立体几何中的向量方法三

1、3.2立体几何中的向量方法(三)【学习目标】1.理解直线与平面所成角的概念2能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题3体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲.问题导学知识点利用空间向量求空间角思考1空间角包括哪些角？答案线线角、线面角、二而角.思考2求解空间角常用的方法有哪些？答案传统方法和向量法.梳理空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为。，b,且。与力的夹角为夕，两条直线所成角为仇a-b则cos8=跑"=前面(2)线而角：设为平面a的一个法向量，。为直线的方向

2、向量，直线"与平面a所成的角为仇则(y,当。，£0,勺,(。，n)甘，当a,n)£(兀.二面角的求法：转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).如图所示，二面角。一/一£的大小为6,A,BWhACUa,AC_L/于A,BO_L/与B,则8=(AC.BD)=(CA.DB).先求出二面角一个而内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.如图所示，己知二而角仁一/一£,在a内取一点P,过P作PO_L£,PALL垂足分别为。，A,连接A0,则AOL成立，所以N以

3、。就是二而角的平面角.先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.题型探究类型一求两条异面直线所成的角例1如图所示，三棱柱Q48-OiA囱中，平面088101，平而OAB,NOQ5=60。，ZA05=90%且0B=001=2,。4=正，求异面直线A山与AOi所成角的余弦值的大小.解建立如图所示的空间直角坐标系，则0(000),Oi(0Jt小),A(W，0,0),4(小，1,小)，8(020),"山=(一小，1,一小)，。0=(诲，1,小).：.Icos瓶IMBMtMl1(一小，1,一小),(小91，一小

4、)|J木.小7异面直线A由与AO1所成角的余弦值为劣反思与感悟在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别.跟踪训练1正方体A8COABCid中，E、E分别是AU、AiG的中点，求异而直线AE与b所成角的余弦值.解不妨设正方体棱长为2,分别取D4,DC,所在直线为x轴，)，轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则42,0.0),C(0,2,0),E(1.0.2),F(l,l,2),则成=(-1,0,2),CF=(1,-1.2),.,.屈=小，I而=加，AECF=-14-0+4=3

5、.又恁G=lAtl*os<AE,CF>=-30cosAE,CF),Acos<AE,CF)=嚅，所求值为曙.类型二求直线和平面所成的角例2正三棱柱ABC-ACi的底面边长为侧棱长为建小求AG与侧面A84所成的角.解建立如图所示的空间直角坐标系,则4(000),8(0,a,0),4(0,0,g),G(一杀人米版,方法一取48的中点则M(0,会曲),连接AM,MG,有疝7尸(一当40.0）,茄=（0,a,0）,AA1=（0,09：.MCiAB=09证1,君1=0,：.MCLAB,.WCilAAi,则MGLAB,MCiLAAi,又ABAAA尸A,，“。，平面48514.ZCjAW是A

6、G与侧面ABBS所成的角.由于危产（一格，冬/JAa/=（o,宗g）,：.ACrAM=0+2a2=,V（ACuAM）G0o,180°,/.<AChAM>=30。,又直线与平面所成的角W，901，AC】与侧面A助Mi所成的角为30°.方法二猫=（0,4,0）,君1=（0。）,AG=（一曰”,巾a）.设侧面A58Ai的法向量=（九y9z）,.n-AB=0且/AAi=0.ay=0且娘az=0.，y=z=O.故=(L0,0).小AGl/dL4Cil/.Icos<AC|,n)l=y乙又直线与平面所成的角£0°,90T，AG与侧面所成的角为30&#

7、176;.反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.跟踪训练2如图所示，己知直角梯形A8CO,其中A8=3C=24Q,ASJ_平而ABC。，AD/BC,ABLBC,且AS=A8.求直线SC与底而A8CO的夹角8的余弦值.解由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AO.A&AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).设A8=l,则4(0,0,0),5(0,1,0),C(l,L0),4;,0,0),5(0,0,1).,花

8、=(0.0.1),C5=(-h-L1).显然杰是底面的法向量，它与已知向量A的夹角6=90。一仇.八八ASCS1J3故有sin=cos=-7=-IASIICS1乂3.VG090,cossin2=.类型三求二面角例3在底而为平行四边形的四棱锥P-ABCO中，ABLAC,以，平面A8CQ,且%=A8,E是尸。的中点，求平面EAC与平而ABCD的夹角.解方法一如图，以A为原点，分别以AC,AB,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设出=A8=mAC=，连接3。与AC交于点O,取A。中点F,则。(h0,0),B(0,«0),BA=CD.，。(，一4,0),尸(0,0,4),OE

9、=(0,9AC=(b.O,O).vdkXc=o,/.OE±AC,OF=BA=(0,一米0),OFAC=0.：.OF±AC.：.NEOE等于平面EAC与平面ABC。的夹角（或补角）.cosBe、of="正-=乎.OEOFy'，平面EAC与平面A8CQ的夹角为45。.方法二建系如方法一，用"1_平而"CD,，成=（0.0,为平面ABCD的法向量,元=(40.0).设平面AEC的法向量为m=（x,y,z）.叱号。,付一一6x=0.，x=0,y=z,，取i=（0,l/），,;、fn-APay2cos5i,AP）=-7=.I/hILAPI2，平面

10、AEC与平面ABCD的夹角为45°.反思与感悟（1）当空间直角坐标系容易建立（有特殊的位置关系）时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小（相等或互补），但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.（2）注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.跟踪训练3若B4_L平面ABC,AC±BC.PA=AC=,BC=小,求二面角AP8C的余弦值.解如图所示建立空间直角坐标系，则A(0.0,0),8(陋，1.

