5-4-4-完全平方数及应用教师版

1、1. 5-4-4.完全平方数及应用（一）战帷教学目标学习完全平方数的性质；整理完全平方数的一些推论及推论过程掌握完全平方数的综合运用。1. 耳twik知识点拨一、完全平方数常用性质主要性质1. 完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,乙8。2. 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3. 完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4. 若质数p整除完全平方数a2,则p能被a整除。2. 性质性质1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9.性质2:完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数.性质3:自然数N为完全平方数

2、自然数N约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且p2n1|N，则2np|N.性质4:完全平方数的个位是6它的十位是奇数.性质5:如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数.如果一个完全平方数的个位是5,则其十位-定是2,且其百位-'定是0,2,6中的一个.性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数.3. 一些重要的推论1. 任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2. 一个完全平方数被3除

3、的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3. 自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。4. 完全平方数个位数字是奇数（1,5,9）时，其十位上的数字必为偶数。5. 完全平方数个位数字是偶数（0,4）时，其十位上的数字必为偶数。6. 完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7. 凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个"（的自然数不是完全平方数；个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾

4、：平方差公式：a2b2(ab)(ab)目NMI医例题精讲模块一、完全平方数计算及判断【例1】已知：1234567654321X49是一个完全平方数，求它是谁的平方？【考点】完全平方数计算及判断【难度】2星【题型】解答【解析】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121=112;12321=1112;1234321=11112，于是，我们归纳为1234n4321=&1卅*)2,所以，1234567654321:11111112;则,123456765432149=1111111272=77777772.所以，题中原式乘积为7777777的平方.

5、【答案】7777777【例21234567654321(12345【考点】完全平方数计算及判断【难度】【关键词】祖冲之杯2【解析】12345676543211111111,12一22原式(11111117)7777777.【答案】7777777672星34655 432【题型】填空6 7651）是的平方.-，一243217,【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。【考点】完全平方数计算及判断【难度】【关键词】学而思杯，6年级，第9题【解析】(法1)先将12!分解质因数：12!3星2。35【题型】填空52711,由于12!除以n得到一个完全平方数，那么这个完全平

6、方数是12!的约数，那么最大可以为2103452,所以n最小为12!21034523711231。(法2)12!除以n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的藉次是奇数，所以n的最小值是3711231。【答案】231【例4】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】平方数的末尾只能是0,1,4,5,6,9,因为111,444,555,666,999都不是完全平方数，所以所求的数最小是4位数.考察1111,1444可以知道14443838,所以满足条件的最小正整数是1444.【答案

7、】1444【例5】A是由2002个“4组成的多位数，即七冲，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B;20024如果不是，请说明理由.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】A44gk'222002，4如果A是某个自然数的平方，则2002T1岫20021也应是某个自然数的平方,并且是某个奇数的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数,而3仲1J仲0不是4的倍数，矛盾，所以A不是某个自然数的平方.2002120011【巩固】A是由2008个4”组成的多位数，即'4U,A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B;如200髀4果

8、不是，请说明理由.【考点】完全平方数计算及判断【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不是.A44221111假设A是某个自然数的平方，则20q8T420脚1也应是某个自然数的平方，并且是某个奇数的平方.由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，而10不是4的倍数，与假设矛盾.所以A不是某个自然数的平方.白翊|=AXA,求A.【考点】完全平方数计算及判断【解析】此题的显著特征是式子都含有【难度】4星【题型】解答,从而找出突破口.U1222呼=010QQ4|o2004个11002个2100爵11002T01Oo2t1=111胆X（1000川0-1）1002110020=3胆成

9、（哗件）1002个110。2个9=U1gpx3四W彳）=A1002110q21所以，A=333川310023【答案333，卅31002'3A2，求A为多少？【例7】求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005?【考点】完全平方数计算及判断【难度】4星【题型】解答【解析】本题直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推（找规律）的方法来求解:注意到有,其中n=2004;履硼茹神89可以看成2004'个420038»2有497;2有448967;2有4448896672寻找规律：当n=1时,当n=2时,当n=3时,于是，类推有半册邮胛=6672004个42

