关于当代中学数学教育的几点思考

1、关于当代中学数学教育的几点思考 数学教育是中学教育中非常重要的组成部分，对于培养中学生独立思考能力、分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力、计算能力、空间想象能力等都是非常重要的，是“素质教育”的内涵之一。随着社会的发展，由于社会需要，数学及其应用和数学在新技术中的作用等方面有了很大的变化，人们对数学教育的要求也越来越高。为了适应这种要求，新一轮的数学课程改革已全面启动，高中数学实验教材已在全国大部分省试用。2003年4月，教育部新颁发的普通高中数学课程目标（实验）（以下简称新课标）正式出版发行。这部规划我国新世纪高中数学教育发展蓝图的纲领性文献，从课程理念，到课程框架，到课程内容，无不透溢出

2、一股浓郁的时代气息，变化之大令人震撼。在保持我国数学教育优良传统的同时，力求改变目前数学课程及其实施过程中的某些“繁、难、偏、旧”的状况。但是执行新课程标准的人数以万计，我们必须统一认识，为我国中学数学教育发展，为培养新一代人才而达成共识。1关于课程标准的思考课程标准是左右一代人的数学素质的行动性纲领，不可不高度重视，不可不认真制订，不同的课程标准培养出不同的人。可以说课程标准是指挥教材编写、教师教学、学生学习、社会和家长形成数学教育观念的魔棒。在教育普遍受重视的今天，课程标准的制订更是关乎一代人的成长与发展的最重要的纲领性文件。我国现行的课程新标准较以往的课程标准，显然是先进了不少，新课标的

3、数学内容与过去相比有较大变化：在内容的知识体系方面有增有删，在学习要求方面有升有降，在内容的结构组合方面有分有合。在现行的高中数学教学大纲中，对教材主要作了六个方面的调整：增、删、升、降、限、移。11增  新课标增加了许多教学内容，但这些内容绝大多数都是选修内容。主要有：（1）增加了一些数学应用题和数学常识；（2）增加了“数学建模”、“数学文化”、“探究性课题”；（3）必修课中增加了算法初步、统计；（4）选修课中增加了推理与证明、数学史选讲、框图、信息安全与密码、球面上的几何、对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充、矩阵与变换、数列与差分、初等数论初步、优选法与

4、试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数。12 删  新课标删的内容比较少，主要是一些要求较高的、非基础性的内容：选修课中的极限（其中数学归纳法与数学归纳法举例除外）。13 降  降低了某些数学项目中偏高的要求。主要有：函数，立体几何初步，不等式。14 升  教学要求有所提升的主要内容有：计算机技术的应用和函数与方程的联系，简单空间图形的视图，棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，空间直角坐标系等。15 限  限制了某些题目的深广度，在曲线与方程部分，

5、限制了求轨迹的难度。16 移  相对前面五方面来说，移的部分比较多。主要有以下几类：（1）部分教学内容必修与选修的调整；（2）部分教学内容知识点的调整；（3）在原有教学内容中某些知识点所在位置的调整；（4）在原有教学内容中某些知识点教学要求的调整。总的说来，在新课标中，加强的内容有：（1）知识的实际背景；（2）知识的直观感知；（3）计算器和计算机的运用；（4）收集、整理、分析数据的能力。削弱的内容有：（1）淡化繁杂的计算；（2）降低逻辑推理的要求。但是，课程新标准也存在一些问题，如从实践的角度考虑，如何解决“个体化教学”与班级授课制这一现实之间的矛盾。课程标准的制

6、订应是一个长期的探索的过程，不可能几个专家一挥而蹴，要反复实践，不断修改，不断更新，以适应新时期发展。2关于教材编写的思考教材为学生的学习活动提供了基本的线索和工具，是实现课程标准、提高数学素质、实施数学教学的重要资源。北师大版数学课标教材作为新教材的代表，以其鲜明的特色在全国各地得以推广试用。下面本文将从教材设计的各个方面对北师大版数学课标教材（以下简称教材）进行研究，揭示其设计的独到之处。21 教材的内容选择教材在内容的选取上充分体现了新标准提出的新理念。主要反映在如下几方面：211 突出“精简实用”联系实际重应用，是教材内容选取的一大特色。教材的内容包括数与代数、空间

