2012届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案

1、2012届高考数学备考复习三角变换与解三角形教案专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第二讲三角变换与解三角形【最新考纲透析】1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。3能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导 出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。4 能运用和与差、 二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换 （包括 导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）5掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。6能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计 算有关

2、的实际问题。【核心要点突破】要点考向1：三角变换及求值考情聚焦：1利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高 考必考内容。2该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。3该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。 考向链接：1在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如 下变形1）；2）角的变换；（3）。2利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下 三种类型：（1）“给角求值 ”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函 数式的值；（2）“给值求值 ”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函 数式的值；（3）“给值求角 ”，即给

3、出三角函数值，求符合条件的角。例1：已知向量,且（I）求tanA的值；（II ）求函数R）的值域解析：（I）由题意得m?n=sinA2cosA=0,因为COSAM0所 以ta nA=2.（1）由（I）知tanA=2得因为xR所以.当时，f（x）有最大值，当sinx=-1时，f（x）有最小值-3所以所求函数f（x）的值域是要点考向2：正、余弦定理的应用考情聚焦：1利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新 课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。2该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定 理及三角函数的化简与证明。3多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中

4、出现。 考向链接：1在三角形中考查三角函数式变换， 是近几年高考的热点， 它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是 作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理 及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思 路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常 见的三角变换方法和原则都是适用的，注意 “三统一 ”，即“统一角、统 一函数、统一结构 ”，是使问题获得解决的突破口。2在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐 角，也可能为钝角(或直角) ，这往往造成有两解，应注意分类讨论， 但三角形内角的余弦为正，该角一定

5、为锐角，且有惟一解，因此，在 解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。例2: (2010?辽宁高考理科？T17)在厶ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且(I)求A的大小；(H)求的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变 换，三角函数的最值。【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角(II)由(I)知角C=60-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数， 进而求出最值【规范解答】(I)由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120(H)由(I)得：故当B=30时，sinB+sinC取得最大值

6、1。【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换si叭用b替换sinB用c替换sinGsinA,sinB,sinC勺次数要相等，各项要同时替换， 反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C=60要点考向3：三角函数的实际应用考情聚焦：1有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。2该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函 数及三角变换等知识交汇。3多以解答题的形式出现，题目不会太难 例3: (2010?江苏高考？T17)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单 位：m),如示意图

7、，垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角/ABE二, /ADE=3(1)该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20,请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后， 认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m) ，使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？ 【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式 的应用。【思路点拨】(1)分别利用表示AB、AD、BD,然后利用AD-AB=DB求解；(2)利用基本不等式求解.【规范解答】(1)，同理：，。AD-AB=DB故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m

8、。(2)由题设知，得，(当且仅当时，取等号)故当时，最大。 因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。故所求的是m。高考真题探究】1.（2010?福建高考文科？T2）计算的结果等于（）A.B.C.D.【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并 进行三角的化简求值。【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。【规范解答】选B， 。【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才 能进行灵活的恒等变换。如倍角公式： ，的逆用公式为 “降幂公式 ”，即 为，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。2.（2010海南宁夏高考理科T16）在中，D为边BC

9、上一点，BD=DC,=120AD=2,若的面积为，则二.【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的 关系式求解.【规范解答】设，则，由的面积为可知，可得，由余弦定理可知，所以，所以由，及可求得答案】60【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定 理找边与角的关系，列出等式求解.3.(2010?天津高考理科？T7)在厶ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若，贝 SA=()(A)(B)(C)(D) 【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析 问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据

10、正、余弦定理将边角互化。【规范解答】选A,根据正弦定理及得：。【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将 三角形的边转化为角。4.(2010?北京高考理科？T10)在4ABC中，若b=1,c二，贝卩a二。【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。【规范解答】由余弦定理得， ，即，解得或(舍)。【答案】1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。5.(2010?天津高考理科？T17)已知函数(I)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(H)若，求的值。【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公

11、 式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知 识，考查基本运算能力。【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，【规范解答】(1)由，得所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1(”)由(1)可知又因为，所以由，得从而所以6.(2010?陕西高考理科？T17)如图，A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海 里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该 救援船到达D点需要多长时间？【命题立意

12、】本题考查了三角恒等变换、 已知三角函数值求角以及正、 余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。思路点拨】解三角形规范解答】 【跟踪模拟训练】一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，总分36分)1(2010届?山东省实验高三一诊(文) )已知点在第四象限,则角的终 边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2若，则的值为()A.B.C.D.3.函数的最小正周期T=()(A)2n (B) n (C) (D)4.若函数y=f (x)同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为n,(2) 图象关于直线对称；(3)在区间上是增函数，则y=f(x)的解析式可 以是()A.B.C.D

13、.5.(2010届？广东高三六校联考(理)如图，RtAABC中，AC丄BC, D在边AC上，已知BC= 2,CD= 1,ZABD=45 则AD=()A.2B.5C.4D.1二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，总分18分)7._在中，角，所对的边分别是，若，且，则的面积等于 _8.若定义在区间上的函数对上的任意个值，,，总满足W则称为上的凸函数.已知函数在区间上是 凸函数”则在中，的最大值是_ .9._已知ABC的三个内角A,B,C满足cosA（sinB+cosB）+cosC二则A=_ .三、解答题（1 0、11题每小题15分，12题16分，总分46分）10（本小题满分12分）已知（1）求

14、；（2）求的值11已知函数的最小正周期为.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2） 求函数图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标.12.在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（I）确定角C的大小（H）若c=,且厶ABC的面积为，求a+b的值。参考答案1.C2.C3.B4.C5.B6.【解析】选A依题意，画出图形CAO是等腰三角形，/ DCO玄COAn-20.在RtACOD中，CD二CO?coDCO =cos(n2 0)=-cos20过O作OH丄AC于H点，则CA=2AH=2OAcos0=2cos0.f(0)=AC+CD=2co-c0sos20.789.【解析】TcosA(sinB+cosB)+cosC=0cosAsinB+cosAcosB+co$ n(A+B) =0,cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=，0cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB，=