东莞备战中考数学专题题库∶初中数学旋转的综合题

1、东莞备战中考数学专题题库：初中数学旋转的综合题一、旋转1.如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为(4,m)(5WmC，反比例函数y=16(x>0)的图象交边AB于点D.x(1)用m的代数式表示BD的长；(2)设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m,连结PB,PD记矩形OABC面积与4PBD面积之差为S,求当m为何值时，S取到最大值；将点D绕点P逆时针旋转90得到点E,当点E恰好落在x轴上时，求m的值.3O【答案】(1)BD=m-4(2)m=7时，S取到最大值m=2+2后【解析】【分析】(1)先确定出点D横坐标为4,代入反比例函数解析式中求出点D横坐标

2、，即可得出结论；(2)先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S=-1(m-8)2+24,即可2得出结论；利用一线三直角判断出DG=PF,进而求出点P的坐标，即可得出结论.【详解】解：(1):四边形OABC是矩形，AB"轴上，丁点B(4,m),点D的横坐标为4,16丁点D在反比仞函数y=一上，xD(4,4),.BD=m-4;(2)如图1,二,矩形OABC的顶点B的坐标为(4,m),S矩形oabc=4m,由(1)知，D(4,4),Sapbd=1(m4)(m4)=(m4)2,22 .S=S矩形oabcSapbd=4m-(m4)2，抛物线的对称轴为m=8, .a<0,5<

3、;m用7 .m=7时，S取到最大值；如图2,过点P作PF±x轴于F,过点/DGP=/PFE90°, /DPG+ZPDG=90；由旋转知，PD=PE,/DPE=90°,2=-1(m-8)2+242，D作DG，FP交FP的延长线于G, /DPG+ZEPF=90°,/PDG=/EPF,点P在反比例函数16y=,x.,.PDGAEPF(AAS),.DG=PF,1.m(m4)=16,，m=2+2T5或m=2-2万(舍)【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键.2.如图1,在

4、RtADE中，ZDAE=90°,C是边AE上任意一点(点C与点A、E不重合)，以AC为一直角边在RtAADE的外部作RtAABC,/BAC=90,连接BE、CD.(1)在图1中，若AC=AB,AE=AD,现将图1中的RtADE绕着点A顺时针旋转锐角”,得到图2,那么线段BE.CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；(2)在图1中，若CA=3,AB=5,AE=10,AD=6,将图1中的RtADE绕着点A顺时针旋转锐角飞得到图3,连接BD>CE.求证：ABEACD；计算：BD2+Cg的值./CAB=ZEAD=90；在ACAD和BAE中,【答案】(1)BE=CDBEXCD,理由见

5、角；(2)证明见解析；BD2+cg=170.【解析】【分析】(1)结论：BE=CD,BEXCD;只要证明ABA®ACAD,即可解决问题；(2)根据两边成比例夹角相等即可证明ABEACD.由得到/AEB=/CDA.再根据等量代换得到ZDGE=90°,即DG±BE,根据勾股定理得到bd2+cE2=cB?+ee2,即可根据勾股定理计算.【详解】(1)结论：BE=CD,BEXCD.理由：设BE与AC的交点为点F,BE与CD的交点为点G,如图2./CAD=ZBAE.ABACBAECAD,ACADIABAE,.CD=BE,AEAD/ACD=/ABE./BFA=/CFG,ZBF

6、A+ZABF=90；/CFG/ACD=90；/CGF=90；.-.BEXCD.(2)设AE与CD于点F,BE与DC的延长线交于点G,如图3./CABB=ZEAD=90；，/CAD=ZBAE.CA=3,AB=5,AD=6,AE=10,1.-AE-=-AD-=2,.ABaMCD；ABAC.ABEAACD,./AEB=/CDA./AFD=/EFG,ZAFD+ZCDA=90；/EFG/AEB=90；/DGE=90；.DG,BE,ZAGD=ZBGD=90；.CEC+EG2,BD2=BG2+DG2,BD2+cE!=cG?+eG2+bG2+DG2.BD2+cE!=CE2+ED2=CA2+AB2+AD2+AD

