2020-2021备战中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析及答案解析

1、2020-2021备战中考数学综合题专题复习【直角三角形的边角关系】专题解析及答案解析一、直角三角形的边角关系1 .如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为1,且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2,并已知tan11.082,tan20.412.如果安装工人确定支架AB高为25cm,求支架CD的高（结果精确到【答案】解；过点且作匈7，CD于P，AE4鸵女C于Fa在於声中，=1,4x1.082=1.5148

2、（zk）,Q在REAP1中，左F=AFtan理=1.4浒0.412=0,576g（啕（2分）二口因二口尸一后尸=15148-03762=0932（喀）（1分）又可证四边形ABCS为平行四边形，故有CE=25二酬（2分）六C0二D五十=938+25=1188期119g（2分）答：支架CD的高妁为11%阳.11分）/【解析】过A作AFCD于F,根据锐角三角函数的定义用%、例表示出DF、EF的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm再再根据DC=DE+ECS行解答即可.2 .如图（1）,在平面直角坐标系中，点A（0,-6）,点B（6,0）.RtACDE中，/CDE=90,

3、76;CD=4,DE=4/3，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合.RtCDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题：（1）如图（2）,当RtACDE运动到点D与点。重合时，设CE交AB于点M,求/BME的度数.（2）如图（3）,在RtACDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长.（3）在RtACDE的运动过程中，设AC=h,OAB与CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值.(2BC=4后;(3)hW2时,S=-事h2+4h+8,4当h>2时，S=18-3h.【解析】试题分析：(1)如图2,由对顶角的定义知,/BME=Z

4、CMA,要求/BME的度数，需先求出/CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可；(2)如图3,由已知可知/OBC=/DEC=30,又OB=6,通过解直角BOC就可求出BC的长度；(3)需要分类讨论：hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MFLDE交DE于点F,S=SEDC-SAefm；当h>2时，如图3,S=Sxobc.试题解析：解：(1)如图2,图22 .在平面直角坐标系中，点A(0,-6),点B(6,0).OA=OB,ZOAB=45；3 /CDE=90,°CD=4,DE=4再,/OCE=60,°/CMA=ZOCE-/OAB=60-45=15；/BME=

5、ZCMA=15:如图3,S3/CDE=90,°CD=4,DE=4g,/OBC=ZDEC=30,°,.OB=6,4 BC=4月；(3)hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MF,DE交DE于点F,圄45 .CD=4,DE=4石，AC=h,AN=NM,.CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM,.CMNACEDcv-=.CDDE"EV4+b-EV解得FM=4一正二!心,-12，S=Sxedc-SaEFM=qX4>3x(4j?4h)X(4力)=-h2+4h+8,三224如图3,当h*时，11_S=SxOBC=-OCXOB=(6-h)X6=183h.考点：1、

6、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形3.在等腰4ABC中，/B=90°,AM是4ABC的角平分线，过点M作MNLAC于点N,ZEMF=135.。将/EMF绕点M旋转，使/EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题：(1)当/EMF绕点M旋转到如图的位置时，求证：BE+CF=BM(2)当/EMF绕点M旋转到如图，图的位置时，请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，tan/BEM/,AN=、,2+1,贝UBM=,CF=.【解析】【分析】(1)由等腰ABC中，ZB=90°,AM是ABC的角平分线，过点M

7、作MNXAC于点N,可得BM=MN,/BMN=135,又/EMF=135°,可证明的BME0NMF,可得BE=NFNC=NM=BM进而得出结论；(2)如图时，同(1)可证BMENMF,可得BE-CF=BM,如图时，同(1)可证BMENMF,可得CF-BE=BM;在RtAABM和RtAANM中，,'蜩=AM可得RtAABMRtAANM,后分别求出AB、ACCN、BM、BE的长，结合(1)(2)的结论对图进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明：ABC是等腰直角三角形，ZBAC=ZC=45； .AM是/BAC的平分线，MNLAC,.BM=MN,在四边形ABMN中，/,BMN=36