10、003个82003个6方法二：下面给出严格计算：+1则华牌!皿助+瓯邵8+i=qgp200那42004叩02004t820041X(4乂1000川02004¥0+8)+1由知于是数字和为解得n=167,所以=(=(、2一-)X36+12X4X('99p+1)+8:+1X4X('99p)+12:+12004'个9«皿+120041)2X36+2X(6扬狎2004个6=(1)222003个6)+1(4n+8n-8+9)=12n+1;令12n+1=2005?O所以存在这样的数，是【答案(1)'661672,(2)444卅4888、川89166，82

11、0036167V4166V816IT6模块二、平方数特征平方数的尾数特征【例8】下面是一个算式：112123123412345123456,这个算式的得数能否是某个数的平方？【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛5, 【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少.平方数的个位数只能是0,1,4,6,9,而2,3,7,8不可能是平方数的个位数.这个算式的前二项之和为3,中间二项之和的个位数为0,后面二项中每项都有因子2和5,个位数一定是0,因此，这个0算式得数的个位数是3,不可能是某个数的平方.【答案】不是【例9】一个数与它自身的乘积称为

12、这个数的平方.各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有个.【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第10题【解析】4914925,1,2,3,5全排列共有24个。【答案】24【例10】用19这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数.那么，其中的四位完全平方数最小是.【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复试，11题【解析】四位完全平方数>1234352=1225，所以至少是362=1296.当四位完全平方数是1296时，另两个平方数的个位只

13、能分别为4,5,个位为5的平方数的十位只能是2,但数字2在1296中已经使用.当四位完全平方数是372=1369时，另两个平方数的个位只能分别为4,5,个位为5的平方数的十位一1369.样只能是2,还剩下7,8,而784恰好为282.所以，其中的四位完全平方数最小是【答案】1369【例11】称能表示成1+2+3+K的形式的自然数为三角数，有一个四位数N,它既是三角数，又是完全平方数,N=。【考点】平方数特征之平方数的尾数特征【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第14题【解析】N=kx(1+k)/2=mA2,4位数的话2000<=kx(k+1)<20000,45&

14、lt;=k<=140,k=2nn*(2n+1)=N。n与2n+1互质，所以要均为平方数。平方数末尾149650。满足要求的是4950。23<=n<=70发现没有：k=2n-1,nX(2n-1)=N同上，满足要求是1650找到25所以k=49,N=1225,m=35。【答案】1225奇数个约数指数是偶数【例12】在224,339,4416,5525,6636,等这些算是中，4,9,16,25,36,叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第4题，5分【解析】45>45=

15、2025;44M4=1936，所以最大的是1936.【答案】1936【例13】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】解答【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23籽2迅所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=43>2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数，所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数，

16、反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数.由以上分析知，我们所求的为360630之间有多少个完全平方数？18刈8=324,1919=361,2525=625,2626=676,所以在360630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252.即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625.【答案】361,400,441,484,529,576,625【例14】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空342【解析】先将1016分解质因数：10162

17、127,由于1016a是一个完全平万数，所以至少为2127,故a最小为2127254.【答案】254【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】2星【题型】填空【解析】3528233272,要使3528a是某个自然数的平方，必须使3528a各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a为2可以使3528a是完全平方数，故a至少为2.【答案】2【例15】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3星【题型】解答【解析】完全平方数，其所有质因数必定成

18、对出现.而722332266,所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于2313119222008232322048,所以212、222、2312都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个.【答案】31【例16】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，贝Un的最小值是。【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级【解析】(法1)先将12!分解质因数：12!2103552711,由于12!除以n得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为2103452,所以n最小为_10一4212!2353711231。(法2)12!除以

19、n得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3、7、11的藉次是奇数，所以n的最小值是3711231。【答案】231【例17】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】填空【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的.设中间数是x,则它们的和为5x,中间三数的和为3x.5x是平方数，设5x52a2,则x5a2,3x15a235a2是立方数，所以a2至少含有3和5的质因数各2个，即a2至少是225，

20、中间的数至少是1125,那么这五个数中最小数的最小值为1123.【答案】1123【例18】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】解答【解析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子.设这个数分解质因数之后为2a3b5c,由于它乘以2以后是完全平方数，即2a13b5。是完全平方数，贝U(a1)、b、c都是2的倍数；同理可知a、(b1)、c是3的倍数，a、b、(c1)是5的倍数.所以，a是3和5的倍数，且除以2余1;b是2和5的倍数，且除以3余2;c是2和3的倍数，且除以5余4.可以求得

