【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题9_直线和圆_理2007-2012

1、【2012年高考试题】1.12012高考真题重庆理3】任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一小旦(1) 相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心1答案】C【解析】直线j1二击恒过定点做。,定点到圆心的距离壮=14点，艮RS点在圆内部,所以直线j=丘+1与圆相交但直线不过圆心，选已2.12012高考真题浙江理3】设aCR,则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a=1时，直线。x+2j=0s直爱&r+2j#4=,叫g若则有口g+。一

2、2511=0,即/4一2=D,解之得，。=-2或。=1,所以不能得到。=1.故选人4.12012高考真题陕西理4】已知圆C:x2+y24x=0,l过点P(3,0)的直线，则()A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能【答案】A.【解析】圆的方程可化为(x2)2+y2=4,易知圆心为(2,0)半径为2,圆心到点P的距离为1,所以点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.5.12012高考真题天津理8】设m,nwR,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆.2.2.(x-1)+(y1)=1相切，则m+n的取值范围是(A)1-73,1+73(B)(-叼171十、/3,十今(

3、C)2-2,2+22(D)(g,22V2u2+2V2,+g)【答案】D【解析】圆心为(1,1),半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足|(m+(n-2|=i,即m+口+1=mn0,(m1)2(n1)224解得z22反或z之2+2也6.12012高考江苏12(5分)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0,若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是.【答案】-B弓二【解析】:副般程可为f=的圆心为(10),半径为1.由题意，直线J=上至少B在一点H(三,质-2),以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公北占.二存在三已

4、庾得虫3141成立，即工ac*,即为点C到直线1=七-2的距离里型，,号二3三2,解得4ki0k0,所以,(x5)2y2=x5.化简得曲线C1的方程为y2=20x.解法2：由题设知，曲线Ci上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离,因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，故其方程为y2=20x.(II)当点P在直线或=7上运动时，P的坐标为T；jJ,又工与，则过P且与圆G相切得直线的斜率出存在且不为。，每条切线都马抛物或有两个交点，切线方程为了一u=网工+4)：即k,Fy：+4k=0.于是整理得72-181-+1；-9=0-dr丁u设过p所作的两

5、条切线ELPC的斜率分别为儿品,则足用是方程的两个实根，故总土-野=4,工一p+j：1+4Atl=0rj2=20及得城*+畛+%)=设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4,则是方程的两个实根，所以yi72=20(y。4ki)ki同理可得20(y04k2)y3y4=1k2于是由，三式得400(y04ki)(y04k2)yy2y3y4;-kik2400y；+4(ki+k2)y+I6kik21k1k2400y；-y216kk=6400.k1k2所以，当P在直线x=-4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.【2011年高考试题】一、选择题：1 .(2011年高考江西

6、卷理科9)若曲线C1：x2+y22x=0与曲线C2：y(ymxm)=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A.夸)B.(普,0)U(0,号r.3,33z,3c.-,D.(,)U(,+o0)【答案】B【解析】因为直线产二与曲线g有两个不同的交点,要使曲线g和曲线q有匹个不同的交点，只须直线y-mx-m-0与曲线g:X2-2克=0有两个不同的交点即可,而曲线1j解得G是一个圜m所以圆心(1,0)到直建y湘xm0的距离为-w0,得：r=遍1三、解答题：1.（2011年高考山东卷理科22）（本小题满分14分）22xy已知动直线l与椭圆C：一+匚=1交于P（x,y1卜Q（x2,y2）两不同点，且OPQ

7、勺面积32SOpQ=f，其中。为坐标原点.2222（I）证明X+%和+y2均为定值；（n）设线段PQ的中点为M,求|OM|.PQ|的最大值；（出）椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S出DE=SDG=SEG=?若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.【解析】U）解:（1）当直线/的斜率不存在时，&C两点关于,轴对称，所以电工1八因为尸（孙必）在桶扇上，因此4+反=132又因为及4工所以I再I|乂|=咚由、得I再上/%1=1一-J此时君+=3/：+必=2,（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m,22由题意知m。，将其代入土+匕=1,得32_22_2（2+3k2）x2+6k