8、0-90-90-45=135°,/ENF=135,°,/BME=ZNMF, .BMEANMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°.NC=NM=BM,.CN=CF+NF .BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45,°,.NC=NM=BM, NC=NF-CF, .BE-CF=BM;针对图3,同（1）的方法得，BMENMF,.BE=NF, .MN±AC,/C=45；/CMN=ZC=45；.NC=NM=BM,.NC

9、=CF-NF,.CF-BE=BM；（3）在RtMBM和RtAANM中，朋-NM即AMRtAABMRtAANM（HL.）,.AB=AN=x/2+1,在RtAABC中，AC=AB=e+1,.AC=AB=2+,.CN=AC-AN=2+2-（V2+D=1,在RtCMN中，CM=y/2CN=/2，.BM=BC-CM=+1-=1,在RtABME中，tan/BEM整福=反，DEDEbe=,.由（1）知，如图1,BE+CF=BM八V3.CF=BM-BE=13由（2）知，如图2,由tan/BEM=J5,，此种情况不成立；由（2）知，如图3,CF-BE=BM,J3I.CF=BM+BE=1+等,故答案为1,1+空或

10、1-空.【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.4.问题背景：如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B'连接AB与直线l交于点C,则点C即为所求.（1）实践运用：如图（b）,已知，。的直径CD为4,点A在。O上，/ACD=30,B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为.（2）知识拓展：如图（c）,在RtABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.【

11、答案】解：（1）272（2）如图，在斜边AC上截取AB'=AB连接BB'.AD平分/BAC点B与点B关于直线AD对称.过点B作B'HAB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段B'的长即为所求（点到直线的距离最短）.在RtAAFB/中，ZBAC=4更aB="AB="10,BT=AB'或口4>=ABsin4.BE+EF的最/、值为5#【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出/C'AE再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值

12、：如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小，且等于A.作直径AC,连接C'F根据垂径定理得弧BD=MDE.仃、/ACD=30,°/AOD=60；/DOE=30：/AOE=90,°/CAE=45°又AC为圆的直径，.1./AEC=90°./C'AC，AE=45，C'E=AE=AC'2T2.AP+BP的最/、值是272(2)首先在斜边AC上截取AB'=AB连接BB',再过点B作B'1AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B'的长即为所求.5 .如图，某公园内有

13、一座古塔AB,在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.中午12时太阳光线与地面的夹角为45。，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度.（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°=0.5299cos32°弋0.84§0tan32°=0.6249/1.4142.BEC【答案】塔高AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DHLAB,垂足为点H,设AB=x,则AH=x-3,解直角三角形即可得到结论.【详解】解：过点D作D

14、HXAB,垂足为点H.由题意，得HB=CD=3,EC=15,HD=BC,ZABC=/AHD=90；/ADH=32.设AB=x,则AH=x-3.一AB在RtABE中，由ZAEB=45；得tanAEBtan45-1EBEB=AB=x.HD=BC=BE+EC=x+15.在RtAHD中，由/AHD=90；得tanADHAHHD即得tan32x3x15解得x15tan32332.99.1tan32AB约为32.99米.本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.6 .某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图

15、）.已知点P在点A的北偏东45方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75。方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：331.7J2=1.4.【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知/CAB=75,/CAP=45,/PBD=60,/PAH=ZCAB-/CAP=30,50/PHA=ZPHB=90；PH=50,.AH=33=5073,tanPAHV1.AC/BD,/ABD=180CAB=105/PBH=/A

16、BD/PBD=45,°贝UPH=BH=50,.AB=AH+BH=50.+50,.50,一.60千米/时=以米/秒，时间t=350.350即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,点睛：该题考查学生通过构建直角三角形,实际路程，并进行判断相关的量。-5Q=3+3J3=8.1（秒）,3可认定为超速.利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即7.在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O0,0，点A3,0，点C0,4,连接OB,以点A为中心，顺时针旋转矩形AOCB,旋转角为0360,得到矩形ADEF，点O,C,B的对应点分别为D,E,F.（I）如图，当点D落在对角线OB上时，求点D的坐标;（