11、0),C(0.1,0),P(OOl),故而=(0.0.1),魂=(也，1,0),嘉=(巾,0,0),CP=(0,-14),设平面以B的法向量为m=(x.y,z),m-AP=Q.f(x,y,z)(0,0,1)=0,m.AB=0限W"(0,1,0)=0,z=0,、港a+)=0,则y=一近，故zw=(l,一5，0).设平面P8C的法向量为=(xr,y'，z),宿=0,)/，z),(碑，0,0)=0,则3=>1'n，cp=Q1(，V，z，)(o,-i,i)=oJgj=0,l-yz+z，=0.令y'=-1,则z'=1,故=(0,-1,1),/迫cos5,而

12、=丽=早又丁二面角APBC是钝二面角，.二面角APBC的余弦值为一坐.当堂训练1.在一个二面角的两个半平而内,与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,L3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为()B.华D半或-半A足A6c应答案D物圻占(°，一1，3)(2,2,4)解析由一j=1Jl+9X4+4+16_-2+12V15一回又用一6，知这个二面角的余弦值为隼或一等,故选D.2 .在正三棱柱ABC-AiB中，已知A8=1,。在棱8以上，且BD=1,则AD与平而AAiCiC所成角的正弦值为()A*B.邛C回D.亚答案A解析取AC的中点为E,连接8E,则BEL4C,建立如图所示的空间直角坐

13、标系，则4坐0),0(0,01)，8(0.09),E咨,00),;平面ABCLL平面A4GC,平面A8CA平面A4iGC=AC,BEA.AC,5EU平面ABC,，8£_1_平面从4。(7,0.0)为平面/UCC的一个法向量.设AD与平面A4CC所成角为a,_3Vcos历，BE>=一、=一半,小当又曾£0,.，sina=lcos(AD,BE)1=*.3 .已知在正四棱柱ABC。一中，A4=24&则CO与平面8。所成角的正弦值是()A.|B芈C坐答案A解析以。为原点，分别以反，DC.而i的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设A4=2A8=

14、2,贝8(1,10),C(O1.O),0(000),C】(0,l,2),故协=(1。)，虎产(0,1,2),5t=(0,1,0),设平面80G的法向量为=(x,y,z),n-DB=0,叫_nDCi=0.x+y=0,了+2z=0,令z=l,则y=-2,x=2,所以=（2,-2,1）.sin=lcos，DO1=uDd2=3Inl-IDCI4.正A3C与正BCD所在平面垂直，则二面角A-8。一。的正弦值为答案p/5解析取8。的中点O,连接AO,DO、建立如图所示的空间直角坐标系，设8c=1,则A(0.0,0,0).3(0,0),所以昂=(0,0,*),BA=(0,5,设直线CD与平面BOG所成的角为

15、仇祐=泻,0).殖=（0.0,乎）为平面BCQ的一个法向量.由于丽=（0,I，坐），应）=（坐，0）.设平面从8。的一个法向量为=（x,y,z）.n-BA=O.则s所以=（1,一®1）,取刀=1,则y=一小，z=l,亚L21s所以cos（，OA）=-7=-=华当邓因为，OA>£0,句,所以sin5.在矩形A8CQ中，AB=,BC="P4_L平而A8CD,M=h则PC与平面A8CO所成的角是.答案30。解析建立如图所示的空间直角坐标系，则尸(00.1),C(l,®0),PC=(1,业-1),平面ABC。的一个法向量为=(0。1),所以cos(PC,、

16、PCII1=-=-2*paii一又因为(PC,n)e01801所以反;=120°,所以斜线PC与平面ABC。的法向量所在直线所成角为60。，所以斜线PC与平面ABCD所成角为30。.(规律与方法)(1)利用法向量求直线4B与平面a所成的角8的步骤：第一步，求平面a的法向量；第二,»步，利用公式sin6=lcos(茄，加|=当曲，注意直线和平面所成角的取值范围为0，901.(2)利用法向量求二而角的余弦值的步骤：第一步，求两平面的法向量；第二步，求两法向量的夹角的余弦值：第三步，由图判断所求的二面角是锐角、直角，还是钝角，从而下结论.在用法向量求二而角的大小时应注意：平面的法

