计算定积分的技巧

1、计算定积分的技巧（共13页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-分类号：学校代码：11460学号：南京晓庄学院本科生毕业论文题目：计算定积分的技巧Thedefiniteintegralcomputationtechniques0所在院:教师教育学院陈淼姓名:指导教师:后六生研究起止日期：二。一三年卜一月至二。一四年五月本人郑重声明：1.2.3.4.5.坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其

2、它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。学位论文独创性声明作者签名：2014年4月20日计算定积分的技巧摘要：牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的基本方法，这种方法的关键是找到被积函数的原函数，当遇到一些被积函数在特殊区间上的定积分运算时，运用牛顿-莱布尼兹公式求解定积分则稍显复杂，此时我们需要运用某些技巧使定积分的计算量减少，从而提高效率以及正确率。本文通过实例探讨了计算定积分时几个技巧，拓宽解题思路，减少计算量。关键词：定积分；计算方法;技巧Abstract:NewtonLeibnizformulaisthebasiccomputation

3、almethodofdefiniteintegral,thekeyofthismethodistofindtheoriginalfunctionoftheintegrand,whenmeetssomedefiniteintegralintegrandinthespecialontheinterval,usingtheNewton-Leibnizformulaforsolvingdefiniteintegralisslightlycomplicated,thistimeweneedtousesometechniquestoreducetheamountofcalculationofdefinit

4、eintegral,soastoimprovetheefficiencyandaccuracy.Thispaperdiscussesthecalculatingoftheintegralseveralskills,broadenthethinking,reducetheamountofcalculation.Keywords:Thedefiniteintegral;calculationmethod;skills.10摘要2一、利用函数的奇偶性计算定积分4（一）函数奇偶性定理4（二）例题51 .偶函数例题52 .奇、偶函数混合例题6二、利用函数的周期性计算定积分6（一）函数周期性定理7（二）例

5、题7三、利用换元法计算定积分7（一）利用换元法的定理8（二）例题8四、利用级数计算定积分9（一）级数定理9（二）例题10五、结论11参考文献12致谢12计算定积分的技巧定积分是为了估计平面上的封闭曲线面积而形成的。为了计算区域的面积，在实践中，人们逐渐认识到这种方法的限制性，于是想到了分割求和取极限。定积分不仅是计算区域面积的手段，也是许多实际问题的计算工具，比如物理学的变力做功，立体体积等等。因此，不管是理论还是实践，定积分都具有广泛意义。长此以往，定积分也就成为了数学中的一个重要成员。定积分是在微积分的基础上，为学习概率论与数理统计课程，一个复杂的变量和函数的重要工具。定积分是作为积分学的

6、基础，对我们学习概率统计、复变函数等课程也提供了很大的帮助。由于定积分的概念比较抽象，定理较多较杂，所以给我们加大了计算定积分的难度。牛屯r莱布尼兹公式远离了定积分一般的求极限和，使定积分的计算更加趋于完美和简便。公b式给出了计算连续函数f(x)在a,b上求定积分的方法，即f(x)dxF(b)F(a),其中aF(x)是f(x)的一个原函数。但意思不是说定积分的计算仅仅是原函数的运算与牛顿-莱布尼兹公式的轻易组合。除了一些基本的方法之外，定积分的计算也有特殊的方法和技巧。在本文中的案例分析，探讨了几种计算技巧，发展解决问题的思路，从而提高我们的计算能力。一、利用函数的奇偶性计算定积分(一)函数奇

7、偶性定理：a0设f(x)在关于原点的对称区间-a,a上连续，则有f(x)dxf(x)f(x)dx；aaa1 .若f(x)为奇函数，则f(x)dx0；aa02 .若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx。aa证明：采用区间积分的可加性得a0af(x)dxf(x)dxf(x)dxaaa00a对于积分af(x)dx,令t=-x得af(x)dx0f(t)dtaaa则式可化为af(x)dx°f(x)dx°f(x)dx1 .如果f(x)是奇函数，那么对于x -a,a,都有f(-x)=-f(x), 此时 式可化为aa f(x)dxa0 f( x)dxa0 f(x)dx=02 .如