7、与图形、概率与统计、实践与综合运用几个方面。这些数学内容的学习无论是在“知识与技能”、“数学思考”、“解决问题”等领域，还是在“情感与态度”的范围都是必不可少的。从具体素材的选取上，教材也突出“实用”二字。例如所有数学知识的学习，都力求从实际出发，以学生熟悉或感兴趣的现实问题情景展现学习主题，将现实问题与数学知识联系，使学生在问题解决的过程中获得有价值的数学知识，掌握解决问题的技巧和方法。212 强调“返璞归真”教材在内容选择上强调返璞归真。将整体的数学、现实的数学、紧密联系的数学呈现在读者眼前。这在以下几个方面表现最为明显：第一，教材内容是代数、几何、概率几科的基础部分恰当配合的整

8、体，打破了以往教材以代数、几何为主的局面，把数学真实、质朴的整体面目展现给学生。第二，适当增加应用数学的内容。数学源于实践和生活，又应用于生活。应用数学内容的适当增加将数学与生活紧密联系，让学生更真切地感受到数学的价值。第三，突出数学思想和方法。有助于学生从整体上把握数学。22 教材内容的组织和呈现与以往的数学教材相比，教材在内容的组织和呈现方式上有相当大的变化，主要表现在以下几方面：221 以图片、漫画、数学情景或生活实例引出新的学习内容教材在整体上仍然采用“章节”的布局方式，但对于如何引入每一章、每一节的学习内容进行了精心的设计。每一章的首页专门设计了一个章图，这些章图

9、包含了该章主要的学习内容或学习情境，以其悠远的意境引发了学生对将要学习的内容的期待。每一节都以图片、漫画、数学情景或生活实例引出本节主题。222 以栏目为支架组织和呈现教材内容教材的栏目设置大大突破了以往教科书“内容例题”式的格局，以生动活泼的栏目来组织和呈现教材内容。在“章”这一层次，教材以章图、小节、回顾与思考、复习题的形式展现教材内容。章图生动有趣，小节标题新颖独特，回顾与思考简洁明了。在“节”这一层次，编者创设了“想一想”、“议一议”、“做一做”、“试一试”、“读一读”、“随堂练习”、“习题”等栏目。“想一想”用问题的形式引发学生思考、激活学生思维引导学生主动探索；“议一议”

10、引导学生与他人讨论合作、交流见解、探求真知；“做一做”让学生自己动手做数学，在学中做，在做中学；“试一试”鼓励学生大胆猜测、努力尝试、认真验证，培养学生的创新能力，提高学生的科学素养；“读一读”介绍更多数学知识和数学史实，拓宽学生的知识面；“随堂练习”当堂反馈，帮助学生及时考查自己的学习效果；“习题”则帮助学生巩固、加强新知识。223 采用“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的模式展开教材所有新知识点的学习都以相关问题的研究为开始，努力采用“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的模式展开。从问题情境的研究开始，逐步引导学生走近数学知识，将具体问题数学化，建立数学模型，引出数学知识。在此

11、基础上，通过“做一做”、“议一议”等小栏目，将新知识用于解决新问题。同时，通过开展研究性的“课题学习”，或是一些开放性的习题，将新知识进一步拓展。这样的设计给学生提供了实践、探索、思考、交流的充分时间和空间，让学生经历知识的形成和应用的过程，自主学习、主动探索和发现，为学生创新能力、实践能力的提高，以及终身可持续发展奠定了良好基础。224采用丰富多彩的图片呈现大量信息作为传播信息的一种重要载体，图片在教材中的地位已经不再是原来意义上的“点缀”，而是与文字一样成为教科书的重要组成部分。从整体上看，这些图片情景交融，形象生动，直观全面地展现了数学中的美，使教科书的人文性、艺术性和科学性同时得到了充