17、n）在（I）的情况下，AB与DE交于点H.求证BDEDBA;求点H的坐标.（m）为何值时，FBFA.（直接写出结果即可）.251）；_5472【答案】（I）点口的坐标为（，）；5）证明见解析；点H的坐标为（3,2525（出）60或300【解析】【分析】（I）过A、D分别作AMOB,DNOA,根据点A、点C的坐标可得出OA、OC的长，根据矩形的性质可得AB、OB的长，在RtAOAM中，利用/BOA的余弦求出OM的长，由旋转的性质可得OA=AD,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM,在RtODN中，利用/BOA的正弦和余弦可求出DN和ON的长，即可得答案；（n）由等腰三角形性质可得/DOA=/OD

18、A,根据锐角互余白关系可得ABDBDE,利用SAS即可证明DBA0BDE;根据DBABDE可得/BEH=/DAH,BE=AD,即可证明BHEADHA,可得DH=BH,设AH=x,在RtADH中，利用勾股定理求出x的值即可得答案；（出）如图，过F作FOLAB,由性质性质可得/BAF=,分别讨论0VW180寸和180<<360的两种情况，根据FB=FA可彳导OA=OB,利用勾股定理求出FO的长，由余弦的定义即可求出/BAF的度数.【详解】(I)点A3,0，点C0,4,.OA3,OC4.四边形OABC是矩形,.AB=OC=4,;矩形DAFE是由矩形AOBC旋转得到的ADAO3.在RtOA

19、B中，ob，OA2AB25,过AD分别作AMOB,DNOA在RtAOAM中，cosBOAOM5.AD=OA,AM±OB,-18.OD2OM在RtAODN中：sinBOAOMOA3OAOB5DN4ON3,cos/BOA=-j-=DN72255425点d的坐标为547225,25(n)矩形DAFE是由矩形AOBC旋转得到的,OAAD3,ADE90,DEAB4.ODAD.DOAODA.又DOAOBA90,BDHADO90ABDBDE.又BDBD, 出DEADBA.3,由ABDEADBA,得BEHDAH,BEAD又BHEDHA，出HEADHA.DH=BH,设AHx,则DHBH4x,在RtAA

20、DH中，AH2AD2DH2，即x2324x，得x25Q，AAH258一，一一八25，点H的坐标为3,8（出）如图，过F作FOXAB,当0<oc<18c 点B与点F是对应点，A为旋转中心，/BAF为旋转角，即ZBAF=oc,AB=AF=4,FA=FBFOXAB, .OA=1AB=2,2OA1cos/BAF=,AF2 ./BAF=60,°即a=60°,当180°<3360的,同理解得：/BAF=6Q°，旋转角。=360-60=300°.wE综上所述：a60或300.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角

21、三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键8 .水库大坝截面的迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1:0.6,背水坡坡比为1:2,大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积.【答案】故大坝的截面的周长是(6J34+30J5+98)米，面积是1470平方米.【解析】试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC,再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC梯形的面积公式可得出答案.试题解析：二.迎水坡坡比(DE与AE的长度之比)为1:0.6,DE=30m,，AE=18米，在RTAADE中，AD=JD

22、E2AE2=6734米背水坡坡比为1：2,，BF=60米，在RTABCF中，BC=JCF2BF2=30挥米,.周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+30而+88=(6734+3075+98)米，面积=(10+18+10+60)X30+2=1470平方米).故大坝的截面的周长是(6734+3075+98)米，面积是1470平方米.9 .如图，已知，在eO中，弦AB与弦CD相交于点E,且AcBD.(1)求证：ABCD;(2)如图，若直径FG经过点E,求证：EO平分AED;(3)如图，在(2)的条件下，点P在CG上，连接FP交AB于点M,连接MG,若ABCD,MG平分PMB,MG2