7、2=170.cg2+bG2=ce2，EG2+DG2=ED2,【点睛】本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键.3 .在平面直角坐标系中，O为原点，点A(8,0),点B(0,6),把ABO绕点B逆时针旋转得B',0点A、O旋转后的对应点为A'、O',记旋转角为(1)如图1,若"90；贝UAB=,并求AA'的长；(2)如图2,若a=120；求点O'的坐标；(3)在(2)的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P',当O

8、P+B取得最小值时，直接写出点P的坐标.B0S010夜；（2）（373，9）；（3）坐四55【解析】试题分析：（1）、如图，先利用勾股定理计算出/ABA'=90则可判定ABA为等腰直角三角形,AB=5,再根据旋转的性质得BA=BA,然后根据等腰直角三角形的性质求长；（2）、作O吐y轴于H,如图，利用旋转的性质得BO=BO=3,/OBO=120；/HBO'=6,再在RtBHO中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和长，然后利用坐标白表示方法写出O'点的坐标；（3）、由旋转的性质得BP二BP,则AA的则O'H的O'P+BP'=O'F

9、+BFB点关于x轴的对称点C,O'P+BP=Q利用两点之间线段最短可判断此时连结O'度x轴于P点，如图，易得O'P+BP值最小，接着利用待定系数法求出直线Oc的解析式为y=一x-3,从而得到3：,则O'p'=OP=,作5P'HO'H于D,然后确定/DP'O'=聊J用含和DO的长，从而可得到P'点的坐标.30度的直角三角形三边的关系可计算出P'D试题解析：(1)、如图，点A(4,0),点B(0,3),OA=4,OB=3,，AB=二5,.ABO绕点B逆时针旋转90°,得AA'B,O'，

10、BA=BA,'/ABA'=90.ABA为等腰直角三角形，.AA/=(2)、作O'Hy轴于H,如图，ABO绕点B逆时针旋转.BO=BO'=3ZOBO'=120：./HBO'=60在RBHO中，120°,得AA'BQ'/BO'H=90/HBO'=30.BH=BO'，O'H=：BH二-39OH=OB+BH=3+r77，O'点的坐标为(3).ABO绕点.O'P+BP'=O；B逆时针旋转120°,得BO点P的对应点为P',BP=BP,件+B点关于x轴的对称点

11、C,连结O'咬x轴于P点，如图，贝UO'P+BP=OP+PC=O眦时O'P+B的值最小，二.点C与点B关于x轴对称，C（0,-3）,设直线O'C的解析式为y=kx+b,),C(0,-3)代入得把O'(直线O'(B解析式为y旦上X-3,当y=0时，口3x-3=0,解得x包豆，贝uP./BO'A=BOA=90/BO'H=30°，/DP'O'=30图C隆考点：几何变换综合题3：3：54 .如图，在OABCD中，AB=10cm,BC=4cm,ZBCD=120°,CE平分/BCD交AB于点E.点P从A点出

12、发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP,将PCE绕点C逆时针旋转60°,使CE与CB重合，得到aQUB,连接PQ.(1)求证：4PCQ是等边三角形；(2)如图，当点P在线段EB上运动时，4PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出4PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）t为2s或者14s.【解析】分析：（1）根据旋转的性质，证明PC®4QCB,然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定

13、证明即可；（2）利用平行四边形的性质证得4BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到PBQ的周长为4+CP,然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；（3）根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：（1）:旋转.-.PCEAQCB .CP=CQ/PCE=/QCB, /BCD=120,°CE平分/BCD,/PCQ=60； /PCE吆QCE=ZQCB+ZQCE=60,° .PCQ为等边三角形.（2）存在.CE平分/BCD,/BCE=60,;在平行四边形ABCD中，.AB/CD/ABC=180-120=60°BCE为等边三角形BE=CB=4旋转.,.PCEAQ

14、CB.EP=BQ Capbq=PB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=be+pq=4+CP cplAB时，APBQ周长最小当CPLAB时，CP=BCsin60=273 .PBQ周长最小为4+2J3（3）当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形当0wy6时，由旋转可知，/cpe=zcqb,/cpq=/cpb+zBPQ=60°则：/BPQ+/CQB=60°,又/QPB+ZPQC+ZCQB+ZPBQ=180/CBQ=1806060=60°/QBP=60；/BPQ<60°,所以/pqb可能为直角由（1）知，apcq为等边三角形，/PBQ=60；/CQB=3