12、分体现，有助于学生开阔视野、领悟更多的数学道理。225 用混编方式编写教材在代数、几何、概率等各部分数学内容的编排上，教材打破了以往代数、几何、概率各作一大块单独编写的模式，用混编方式将各部分内容打散，分散在不同的章节介绍。这种混合式的编排有利于学生认识数学的多样性和统一性，有利于各种数学思想的相互渗透。23 总结与归纳从教材设计的各方面来看，北师大版数学课标教材都有自己的独到之处。其丰富多彩的教材素材、别具一格的设计立意、新颖独特的设计方式都值得其他教材设计者学习。当然，作为一套刚刚起步的实验教材，北师大版数学课标教材也存在很多问题。例如内容情景过多过杂、内容编排不尽合理

13、、章节衔接不够紧凑等。但我们深信，在不断探索、反复实验的过程中，存在的这些问题都会一一解决。在所有关心教育、关注教育的各界人士的共同努力下，我们会看到更科学、更理想的教材问世。3关于教师教学的思考数学教学是数学活动的教学，是数学思维过程的教学，是师生之间、同学之间交往互动与共同发展的过程。本人认为，在素质教育思想指导下的中学数学教学可以从以下几个方面入手：31 优化概念教学，面向全体学生，因材施教，创造性地进行教学概念教学是数学学习的核心，但概念教学极易教成枯燥乏味。究其原因，关键在于概念教学教师往往习惯于照本宣科，教学缺乏创新精神。纠正的办法之一就是教师讲授新概念时，应在创设新颖情

14、境，增强学生好奇心上狠下功夫。好奇心是思维的起点，兴趣是思维的内动力，应在学生好奇心和有兴趣的基础上，把概念形成的过程及合理性展示给学生，让学生自己得出概念的定义。例如，在讲解椭圆定义时，可先提出一个实际问题：要在一块长30米、宽26米的长方形空地的中间设置一个水池，要求池边是一条光滑曲线，并且长方形空地的四边中点到水池边缘的最近距离均为10米，使水池具有对称美。问水池的形状应该是怎样的几何图形？如何在地面上画出？要准备些什么工具？这样一问，激发了学生的好奇心，促使学生积极思考，进一步提示学生自己动手做实验：取三条长度不等的没有弹性的细绳，绳长各为“等于”、“小于”、“大于”两定点间的距离。要

15、求学生分别观察并画出各自的图形。再在操作实验的基础上，由学生用自己的语言总结出椭圆概念，学生感觉直观、轻松、有趣，既牢固地理解和掌握了概念，又增强了学生的应用意识与创新意识，教学效果远比照本宣科教条式灌输好。32强化公式教学公式教学是概念教学的继续，是解题教学的基础。对概念理解的深刻性和完备性及解题能力的开发和提高，都与公式教学密切相关，因此，公式教学是数学教学的重要环节。321 善于类比，发挥联想，导出与推证公式类比是对两个研究对象进行比较，寻求他们内在联系，从而发现新规律的思维活动。公式教学要善于引导学生通过新旧知识类比，去展开学生联想的翅膀，掌握公式的结构特点，成立条件，应用范

16、围，可能有的变形和推广以及它的灵活证明。例如三棱锥体体积公式 ，它的导出与证明就可与三角形面积公式进行类比。类比把三角形补成一个平行四边形的割补思想，求三棱锥体积也可把它先补成一个三棱柱，再分割成三个等积的三棱锥，由 立得 。322 大胆质疑，敢于猜想，灵活运用公式牛顿说：“没有大胆猜想，就做不出伟大的发现”。公式教学中重视设疑提问，要鼓励学生大胆质疑，这对深化公式的思考和分析，调动学生思维的积极性都极有好处。例如余弦定理 ，通常可解决“已知三边求角”和“已知两边和夹角求第三边”两类问题。难道它只能解决这两类问题吗？除了正用、逆用还有其它变式用

17、法吗？通过这一疑问，围绕此公式顿时思维活跃了起来，很快得出还可以解决“已知两边和其中一边对角求其它元素”这类问题；还可以变式进行运用，如c2=a2+b2-2abcosC可以变化为sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC 从而可便捷地解决一些相关的问题。例1  求sin220°+cos280°+ sin20°cos80°的值 （1992年全国高考题）.解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150° &