8、果f(x)af (x)dxa=2a0 f( x)dxa0 f(x)dxa0 f(x)dxa0 f(x)dx是偶函数，那么对于x -a,a,都有f(-x)=f(x), 此时式可化为a0 f (-x)dxa0 f(x)dxa0 f(x)dxf(x)dxa0 f(x)dx综上所得，结论成立。(二)例题1.cosx2八2cos x 2sin xdx的值。cosx2 c 2cos x 2sin x是偶函数cosx2-12-dxcos x 2 sin xcosx2 02cosx2cos x2 sin2 xdxcosx222 cos x 2sin xdx2arctan sinarctan sin x 2n2

9、;2dx0cosx2sinx1 2x22.求上xr111x=dx的值。2x解思路：因为积分区间-1,1关于原点对称，所以我们应当考虑的第一件事是被积函数的奇偶性。1 2x211,1x .dx2x1 2x2dx11.11 x x11.1 x2由于2x211 x2是偶函数，而所以有1 . 1xcdx 0121 ,1 x_ 21 2x x ,dx121 . 1 xdx2x1x02(11 x2)dx x14 dxo140 1 xdx由定积分的几何意义知x2dx 一，所以41 2x2 x dx11.1 x21dx 40dx的值2解1=224dx2x952 x cosx . dx5x cosx函数,2 .

10、4一是偶函数2x2I=2 02 .4dx2xx2 242dx252xxcosx3 .求22=22,4x2dx820、利用函数的周期性计算定积分分割成几段如果一个被积函数是一个周期函数的话，我们应注意将积分区间进行分割,类似的区间，这样我们只需要计算一个区间的定积分就可以得到整个区间的定积分的值。这样可以简化计算，减少计算量。(一)函数周期性定理:如果f(x)是一周期为T (T>0)的连续函数，a为任意实数，则必有TT T1. 0 f (x)dxT2f (x)dx2f(x)dx,即f(x)在任意长度等于T的区间上，定积分值相等，和区间的两端点位置没有关系。nT2. 0 f (x)dxT0

11、f(x)dx, (n 为整数)3. 0 sinxdxsinxdx 0coxxdxcosxdx 0,正弦函数、余弦函数在周期区间上的定积分的值为0.T2T4. cosxdx cosxdx 0 ,即余弦函数在半周期的区间上，定积分的值等于 0T（二）例题, 1例1求定积分I一.2 dx0_2 2220 a sin x b cos x解：由题意得：被积函数是一个以为周期的偶函数0.I2.21 21dx0 a sin x b cos x2 222-a sin x b cos xdx2 2 0 b2d tanx22a tan xd(tanx)ab1 (atanx)2b.2 a飞 arctang tan

12、x)ab例2设（x）表示距离x最近整数的距离，计算100(x)dx1x,0x一2解：由（x）彳2,且（x）为周期函数，周期为1,/1,1 x,-x1211(1 x)dx 25211001-1贝U(x)dx100(x)dx1002xdx1xdx000-2三、利用换元法计算定积分换元积分法是通过引入另一个变量来简化积分运算的一种方法。一般在求解过程中，我们可以根据题意，适当变换积分的上下限。该方法可以简化积分运算过程和提高准确率。(一)定积分的换元法定理：设f(x)在a,b上连续，x=(t)满足条件：(1)当t在a,b上变化时，x=在a,b上也变化；(2)'(t)在,:内符号保持不变；(3