23、,FMG的面积为2,求eO的半径的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)eO的半径的长为J10.【解析】【分析】(1)利用相等的弧所对的弦相等进行证明；(2)连接AO、DO,过点。作OJAB于点J,OQCD于点Q,证明AOJDOQ得出OJOQ,根据角平分线的判定定理可得结论；(3)如图，延长GM交eO于点H,连接HF,求出FH2,在HG上取点L,使HLFH,延长FL交eO于点K,连接KG,求出FL2亚，设HMn,则有LKKG-n,FKFLLK22,再证明22_KGHFKFGEMGHMF,从而得到tanKFGtanHMF,，再代入FKHMLK和FK的值可得n=4,再求得FG的长，最后得到

24、圆的半径为屈.【详解】解：(1)证明：AcBd,AcCb?dCb,如Cd,ABcd.(2)证明：如图，连接AO、DO,过点O作OJAB于点J,OQCD于点Q,1_1_AJODQO90,AJABCDDQ,又.AODO,AOJDOQ,OJOQ,又OJAB,OQCD,EO平分AED.(3)解：CDAB,AED90,，一1由(2)知，AEFAED45,如图，延长GM交eO于点H,连接HF,FG为直径，H90,Smfg-MGFH2, MG2,FH2,在HG上取点L,使HLFH,延长FL交eO于点K,连接KG,HFLHLF45,KLGHLF45, FG为直径，K90, KGL90KLG45KLG,.LKK

25、G,在RtFHL中，FL2FH2HL2，FL2亚，设HMn,HLMG2, GLLMMGHLLMHMn,在RtLGK中，LG2LK2KG2,LKKGn,2FKFLLK2拒n,2 GMPGMB,PMGHMF,HMF1AEFAED45,2MGFEMGKFGEMGMEF45,MGFHMF,KFGHLF45tanKFGtanHMF,2KGHF2n2FK而2行与n2HGHMMG6,.10.在RtHFG中，FG2FH2HG2,FG2>/i0,FO即eO的半径的长为Ji0.【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键.10.在RtABC中，/

26、ACB=90°,CD是AB边的中线，DELBC于E,连结CD,点P在射线CB上（与B,C不重合）（1）如果/A=30°,如图1,/DCB等于多少度；如图2,点P在线段CB上，连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60。，得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3,若点P在线段CB的延长线上，且/A=a（0°<av90。），连结DP,将线段DP绕点逆时针旋转2a得到线段DF,连结BF,请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）/DCB=60°.结论：CP=BF.理由见解析；（2）结

27、论：BF-BP=2DE?tan”理由见解析.【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质，结合ZA=30°,只要证明4CDB是等边三角形即可；根据全等三角形的判定推出4DC百DBF,根据全等的性质得出CP=BF,(2)求出DC=DB=AD,DE/AC,求出ZFDB=ZCDP=2a匕PDB,DP=DF,根据全等三角形的判定得出ADC国DBF,求出CP=BF,推出BF-BP=BC,解直角三角形求出CE=DEtan”即可.【详解】(1)./A=30°,/ACB=90°,/B=60°,.AD=DB,-.CD=AD=DB, .CDB是等边三角形，/DCB=6

28、0:如图1,结论：CP=BF,理由如下：图1 ./ACB=90；D是AB的中点，DELBC,ZDCB=60°, .CDB为等边三角形./CDB=60°二线段DP绕点D逆时针旋转60得到线段DF, /PDF=60；DP=DF,/FDB=/CDP,在DCP和4DBF中DCDBCDPBDF,DPDF.,.DCFADBF, .CP=BF.(2)结论：BF-BP=2DEtana.理由：/ACB=90°,D是AB的中点，DELBC,/A=a,-.DC=DB=AD,DE/AC,/A=/ACD=a,/EDB=/A=a,BC=2CE,/BDC=/A+ZACD=2a,/PD已2%/FDB=/CDP=2a廿PDB,二线段DP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF,.DP=DF,在DCP和4DBF中DCDBCDPBDF,DPDF.,.DCFADBF,.CP=BF,而CP=BC+BP.BF-BP=BC,在RtACDE中,/DEO90°,CEtan/CDE=,DE.CE=DEtan/.BC=2CE=2DEtan,a即BF-BP=2DEtana.【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出DC®DBF是解此题的关键，综合性比较强