排列组合与二项式定理练习题

1、排列、组合与二项式定理测试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1 .若从集合P到集合Q=a,b,c所有不同的映射共有 81个，则从集合Q到集合P可作的不 同的映射共有（）A. 32 个B. 27 个C. 81 个D. 64 个2 .某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（）A. 42B. 36C. 30D. 123 .全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P,排成前后两排，每排 24人，排法 总数为Q,则有（）A. P>QB. P=QC. P<QD.不能确定4.从正方体的六个面中

2、选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）种A. 8B. 12C. 16D. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）444A . C12C 8 C4B.4 _ 4 _ 43c12C8 c4C.C142C；C44A；D.C1：C84C：A6.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为16的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性,不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（）种A. 350B. 300C. 65D. 507.有8人已站成一排，现在要求其中4人不动，其余4人重新站位，则

3、有（重新站位的方法A. 1680B. 256C. 360D. 2808 . 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（）种不同的坐法A. 7B. 3600C. 2400D. 19 .在（Jl + J3）n的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024,则中间项 的二x x项式系数是（）A. 462B. 330C.682D.79210 .在（1+ax）7的展开式中，x3项的系数是x2项系数与X5项系数的等比中项，则a的值为B.C.25D.25二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共11 .某公园现有 A、B、C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有 三个成人和2

4、个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘船，他们分乘这些船只的方法有 种。12 .“渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数（如98765）,若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第为 。13 .（理）某民航站共有 1到4四个入口，每个入口处只能进1人，一个小组4个人进站的方案数为。（文）体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有 种。20052200514 .（又）若（1一2*）=a0+ax + a2x + 十 22005 x（xw R）,则（a0 +a）+（a0 +a2）+ （a0 +

5、a3）+（a0 +22005）= （用数字作答）。（理）甲、乙、丙三人传球，第一次球从甲手中传出，到第六次球又回到甲手中的传递方式有 种342005 .315.在（1+x） +（1+x） +（1+x）的展开式中，x3的系数为 。三.解答题（本大题共6题，共80分）16.（本题满分12分）用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字（1）可组成多少个不同的自然数？（2）可组成多少个无重复数字的五位数？（3） 组成多少个无重复数字的五位奇数？（4） 可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？（5） 可组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？（6） 可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位

6、数？17 （本题满分12分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有以上不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）72718 .（本题满分 12 分）已知（12x） =a0+aix+a2x + +a7x ,求（1） a0 +a + +a7的值（2） a0 +a2 + a4+ a6 及 a +a§ +a§ +a7的值;（3）各项二项式系数和。1*n*19 .(本题满分14分)证明：(1) 2 <(1 +-) <3,其中nW N ； n(2)证明：对任意非

7、负整数n , 33n -26n 1可被676整除。本题满分14分)已知m, n是正整数，f (x) = (1+x)m十(1十x)n的展开式中x的系数为7,(1) 试求f (x)中的x2的系数的最小值(2) 对于使f (x)的x2的系数为最小的 m,n,求出此时x3的系数(3) 利用上述结果，求f (0.003)的近似值(精确到0.01)_m x(x -1) (x - m 1)21。(本题满分16分)规定Cxm =-其中xw R,m是正整数，m!且C0 =1这是组合数Cnm(n,m是正整数，且m = n)的一种推广，(1)求C5的值，(2)组合数的两个性质：cm=cnA； cm+cnm,=cm1

8、是否都能推广到 mcm(x w R,m w N )的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由(3)已知组合数cnm是正整数，证明：当 xwZ,m是正整数时，cmwZ株洲市十七中高二排列、组合与二项式定理测试卷参考答案一：选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)(I) . D (2). A (3). B (4). B (5). A (6). B (7). D (8). A (9). A (10). C二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共(II) .18 (12). 76542 (13).(理)840 (文)10 (14).(文)(理)22(15). C三.解答

9、题(本大题共6题，共80分)234516. (1)解：可组成6+5x6 + 5x6 +5父6 +5父6 + 5父6 =46656个不同的自然数(2)可组成A5 .A/或A5 - A3 =600个无重复数字的五位数(3)可组成A3 A1 A3 =288个无重复数字的五位奇数(4)可组成A； +(A4 - A3) =216个无重复数字的能被5整除的五位数432(5)可组成2A5 +3A4 +2% +1 =325个无重复数字的且大于31250的五位数？(6)可组成A5 +(A； -A4) =216个无重复数字的能被 3整除的五位数？17 .解：在5种不同的荤菜中取出 2种的选择方式应有 C；=10种

10、，设素菜为X种，则C2 C：2 200 解得 x>7,二至少应有7种素菜18 .令 x =1,则 a0 +a1 + a7 = -1令 x = -1,则 a0 a1 +a2 _a3 +a6 -a7 2187令 x = 0,则 a0 =1于是 a1 ' a2 ' a3a7 = -2a1 +a3 +a5 +a7 = -1094 ； a。+a2 +a4 +a6 =1093各项二项式系数和 C0 +C7 +C77 = 27 =12819. (1)证明：(1+)n =1+C：二+C2(1)2+22 (当且仅当n=1时取等号)n1 °当 n =1 时，(1 +)n ： n=2

11、 <3显然成立当n之2时；(1+3n =c； +Cn，2 nn+Cnn(n -1) 1n(n 1)(n 2)n(n -1)2 1 12! nc 1 n n -1 二23 n31 n n 1 n 22! n+3 nn!1 n n 1+十n! n nnnC 111二 22!3!n!1+十2 31+n(n -1)11 11=2 (1)()(22 3 n -11c综上所述：2 M (1 +-)n <3,其中nW N n(2)证明：当 n =0,n =1 时33n -26n -1=0,显然 676|(33n -26n-1)当 n±2时，33n 26n1 =27n -26n -1 =

12、 (1 26)n -26n -1 =1 26n C： 262 - Cn 26n -26n -1=C： 262 C3 263Cn26n = 676(C：26C；26n，Cn)三 0(mod676)综上所述：676|(33n -26n -1) (n N):根据题意得：Cmm +C： = 7 ,即m + n = 72_ 2_ 2x的系数为Cm +Cn_ m(m -1) n(n -1)2将(1)变形为n = 7-m代入上式得：x的系数为27 235m -7m 21 = (m )24故当m=3或4时，x2的系数的最小值为9(2)(3)f (0.003) : 2.0221.解:(1) C515(-15)(-16)(-19)5!二-C19 =71628当m =3,n =4或m = 4,n =3时，x3的系数为为C3 +C： =5(2)性质：Cnm =C；T不能推广，例如x = J2时，C：i有定义，但C、“无意义;性质：c1m+CnmJ1 =cnm4能推广，它的推广形式为 Cm +C：,=c£,xw R,mw N*,证明如下:当m =1时,有 cl cX0 ' x 1 二 Cm!(m-1)!x(x -1)