15、0° /cqb=/CPB/CPB=30° /CEB=60； /AC%/APC=30°PA=CA=4,所以AP=AE-EP=6-4=2所以t=212s当6vtv10时，由/PBQ=120°>90°,所以不存在当t>10时，由旋转得：/PBQ=60°,由（1）得/CPQ=60°/bpq=/cpq+zBPC=60+oZbpc,而/bpc>0°,/BPQ>60°/BPQ=90；从而/BCP=30,°BP=BC=4所以AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合

16、题意。点睛：此题主要考查了旋转图形变化的应用，结合平行四边形、等边三角形、全等三角形的判定与性质，进行解答即可，注意分类讨论思想的应用，比较困难5.在RtACB和4AEF中，ZACB=ZAEF=90°,若点P是BF的中点，连接PC,PE.特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上，则结论：PC=PE成立(不要求证明).问题探究：把图1中的4AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；AC(3)记

17、一C=k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？(请直接写出后的值，不必说)BC【答案】1PCPE成立2,PCPE成立3当k为Y3时，VCPE总是等边三3角形【解析】【分析】(1)过点P作PMLCE于点M,由EF±AE,BC±AC,得到EF/MP/CB,从而有PC=PEPD,先证PD=PE最后根据EMFP，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC,据此得到MCPB(2)过点F作FD±AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接DAF0EAF,即可得出AD=AE;再证DAPEAP,即可得出FD±AC,BC±AC,PMAC,可得FD/BC/PM,再根据

18、点P是BF的中点，推得PC=PD再根据PD=PE即可得到结论.(3)因为4CPE总是等边三角形，可得ZCEP=60,/CAB=60;由/ACB=90,求出/CBA=30最后根据-ACk,-AC=tan30；求出当CPE总是等边三角形时，k的值是BCBC多少即可.【详解】解：(1)PC=PE成立，理由如下：如图2,过点P作PMLCE于点M,EF±AE,BC±AC,.EF/MP/CB,EMFPMCPB点P是BF的中点，.EM=MC,又.PMCE,.PC=PE5图2(2)PC=PE立，理由如下：如图3,过点F作FD，AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD,</DAF

19、=/EAF,/FDA=ZFEA=90在DAF和EAF中,/DAF=ZEAF,/FDA=ZFEA,AF=AF, .DAFAEAF(AAS,.AD=AE,在ADAP和AEAP中， .AD=AE,/DAP=/EAP,AP=AP, .DAPAEAP(SAS, .PD=PE .FD±AC,BC±AC,PMXAC, .FD/BC/PM,DMFP-，MCPB点P是BF的中点，.DM=MC,又PMXAC,PC=PD,又.PD=PE.PC=PEC图3(3)如图4,CPE总是等边三角形,/CEP=60,°/CAB=60；/ACB=90；/CBA=90-/ACB=90-60=30;.殷

20、k,改=tan30；BCBCk=tan30当k为Y3时，CPE总是等边三角形.3图4【点睛】考点：1.几何变换综合题；2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题；5.全等三角形的判定与性质；6.平行线分线段成比例.6.如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,轴的垂线与直线CF相交于点E,连接AC,(I)当t=2时，求点M的坐标；(n)设ABCE的面积为S,当点C在线段自变量t的取值范围；B坐标为(0,4),M是线段AB的中点，将过点C作x轴的垂线，垂足为F,过点B作yBC,设点A的横坐标为t.EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出(出)当t为何值

21、时，BC+CAM得最小值.3【答案】(1)(1,2);(2)S=-t+8(0Wt&8;(3)当t=0时，BC+ACW最小值2【解析】试题分析：(I)过M作MGLOF于G,分另1J求OG和MG的长即可；(II)如图1,同理可求得AG和OG的长，证明AMGCAF,得：AG=CF=-t2，AF=MG=2,分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；(III)证明ABO"CAF,根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小.试题解析：解：(I)如图1,过M作MGLOF于G,，MG/OB,当t=2时，OA=2.M是