13、)(a)a,(b)b,而且a(t)b;b(4)(t)在a,b上具有连续导数，就有f(x)dxf(t)'dt。a(二)例题51例1求1dx的值。(x0,5)02x,3x1解：令J3x1t,则当x=0时，t=1;当x=5时，t=4.原式=dt1)t421_1 2t2 3t-dt 22t(2t 1)(tdt 2)4 dt1 2t4 4 dt5 1 t 21= -ln(2t51)4 ln(t 2)51= 1ln1125例2解：令则 sint信sin2tx 2,cos1 x则 x tan21原式二03 td(tan2t)t tan213tan2tdt0=-03sec2t1dt=-tantt034

14、八=-.33四、利用级数计算定积分s(x),并且级数中的每一项un(x)当我们无法用定积分的基本解题方法求出原函数时，我们也能够使用级数来求解。首先把被积函数展开，得到一个级数的展开式，其次再进行计算。(一)定理1：设级数un(x)在a,b上一致收敛于和函数n1在,(a,b)上连续，则有Un(X)dXUn(X)dX。n1n1a,b上一致定理2：设级数un(x)中的的每一项Un(x)在a,b上都是可积的，并且级数在n1un(x)g(x)可逐项积分,收敛，另外有个函数g(x)是在a,b上的绝对可积函数，则级数Un(x)g(x)dx1Un(x)g(x)dx。1(二)例题11例1计算定积分lndx01

15、x11解：lndx01x101n(1x)dx23又哥级数1n(1-x)=-x-，于是有231,1,Lxx、，1,Indx(x)dxxdx01x0230Wx3x.dx3111彳1122334,1、2,例2计算1x(1nx)1n(102、x)4arctanx.-ddxx2n解：由于级数1n(1+x2)=(1)(n1)(1)在闭区间0,1上一致收敛，而且积分一、2（lnx）dx可解，因此由te理2知(lnx)2(1x2)dxn(1)2nn(1)nn_2(213)3(1)n12n1(1)nn1(2n1)2(1)n1(2n1)3在（1）式中，令x=1,(1)nln2(2)3级数arctanxx35x5-

16、2n11)n.在-1中,令x=1,得(°n02n1(1)n2n1(4),2在x处的正弦级数展开式为22xk12k183sin(2k1)x(2k1)sin2k(0k)中,令x=一，得一(1)k118(1)k其中最后一个等式用到（arctanx.又因为级数dxx1arctanx,行积分，dx0x于是，由以上结果（2)2k1(2k1)4）式，从而有1)2nnx3(1)nn1(2n1)32n11)n2n1x02n(5)(6)328(1)k0(2k1)31(5)。在闭区间0,1上一致收敛，所以我们可以逐项进-dx1(1)n(2n1)212Io(lnx)2ln(1arctanx.dxx2n1(1

17、)n1n(1)n12n2ln22(41)2n1)n1)n1(2n1)22ln23一12五、结论1(2n1)232(一321)(1)n1(2n1)3,1arctanx,4dx0x4(11)n1(2n1)万812本文主要研究了定积分的一些计算技巧。对于具有较强的灵活性和多样性的定积分的计算，我们不能只停留在传统的解题方法上。我们只有积极努力，找到一个更简便的方法，提高解决问题的能力和技能。有很多解决定积分的方法和技巧，除了基本的用定积分的定义、性质、基本公式与分部积分法等方法外，我们还可以运用函数的对称性（奇偶性和周期性）、换元法、级数等方法和技巧来求定积分。定积分的计算问题是无止境的，但是方法是有限的，只要我们有一些技巧，你就可以简化计算，从而解决问题了。14参考文献【1】吉米多维奇习题集（定积分部分），高等教育出版社.【2】超越函数定积分的积分方法，邵红，中国科技信息，2008,10【3】定积分计算中的若干技巧，罗威，沈阳师范大学学报（自然科学版），【4】宁荣健.定积分计算的方法和技巧J.合肥工业大学,1995:199.【5】张晓清马华.定积分计算中的几个常用方法.西安电子科技大学,2005:36.【6】杨罗辉.关于定积分计算中的技巧性.长春大学学报，2006,（8）:15.【7】钱昌本.高等数学解题过程的分析与研究.科