21、a、b、c的最小值分别为15、20、24,所以这样的自然数最小为215320524.【答案】215320524【例19】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为美妙数问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】60345是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60.任何三个连续正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3.若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4.另外，由于完全平方数的个位数字只

22、能是0,1,4,5,6,9,若其个位是0和5,则中间的数能被5整除；若其个位是1和6,则第一个数能被5整除；若其个位是4和9,则第三个数能被5整除.所以，任何美妙数必有因子5.由于3,4,5的最小公倍数是60,所以任何美妙数必有因子60,故所有美妙数的最大公约数至少是60.综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60,又至少是60,所以，只能是60.【答案】60【例20】考虑下列32个数：1!,2!,3!,，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为个完全平方数，划去的那个数是.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】填空【解析】设这32个数的乘积为A.A1!2!3!川

23、32!(1!)22(3!)24川(31!)232(1!3!川31!)2(24川32)(1!3!川31!)221616!,所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数.另外，由于16!1615!，而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意.【答案】16!或15!,答案不唯一【例21】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少?【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】解答【解析】设该数为PFP2%川Pn"，那么它的平方就是P12a1P22a2川Pn2an因此2a112a21|2an139.由于39139313,所以，2a113,2a2113，

24、可得a11,a26；故该数的约数个数为116114个；或者，2a1139,可得a119,那么该数的约数个数为19120个.所以这个数的约数个数为14个或者20个.【答案】14个或者20个【例22】有一个不等于0的自然数，它的1是一个立方数，它的1是一个平方数，则这个数最小是.【考点】平方数特征之奇数个约数【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第9题，5分【解析】设为2a3bc(c为不含质因子2,3的整数)，则它的1是2a13c是立方数,所以a1是3的倍数，b是3的倍数，另外它的1即2a3b1c是一个平方数，所以a是偶数，b是奇数，符合以上两个条件的a3的最小值为4,b的最小值

25、为3,这个数最小为432.【答案】432平方数的整除特性【例23】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为美妙数”。问所有的小于2008的美妙数”的最大公约数是多少？【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第11题，10分【解析】任何三个连续正整数，必有一个能为3整除.所以，任何美妙数”必有因子3. 若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数”必有因子4. 完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0,若其个位是5和0,则中间的数必能被5整除，

26、若其个位是1和6,则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除.所以，任何美妙数”必有因子5. 上述说明美妙数”都有因子3、4、和5,也就有因子60,即所有的美妙数的最大公约数至少是60.60=3X4X是一个美妙数”，美妙数的最大公约至多是60.所有的美妙数的最大公约数既不能大于60,又至少是60,只能是60。【答案】60【例24】证明：形如11,111,1111,11111，的数中没有完全平方数。【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】由于奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1,偶数的平方能被4整除.现在这些数都是

27、奇数，它们除以4的余数都是3,所以不可能为完全平方数.【例25】记S(123川n)(4k3),这里n3.当k在1至100之间取正整数值时，有个不同的k,使得S是一个正整数的平方.【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】3星【题型】填空【关键词】少年数学智力冬令营【解析】一个平方数除以4的余数是0或1.当n4时，S除以4余3,所以S不是平方数；当n3时，S4k9，当k在1至100之间时，S在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：52,72,92,112,132,152,172,192，其中每1个平方数对应1个k,所以答案为8.【答案】8【例26】能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意

28、两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由.【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】因为偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1,因此任一正整数的平方n2被4除余0或1.假设存在四个正整数几、n-使得ng2002m2(i,j1,2,3,4,ij).又2002被4除余2,故nn被4除余2或3.若几、山、山中有两个偶数，如几、%是偶数,那么n是4的倍数，nn2002被4除余2,所以不可能是完全平方数；因此几、山、1中至多只有一个偶数，至少有三个奇数.设几、n2、山为奇数，为偶数，那么ni、8、n3被4除余1或3,所以n、f、W中至少有两个数余数相同.如1、被4除余数相同，同为1或3,那么nin2被4除余1,所以nin22002被4除余3,不是完全平方数；综上，nnj2002不可能全是完全平方数.【例27】135川1991的末三位数是多少？【考点】平方数特征之平方数的整除特性【难度】5星【题型】解答【解析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于135川991的平方再乘以993995997999的末三位.而99399599799999399999599799300099399500099