22、AB的中点，G是AO的中点，.OG=1OA=1,MG是4AOB的中位线，2.MG=1OB=1X4=2M(1,2)；22(II)如图1,同理得：OG=AG=1t.ZBAC=90°,2/BAO+ZCAF=90:/CAF+ZACF=90:：./BAO=ZACF,/MGA=ZAFC=90;MA=AC,AAMGACAF,.AG=CF=1t,AF=MG=2,EC=4-t,BE=OF=t+2,22SabcE=EC?BE=(4t)(t+2)=12+t+4;22242112-1,23Saabc=?AB?AC=?J16t2?v16t=t2+4,1.S=Sabec+Saabc=t+8.22242当A与O重

23、合，C与F重合，如图2,此时t=0,当C与E重合时，如图3,AG=EF,即1t=4,t=8,，S与t之间的函数关系式为：S=t+8(0t<22(III)如图1,易得AB84CAF,旭=旭=空=2,.“5=2,CF=1t,由勾股定理ACAFFC2得：ac=JaF2CF2=#2(；t)2=，41t2BC=JbE2EC2=J(t2)2(4gt)2=55(1t24),BC+AC=(析+1)J-t24,，当t=0时，BC+AC有最小值.OGAF不(A)OF图1图2点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换(旋转)、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等

24、三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.7.如图1,YABCD和YAEFG是两个能完全重合的平行四边形，现从AB与AE重合时开始，将YABCD固定不动，YAEFG绕点A逆时针旋转，旋转角为a(00<a<360°),AB=a,BC=2?并发现：如图2,当YAEFG旋转到点E落在AD上时，FE的延长线恰好通过点C.探究一：(1)在图2的情形下，求旋转角a的度数；探究二：(2)如图3,当YAEFG旋转到点E落在BC上时，EF与AD相交于点M,连接CM,DF,请你判断四边形CDFM的形状，并给予证明；探究三：(3)如图1,连接CF,BF,在旋转过程中4B

25、CF的面积是否存在最大的情形，如果存在，求出最大面积，如果不存在，请说明理由.【答案】(1)a=120;(2)四边形CDFM是菱形，证明见解析；(3)存在4BCF的面积最大的情形，Sabcf=3-1a2.2【解析】试题分析：(1)由平行四边形的性质知/D=/B,AB=CD=a可得/D=/DEC,由等角等边知CD=CE由AE=AB=a,AD=BC=2a,可得DE=CE即可证得4CDE是等边三角形，/D=60,由两直线平行，同位角相等可得ZDAB=120即可求得町(2)由旋转的性质以及/B=60。，可得ABE是等边三角形，由平行线的判定以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形ABEM是平

26、行四边形，再由由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；(3)当点F至IBC的距离最大时，4BCF的面积最大，由于点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动，故当FG与。A相切时，点F到BC的距离最大，过点A作AHLBC于点H,连接AF,由题意知/AFG=90°.由/ABH=/G=60°,AB=a,AG=2a,可得AH、AF的值.可求得点F到BC的最大距离.进而求得臣BCF的值.试题解析：(1)二.四边形ABCD是平行四边形，ZD=ZB,AB=CD=aZAEF=ZB,ZAEF=ZDEQZD=ZDEQ.CD=C.1AE=AB=a,AD=BC=2a,.DE=CE,，CD=CE=D

27、BACDE是等边三角形，ZD=60；1. CD/AB,ZD+ZDAB=180,°ZDAB=120,°a=120;.(2)四边形CDFM是菱形.证明：由旋转可得AB=AE,ZB=60,°.ABE是等边三角形，ZBAE=60°,ZBAG=ZBAE+ZGAE=60+120=180,°点G,A,B在同一条直线上，.ME/AB,BE/AM,四边形ABEM是平行四边形，.AM=AB=ME,.CD=DM=MF,1.CD/AB/MF,二四边形CDFM是平行四边形，ZD=60,D=DM,CDM是等边三角形，.CD=DM,，四边形CDFM是菱形；(3)存在4BCF

28、的面积最大的情形.CB的长度不变，二当点F到BC的距离最大时，4BCF的面积最大.点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动,当FG与。A相切时，点F到BC的距离最大，如图，过点A作AHLBC于点H,连接AF,则/AFG=90. /ABH=ZG=60；AB=a,AG=2a, .AH=ABXsin60a,AF=AGXsin60=百a. 二点F到BC的最大距离为J3a+a=a.22.SaBcx2a-a=晅a2.222点睛：此题考查了旋转的洗澡那个会、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，三角形的面积的求法，关键是运用旋转前后，图形的对应边相等、对应角相等的性质解题8.（10分）已知4ABC和4A