8、mx+3（m22）=0,其中=36讦病-12（2+3炉）（切口-2）0,即3/+2搐2（口）耳+Xj3（-2）2+2次也好十2一冽：2+如所以|网2|=V1+F址+药尸-41用=Jl+炉因为点C：到直线上的距离为d=所以用o片J恐因_12J弼+2-苏|刈=”必377娓|网J3M+2-苏2+3?整理得3+2=2”,且符合(：)丸此时.“4-各i琮1二3,222222222yi/）产-”2综上所述，xi2+x2=3;y；+y2=2,结论成立。(II)解法一:(1)当直线l的斜率存在时,由（I）知|OMMX尸，6,|PQ|=2|yi|=2,2因此|OM|PQ|=-62=6.2（2）当直线l的斜率存在

9、时，由（I）知x1x23k22mV1y2=k(、3k2)m=-m=2m-3k22m22m|OM|2Kx1x22y1y22)(1)=9k26m2-224m24m|PQ|2=(1k2)24(3k22-m2)2(2m21)(23k2)2=2(211=2(3-常,m所以|OM221|PQ|=2(3-)2(212)m1=(3-7)(2m二)m一(W2m)225所以|OM综合（1）511|JPQ|G,庾得邑国叶二邑心卬=用口瓦:证明；假设存在。（W）,凤孙，乃）满足应通旨=S.sg=&曲弓=，乙22c22c22c22c22c22cux二3,ux2=3,kx2=3;vy二2,vy2=2,y1y2=2,右刀/

10、日2223222解付u=x=x2=2；v=y1=y2=1.因此u,为，x2只能从邛中选取,q必)2只能从土仲选取,因此D,E,G只能在（土Y6,1）这四点中选取三个不同点,2而这三点的两两连线中必有一条过原点,S.ODE=SODG=SOEG二名矛盾,2所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G.2. （2011年高考广东卷理科19）设圆C与两圆（x+J5化简得L的方程为-y2=1.+y2=4,（xJ5）2+y2=4中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.-FP的最大值及此时3.54.5（2）已知点M（，），FJ5,0），且P为L上动点，求MP55点P的坐标.【解析】（1）解：设

11、C的圆心的坐标为（x,y）,由题设条件知|.(x.5)2y2-(x-.5)2y2|=4,（2）解:过偏，F的直线/方程为=-2（工-/），将其代入L的方程得15/-3上氐+即=0.解得行竽名=胡与上交点为京华-）工c/考）因门在线段MF外，七在线段MF内，切肛|-|肛|=|3+工（班|TFUZ,若P不在直线MF上，在AA反中有!|.WP|-|FPH=2.故FP|只在口点取得最大值23. （2011年高考福建卷理科17）（本小题满分13分）已知直线l:y=x+m,mCR。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点巳且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为I,问直

12、线I与抛物线C:x2=4y是否相切？说明理由。解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结13分。合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分解法一：（I）依题意，点P的坐标为（0,m）0-m因为MP_LI,所以父1=1,2-0解得m=2即点P的坐标为（0,2）从而圆的半径r=|MP户（2-0）2（0-2）2=2、.2,故所求圆白方程为（x-2）2-y2=8.（II）因为直线l的方程为y=x+m,所以直线l的方程为y=xm.由，2，得x2+4x+4m=0x=4y.2；：=4-44m=16(1-m)(1)当m=1,即=0时，直线l与抛物线C相切(2

13、)当m#1,那00时，直线1与抛物线C不相切。综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；当m#1时，直线1与抛物线C不相切。解法二；(I)设所求圆的半径为门则圆的方程可设为(冗-2尸依题意，所求圆与直线阳=0相切于点F(54+/二产,则|2-0+砌m=2,解得L”2户所以所求圆的方程为0-2尸+/=8：)同解法一.4. (2011年高考上海卷理科23)(18分)已知平面上的线段1及点P,在1上任取一点Q,线段PQ长度的最小彳1称为点P到线段1的距离，记作d(P,1)。(1)求点P(1,1)到线段1:xy-3=0(3x5)的距离d(P,1)；(2)设1是长为2的线段，求点集D=P|d(P,1)M1所

14、表示图形的面积；(3)写出到两条线段kJ2距离相等的点的集合C=P|d(P1)=d(P,12),其中11=AB,12=cd,A,B,C,D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。A(1,3),B(1,0),C(_1,3),D(_1,0)。A(1,3),B(1,0),C(1,3),D(_1,2。A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)。解：设。(工工一为是镂段=上一点，则|尸0卜而一以卡住一4旷=/仁一|)工+(3-45),当x=3时，(ptO=pgU=.设线盘I的端点分别为HE,以直线且5为x

