 8nx+16n 48=0。8nx1 x2 4n=一. 于是 =13213112n%=-4% n”一， 4n12n. .4n即点M的坐标为(,).一点M在直线y=4x + m上，n = 4X+ m.解得13 131313 八n = 一一m .4将式代入式得13x2+26mx+169m2 48 = 0A , B 是椭圆上的两点，A=(26m)24M13(169m248)a0 ,解得2.132.13-< m <.131313(法2)同解法1得出n = 丁m,. %=，(一寒m)=.m,1341131y0 = -

34、x0 一 m = - 444,、13 八(m) m = -3m ,即 M 点坐标为(m, 3m).42.132,13:二 m 1313.A, B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，Gm_十匕3mL <1 .解得 43(法3)设A(x , y1)，B(x2 , y2)是椭圆上关于l对称的两点，直线 AB与l的交点M的坐标为(xo, yo).2222 A , B在椭圆上，士+江=1 , 红+”=1 .两式相减得 43433(x1 +x2)(x1 -X2) +4(y +y2)(y1 -y?) =0,yy3xn即 3 2xo(x1 -x2)+4 2yo(y1 yz) =0 .= 一一(x1手 x2) .x-x24yo3xn一又,直线 AB &#