29、DE是等腰直角三角形，/ACB=/ADE=90°,点F为BE中点，连结DF、CF.（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2,在（1）的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3,在（1）的条件下将4ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1,AC=V2,求此时线段CF的长（直接写出结果）.【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）2.【解析】试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知

30、DF=BF根据/DFE=2/DCF/BFE=2ZBCF,得至U/EFD叱EFB=2ZDCB=90,°DF±BF;（2）延长DF交BC于点G,先证明ADE阵GCF，得至ijDE=CGDF=FG根据AD=DE,AB=BG得到BD=BG又因为ZABC=90°,所以DF=CF且DF±BF;（3）延长DF交BA于点H,先证明ADEFAHBF,得到DE=BH,DF=FH,根据旋转条件可以4ADH为直角三角形，由4ABC和4ADE是等腰直角三角形，AC=0,可以求出AB的值，进而可以根据勾月定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF求出得CF的值.1II试题解析：（1

31、）ZACB=ZADE=90,点F为BE中点，z.DF=BE,CF=BE.DF=CF ABC和ADE是等腰直角三角形，ZABC=45.° BF=DF,/DBF=ZBDF. /DFE=ZABE+ZBDF,./DFE=2ZDBF.同理得：/CFE=2ZCBF, /EFD+ZEFC=2ZDBF+2/CBF=2ZABC=90.° .DF=CF且DF±CF.（2）（1）中的结论仍然成立.证明如下：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G. /ADE=ZACB=90DE/BC./DEF=ZGBF,/EDF=ZBGF. .F为BE中点，EF=BF.DEFGBF.DE=GB,

32、DF=GF .AD=DE,.1.AD=GB. AC=BC,AC-AD="BC-GB."，DC=GC/ACB=90,°DCG是等腰直角三角形. .DF=GFDF=CFDF±CF.E(3)如图，延长DF交BA于点H, ABC和ADE是等腰直角三角形,AC=BCAD=DE/AED=ZABC=45.°由旋转可以得出，/CAE1BAD=90； .AE/BC,，/AEB=/CBE.，/DEF之HBF. .F是BE的中点，EF="BF."，ADE图HBF.，ED=HB. .AC=,在RtABC中，由勾股定理，得AB=4. .AD=1,ED

33、=BH=1.AH=3.在RtHAD中，由勾股定理，得DH=&5,.DF=,CF=2.线段CF的长为考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理.9.把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点。重合.现将三角板EFG绕。点顺时针旋转（旋转角a满足条件：0°<a<90°）,四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）.（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；

34、（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK,在上述旋转过程中，是否存在5某一位置，使4GKH的面积恰好等于4ABC面积的不?若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由.-一一|5|,【答案】（1）BH=CK;（2）存在，使4GKH的面积恰好等于ABC面积的衣的位置，此时BH的长度为3上巫.【解析】(1)先由ASA证出CGKBGH,再根据全等三角形的性质得出BH=CK根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；(2)根据面积公式得出Sghk=S四边形ckgh-Sackh=1x2-3x+9,根据GKH的面积恰好等于ABC面积的，代入得出方程一x2-3x+9=XX646

35、求出即可.122122解：(1)BH与CK的数量关系：BH=CK理由是：连接OC,由直角三角形斜边上中线性质得出oc=bgAC=BC,。为AB中点，/ACB=90,°/B=/ACG=45；CO±AB,/CGB=90=ZKGH, 者B减去/CGH得：/BGH=ZCGK在CGK和4BGH中fZKCG=ZBJcG二BG,l/KGC二Nbgh .CGKABGHI(ASA), .CK=BH,即bh=c四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于4ACB面积的一半，等于9;_5一,、一(2)假设存在使4GKH的面积恰好等于ABC面积的a

36、的位置.12设BH=x,由题意及(1)中结论可得，CK=BH=xCH=CB-BH=6-x,.Sachk=1CHXCK=3x1x2,12、J2.Saghk=S四边形ckghSackhf9(3xx2)=x23x+9,GKH的面积恰好等于ABC面积的,12*'一X3x+9=xX6X62122解得X3J6,X23J6（经检验，均符合题意）.，存在使4GKH的面积恰好等于ABC面积的9的位置，此时x的值为3J6.12熏睛”本题考查了旋转的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，但是一道比较好的题目.10.如图1,在RtABC中，/ACB=90°,E是边AC