15、轴，.45的中点为原点建立直角坐标系，则/(-L0).夙，点集D由如下曲线围成冬尸川小叽丁尸-K邛1)_LJJ一；06二任中步升l(x7其面积为5=4+霆.选】举A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(10),夏=(x,y)|x=0选才举A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(i-2)。1=(x,y)|x=0,y_0(x,y)|y2=4x,-2y0(x,y)|xy1=0,x1选择J(QD，3QO)Q(QO),DQO).Q=三X40，w抄U&J)|F=茗。不/M1LKU0H=2j-U野【2010年高考试题】、一一，,，一，一22（2010江西理数）8.直线丫=4+3与圆03）+（

16、丫2）=4相交于M,N两点，若MN至2J3,则k的取值范围是【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.解法1:圆心的坐标为（3.,2）,且圆与y轴相切.当|MN|=2，3寸，由点3到直线距离公式，解得,0;4解法2:数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,不取Z,排除B,考虑区间不对称，排除C,利用斜率彳t值，选A（2010重庆理数）（8）直线y=Y3x+3x=3、3cosT,._-。2与圆心为D的圆厂(8匚1_，2n)y=1、.3sin-交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为八7A.二6B.解析：数形结合2=30二-：由圆的性质可知.1=21.

17、（2010安徽理数）9、动点A（x,y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t=0时，点A的坐标是（工，立），则当0EtEl2时，动点A的纵22坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是A、10,1B、1,71C、7,121D10,11和17,1219.D【解析】画出图形，设动点R与其轴正方向夹角为则f=0时厘=三，每秒钟旋转二36在七0上值在112上/式色上口，动点/的纵坐标1关于r都是单调3223递增的.【方法技巧】由动点印工在圆V+厂=1上绕坐标庾点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的瓠度，画出单位圆

18、，很容易看出,当t在电1局变化时，点X的纵坐标F关于F（单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调读赠区间，（2010全国卷2理数）（16）已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4.若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN=.【答案】3【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形I司题.【解析】设E为AB的中点，则0,E,胎M四点共面，如图，:屈5=4,所以OE=Jj学=2#,JXIEfS，由球的截面性质，有OXI_LME：ON-LKE,;OM=。州=3,所以AXIE。与ANEO全等，所以MN被0E垂直平分，在直角三角形中，MEHO由面积相等，可

19、得，Mg=3OE（2010四川理数）（14）直线x2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则AB=.解析：方法一、圆心为（0,0）,半径为2J2圆心到直线x2y+5=0的距离为=里2包=，512（-2）2故1ABi二.T一，二得|AB=2北答案：23（2010广东理数）12.已知圆心在x轴上，半径为J2的圆。位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆。的方程是一一22.la201-i_12.（x+，5）+y=5.设圆心为（a,0）（a0）,则r:1：J5,解得a=-5.，1222（2010山东理数）（16）已知圆。过点（1:0）,且周台在二轴的正半轴上，直线J：尸=x-1被僵（:所截得

20、的弦长为2点，则过圆心且与直线，垂直的直线的方程为.【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0,设圆心坐标为（a,0）,则由题意知：|a-1|、2）2+2=（a-1）2,解得a=3或-1,又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3,故圆心坐标为（3,0）,因为圆心（3,0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0,即m=-3,故所求的直线方程为x+y-3=0。【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。(2010湖南理数)10如用1所示，过GO外一克P作一条妓与GO交手&B两点，已知PA=3点P到的切线长PT=如晦AB的铁甄【税祈】粗据切

21、建长定理+nagS也需pr=PAPB,PB=s.m.a酬=8用=g=2=6融22x+y=4上有且仅有四个点到直【命题意图】本照考察平面几何的切域长定理，盛爵国教2.(2010江苏卷)9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是A解析考查圆与直线的位置关系。圆半径为2,圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,1,c的取值范围是(-13,13)。13【2009年高考试题】4. (2009辽宁文、理)已知圆C与直线x-y=0及xy4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为(A)(x1)2(y1)2=2(B)(x1)2(y1)2=2

22、_22_22_(C)(x-1)(y-1)=2(D)(x1)(y1)=2解析：圆心在x+y=0上，排除CD,再结合图象，或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径q2即可.答案：B16.(200918)(本小题满分16分)在平面直角坐标系XOy已知圆C1:(x+3)+(y1)=4和圆C2:(x4)2十(y5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2J3,求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线11和12,它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线11被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标。解析本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。已设直姓的方程为：F=鼠工-4),即在一-软=0由垂径定理，得：同心G到直线F的距离d=L芈产=1，结合点到直线距离公式，得工一=L