18、#160;           =sin2150°=  .        ( 因为20°+10°+150°=180°)例2  求sin220°+cos250°+sin20°cos50°之值（1995年高考题）.解：原式=sin220°+sin240°

19、-2sin20°sin40°cos120°             =sin2120°=  .        ( 因为20°+40°+120°=180°)通过对公式的质疑激活它的运用功能，使学生在学习公式的过程中，思维得到拓展。33 深化解题教学，培养学生良好的思维品质

20、和创新思维 解题是对概念和公式的运用，是发展学生思维的一种主要形式。为此，解题教学应特别注意以下几点：331 注重一题多解一题多解可以训练学生发散性思维，是鼓励学生标新立异，广寻解题途径，善作知识沟通，培养创新、求异思维的有效手段。 例3 已知复数z 、z 满足 = =1,且z +z = ，求z 、z 的值。（1995年高考题）解法1：由共轭复数的定义和性质：        因为

21、0;= =1，所以 .             又 z +z = ，有   ，所以  于是      .利用韦达定理求得，这两个复数为：1与  .解法2：由复数的共轭性可推得：         

22、60; z +z = ，于是  2=(z +z )( )=1.         因为  = =1，有  ，        互为共轭，故 的实部均为- .又 因为   所以 的虚部与- 的平方和为1，推得 的虚部等于

23、60;，所以 =-  I .又z = .z =(  i) z   ,          (1)z +z =   ,                   

24、0;    (2)将(1)代入(2)可求得这两个复数。解法3：转化为复数三角式法求解。           设z = ,z =  ,由复数相等定义可得：          sin  ,         

25、0;                (1)              ,                   

26、        (2)则由(1)2+(2)2 可得  ，于是 从而可求 ，即得z 、z 。解法4：由z +z = ，联想复数的加法几何意义，转化为平行四边形对角线与两邻边的关系：因为  = = =1，arg(z +z )= ,所以由z 、z 、z +z 所对应的点分别为A、B、C知 COA和 BOC均为正三角

27、形，故可求出这两复数。本例通过思维的多角度变换，给出了数形结合的多种证法，使“虚与实对立又统一”的转化关系得以一一显露。这充分说明，对一个题的多解探究对提高学生综合运用知识的能力，培养良好思维品质，训练创新思维，远比满足于一题单解要好。332 注重一题多变引导学生将熟悉的习题和新问题进行对比、观察、联想，从而找出问题的内在联系和规律。这样使学生不但善于单向思考，而且善于多方位思考。例4 比较 与 （a>0,a 1,t>0）的大小。(1988年全国高考题)变化1： 把上例后式中的 写成1 ，将例题中的1变为

28、0;， 变为 ，则得到下题：已知函数 ,若 、  ，试判断 与 的大小，并加以证明。（此即1994年全国高考文科题）变化2 ： 把上例后式中的 写成1 ，将例题中的1变为 ， 变为 ，以 为底的对数换成正切函数，则得到：设， ,若 、  ，且   ，证明 。（即1994年全国高考理科题）333 注重条件的变式代换条件变式的灵活掌握与运用，对于新旧知

29、识的融会贯通，促使学生自觉形成知识体系，善作灵活换位思考，加快解题速度也十分有效。例5 “在 中，三边 成等差数列”作为一个题目的条件，就可作多种变式代换。        因为在 中，三边 成等差数列，所以     ；                 

30、;             （1）   ；                             （2）   

31、0;；                 （3）因为   ，于是                     ；       

32、               （4）  ，   ；                     （5）  ；     

33、60;                            （6）   ；                  

34、;               （7）      在不同的题目中，这个条件可以用（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）中的一种所代换。对于解题教学，强化这方面的探究，也是培养学生优良思维品质与创新意识的有效手段。总之，新课程标准下数学教学过程，对教师和学生都提出了新的要求。面对新课程,教师应以全面培养学生的素质为目的，要在数学教学过程中充分理解新课程的要求，要树立新形象，把握新方法，