37、上任意一点（点E与点A,C不重合），以CE为一直角边作RtAECD/ECD=90,连接BE,AD.（1）若CA=CBCE=CD猜想线段BE,AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；现将图1中的RtECD绕着点C顺时针旋转锐角”，得到图2,请判断中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6CE=3,CD=4,ECD绕着点C顺时针转锐角”，如图3,连接BD,AE,计算朋*+历的值.【答案】（1）BE=AD,BEXAD;见解析；（2）125.【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD,BEXAD;设BE与AC的交点为点F,BE与

38、AD的交点为点G,根据/ACB=ZECD=9。得出/ACD=ZBCE然后结合AC=BCCD=CE得出AC*4BCE贝UAD=BE,/CAD=/CBF,根据ZBFC=ZAFG,/BFC+/CBE=90得出/AFG+/CAD=90,°从而说明垂直；首先根据题意得出 ACDABCEL,然后说明ZAGE=ZBGD=90°,最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案.试题解析：（1）解：BE=AD,BEXADBE=AD,BEXAD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F,BE与AD的交点为点G,如图1. /ACB=/ECD=90,°，/ACD=/BCE&

39、#39;AC=BCCD=CE.AC*BCE .AD=BE/CAD=/CBFv/BFC玄AFG/BFC叱CBE=90°，/AFG+ZCAD=90°/AGF=90°.1.BEXAD（2）证明：设BE与AC的交点为点F,BE的延长线与AD的交点为点G,如图2./ACB=/ECD=90,°，/ACD=/BCE;AC=8,BC=6,CE=3（CD=4ACgBCE/CAD=/CBE/BFC=/AFG/BFC+/CBE=90/AFG+/CAD=90°/AGF=90°.1.BEXAD，ZAGE=ZBGD=90°邛炉=m2+卬？8屏=胡之+品

40、2.*屏+柢2=力W+,r?)BD2+AE2=AB1+ED1=CA2+CB2+CD2+CE2-125考点：三角形全等与相似、勾股定理.11.如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字.同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和.如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止.(1) 率；(2)甲请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于10的概小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于10,小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10,为平局；

41、指针所指区域内的数字之和大于10,小亮获胜.你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则.1一.【答案】（1）1；（2）不公平.3【解析】试题分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率.（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平.试题解析：（1）共有12种等可能的结果，小于10的情况有4种，所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为一36189178g1039101112410111215（2）不公平，因为小颖获胜的概率为Fy-，,=；5小亮获胜的概率为一.小

42、亮获胜的可能性大，所以不公平.12可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢.考点：1.游戏公平性；2.列表法与树状图法.12.（特例发现）如图1,在4ABC中，AG1BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB,AC为直角边，向ABC外作等腰RtAABE和等腰RtACF,过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.求证：EP=FQ（延伸拓展）如图2,在4ABC中，AG±BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB,AC为直角边，向4ABC外作RtAABE和RACF,射线GA交EF于点H.若AB=kAE,AC=kAF请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论.（深入探

43、究）如图3,在4ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向4ABC外作任意4ABE和ACF,射线GA交EF于点H,若/EAB=/AGB,/FAC=ZAGC,AB=kAE,AC=kAF,上一问的结论还成立吗？并证明你的结论.（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角/IHJ分别与4AEF的两边AE、AF分别交于点M、N,若4ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中ZBAC=120,且/IHJ=/AGB=0=60k=2;求证：当/IHJ在旋转过程中，EMH、4HMN和4FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）.【答案】（1）证明参见解析；（2）HE=HF;（3）成

44、立，证明参见解析；（4）证明参见解析，MN最小值为1.【解析】试题分析：（1）特例发现：易证AEPBAG,AFQ0CAG,即可求得EP=AGFQ=AG,即可解题；(2)延伸拓展：过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.易证1IIBOI ABGsEAP,AC84FAQ,得到PE=AG,FQ=AG,.PE=FQ然后证明 EPHFQH,即可得出HE=HF;(3)深入探究：判断PEAGAB,得到PE=AG,1 AQFACGA,FQ=,得到FQ&AG,再判断EPHFQH,即可得出HE=HF;(4)应用推广：由前一个结论得到4AEF为正三角形，再依次判断MHNsHFNMAMEH,即可得出结论

45、.试题解析：(1)特例发现，如图：/PEA+/PAE=90,VW3GC图L/EPA=/AGB,AE=AB,APEAAGAB,FQ=AG,.1.PE=FQ(2)延伸拓展，如图：AB:(,图2G/PEA+ZPAE=90,°/GAB+ZPAE=90,°/PEAE/GAB+ZPAE=90zpea=zgab,.PE=AG同理，4QF心GAC,PEA=ZGAB,ZEPA=ZAGB,IPFAE1.PEAAGAB,.AB=kA.年"IF(2AF1QFAAGAC,.加；*，AC=kAF,.FQ$AG,，/EPH=/FQH,ZPHE=ZQHF,.EPHFQH,(3)深入探究，如图2,

46、AEGC曲3丁PE=AG,同理,.PE=FQEP/FQ,HE=Hp在直线AG上取一点P,使得/EP/AGB,彳FQ/PE,/EAP+/BAG=180/AGB,ZABG+ZBAG=180-/AGB,./EAP=ZABG,/EPAAGB,.AAPEABGA,IFFAEII：AG月也-AB=kAE,PE=AG,由于/FQA=/FAC=ZAGC=180-ZAGB,同理可得，|FQAF1 AQFsCGAAC#，AC=kAF，FQ=AG,.EP=FQ/EP/FQ,，/EPH=/FQH,ZPHE=ZQHF,.EP噌FQH,.HE=Hp(4)应用推广，如图3,圉3在前面条件及结论，得到，点H是EF中点，AE=

47、AF,=/EAB=/AGB,/FAC=ZAGO.-./EAB+ZFAC=180，°/EAF=360-°(/EAB+ZFAQ-/BAC=60AEF为正三角形.又H为EF中点，ZEHM+ZIHJ=120°,ZIHJ+ZFHN=120,HMEHZEHM=ZFHN,/AEF=/AFE,HEMsHFN,，“网卜',EH=FHFII叼且/MHN=/HFN=60.MHNshFN,.MHNsHFNsMEH,在 HMN中，/MHN=60°,根据三角形中大边对大角，要MN最小，只有HMN是等边三角形，ZAMN=60,./AEF=60,MN.MN/EF,.AEF为等边

48、三角形，.MN为1111 AEF的中位线，MNmin='EF=X2=1考点：1.几何变换综合题；2.三角形全等及相似的判定性质.13.如图，是边长为4GM的等边三角形，边.折在射线QVf上，且0.4=6c阳,点口从点。出发，沿0V的方向以lew5的速度运动，当。不与点A重合是，将绕点。逆时针方向旋转6口匕得到"5，连接DE.(1)求证：1CDE是等边三角形；(2)当6<r<10时，的周长是否存在最小值？若存在，求出ADE的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点D在射线3上运动时，是否存在以D,E3为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出此时？的值；若不存在，请

49、说明理由（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶DC=EC即可得到结论；（2）当6<t<10【答案】（1）详见解析；（2）存在，2屿+4;点的三角形是直角三角形.【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到/DCE=60,时，由旋转的性质得到BE=AD,于是得至ijCadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD）!AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形，当0W6时，由旋转的性质得到/ABE=60,ZBDE<60°,求得ZBED=90,根据等边三角形

50、的性质得到/DEB=60,°求得/CEB=30,°求得OD=OA-DA=6-4=2,于是得到t=2+1=2SD当6vtv10s时，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质得到/DBE=60°,求得/BDE>60°,于是得到t=14+1=14s试题解析：（1）证明：二.将4ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到ABCE,/DCE=60,°DC=EC.cde是等边三角形；（2）存在，当6<t<10时，由旋转的性质得，BE=ADCadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+D,E由（1）知，cde是等边三角形，de=cd,Cadbe=CD+4,由垂线段最短可知，当CD±AB时，4BDE的周长最小，此时，CD=2jcm,BDE的最/、周长=CD+4=2招+4；（3）存在，二当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形,当点D与点B重合时，不符合题意，当0Wg6时，由旋转可知，/ABE=60°,/BDEv60&