35、适应新课程，把握新课程,掌握新的专业要求和技能学会关爱、学会理解、学会宽容、学会给予、学会等待、学会分享、学会选择、学会激励、学会合作、学会创新。这只有这样，才能与新课程同行，才能让新课程标准下的数学教学过程更加流畅。4关于数学教学评价的原则和类型的思考教学评价是在教学过程中有目的地观察、测定学生在学习过程中的种种变化，根据这些变化对照教学目标、教学效果、学生的学习质量及个性发展水平，运用科学的方法作出价值判断。进而调整、优化教学进程 的教学实践活动。它主要包括：教学过程的评价、学习活动的评价及教学效果的评价。 41 数学教学评价的原则 数学教学评价应遵

36、循以下几项原则： 411 科学的全面性原则 数学教学评价要以全日制义务教育数学课程标准为依据，严格按照已确定的教学目标进行客观评价。对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。根据学生的实际，分层次，分阶段（教学环节）确定客观标准。这个标准要全面、具体，既有学习评价，又有能力技能评价；既有情感评价，又有思想道德评价；既有学习结果评价，又有学习过程的评价。 412 过程的教育性原则 过程的教育性原则强调在教学的每一重要环节

37、，针对每一个可教育的内容，通过设定目标，用目标的到达度去实现。作为某一整体的教育价值判断，要依据在每个学生身上所体现出的教育成果，主要看每一个学生的数学素质的提高幅度。这就要求评价者和被评价者随时把握学习中发生的变化。有那些成功的做法需要巩固和提高，有那些不足之处需要及是纠正和改进等这些都是在过程评价中需要解决的问题。 对于程度不同的学生，在共同提高的基础上，还要体现因人而异的差别，根据个人在集体中所处的不同位置，采取不同的评价方法。例如，采用推迟判断的作法：如果学生对自己某次测验的情况不满意，可以鼓励他们重新解答或获得再次考试的机会，这样做尊重了学生之间的个体差异，突出反映了学生的

38、纵向发展。 413 实施的可行性原则     教学评价是实践性很强的科学，他的价值在于可实施、可操作。 这一原则要求在对学生进行数学教学评价时，其内容的标准应明确、具体，不能含混不清或不可捉摸，要求有统一的评价指标，保证被评价内容的可测性的公平性，要简化评价程序，以便广大教师都能使用。要把评价与教学有机地结合起来，教学活动中进行评价时，要善于对学生的微小变化做出鼓励性评价，用发展、成长的眼光去评价我们的学生，因为他们在成长发育时期可塑性很强。  414 反馈与调节原则 教学评

39、价实际是把教学效果和教学目标作比较而得出的判断，但这种判断并不是目的，而是一种手段。在教学过程中，不断进行比较和判断，并把获得的结论不断地反馈于教学过程，以调节教学最终改进教学。评价中的反馈与调节可在设定教学目标设计教学进行教学实践教学评价修正教学目标、方法-这样一个系统中进行。 42 教学评价的类型 教学评价的类型，按其价值标准分，可以分为绝对评价、相对评价和自身差异评价；按其功能分，可以分为诊断性评价和终结性评价；按其评价性质分，可以分为定性评价和定量评价。 由于教学内容、教学要求不同，教学评价的角度、侧重点也应有所区别。根据教学评价的侧重点和方式不

40、同，现将在教学实践中的几种常见的评价方法归纳如下：421 提诊断性评价 就是对学生学习新知识时原有的知识准备情况进行评价，便于及时补偿。例如，在二次根式时，给出了下列诊断性测试题：(1) 对于 ，这几个式子各部分的名称是什么？式子表达的意义分别是什么？ (2) 一定有意义吗？     通过诊断性评价可检验学生的知识基础和教学过程设计的可行性，分析教学方法对学生实际的适合程度，对后续教学进行适当调整。 422 教学过程中形成性评价 对“掌握”层次要求的知识，可以通过形成性评价来完成。例如：在“弦切角”教学中，他的终极目标是“