17、向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.40分钟课时作业强化训练拓展提升一、选择题1.若直线的方向向量与，2的方向向量的夹角是150。，则与/2这两条异面直线所成的角等于（）A.30°B.150°C.30。或150。D.以上均错答案A解析异面直线所成角的范围是（0。,90。,所以八与A这两条异面直线所成的角为180°-150°=30°2.已知两平而的法向量分别为机=（0.1,0）,则两平面所成的二面角为（）A.45°B.135°C.45。或135。D.90&

18、#176;答案C解析cosm,n>=丽=不=勺，即0w,n>=45。.所以两平面所成二面角为45。或180。-45。=135。.3.设直线/与平面a相交，且,的方向向量为。，a的法向量为，若。，=牛，则/与a所成的角为（）2兀八兀A.-yB.j一兀-57rC6D-6答案C解析线面角的范围是o,.2it）=犯，./与法向量所在直线所成角为看：.1与a圻成的角为也4 .已知在棱长为2的正方体ABCO-A山1GA中，七是。C的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A丛与所成角的余弦值为（）A曙B.C.yio10D.VTb一5答案A解析A(220),8(2Q2),E(0,1,0),5(02

19、2),，后=(0,-2,2),说=(0,l,2),，脑ii=245,1前1=4,赤丽=02+4=2,Acos(AB9ED)魂毋i_2回LASillEDil2也X于10'.,.AS与Ed所成角的余弦值为嚅.5 .如图所示，已知点尸为菱形ABC。外一点，且用，面ABC。，PA=AD=AC,点尸为PC中点，则二而角。一5/一。的正切值为（）A*D,羊答案D解析如图所示，连接8。，ACOBD=O.连接OF,以。为原点，OB,OC,。尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。町忆.设PA=AD=AC=9则BD=y13.所以8停,0,0）,电,0,；）,C（0,0）,0（一半,0,0）.

20、结合图形可知，沅=（0,0）且次为面88的一个法向量,由诧=(坐,0),两=售,0,一；),可求得面的一个法向量为=(1,小,小).所以cos。1,0C)sin(w,0C)=,所以tan</,0C)6已知矩形ABC。与ABEF全等，。一48一七为直二而角，M为A5中点,FM与BD所成角为仇且cos8=*.则AB与BC的边长之比为()A.1：1B.艰：1C.2：2D.1：2答案C解析设A8=",BC=b,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则相关各点坐标为ES.0.0),M0,0),B(0,%0),0(0,0,b).-*ClFM=(b,J*0)，所以I丽1=7尻+号,I彷l=d

21、42+2,2而丽=一号,IcosFM,整理得，4/+5(，)-26=0,所以BC=b=2.BD=(0,a,/?),二、填空题7.若两个平而a,£的法向量分别是=(1。1)，。=(-1,1,0).则这两个平面所成的锐二而角是.答案60。解析COS（，V）1I历后=一2且，。SO1801,，v>=120。,故两平面所成的锐二面角为60。.8 .如图，平面用平面ABC。，A5CQ为正方形，/力。=90。，且用=AD=2,E,E分别是线段用，。的中点，则异而直线EF与B。所成角的余弦值为.解析建立如图所示空间直角坐标系，则氏0。1),尸(120),8(2,0。),。(0,2.0).彷=

22、(-2,20),故cosEF,BD)69 .在空间四边形OABC中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=则cos51,BC)的值为答案0解析醇比=豆(沆一无)=殖诙一万V五=OA-OCcos-idAlddBIcos卜4南(I亦一丽)=0.一OABCecos0A,BC=0.OA-BC三、解答题10.二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平而内，且都垂直于A反已知AB=4,AC=6,80=8,CO=26，求该二面角的大小.解由条件，知之麻=0,矗丽=0,CD=CA+AB+BD.bP=l以P+篇P+I丽F+2近益+2/S,筋+2为屈=62+42+82+2X6X8cos<C

23、A,BD)=(2亚R/.cos<CA,BD=一；，<CA,BD>G0°,1801,(CA,BD)=120°,二面角的大小为60°.11.如图，三棱柱A8C-48iG中，CA=C8,AB=A4i,ZBA4i=60°.(1)证明:A8J_A】C；若平面"UL平面A4由BA8=C8=2,求直线AC与平面88cC所成角的正弦值.证明如图，取A8的中点0,连接。、40.C|VC4=CB,：.CO±AB,又A4=A8,：.AAi=2AO9又NAp4O=60。，NAQA】=90。，即A8_LA。，又AQnoc=o,，48，平面从1

24、。，4iCU平面4OC,JABLAC（2）解以。为原点，OA所在直线为x轴，Q4所在直线为），轴，OC所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则以1,0,0）,4（0,巾,0）,3（1,0,0）,C（0.0,小）,8（-2,小,0）,则诧=（10,楙,丽产（一1,小,0）,指=（0,一小,诲），!1,BC=09设=a，y,z）为平面38CC的一个法向量，则j_x+yj3z=0、一x+4=0令Z=-1,则x=4，y=l,所以=（小,1,一1）为平面8&GC的一个法向量,所以直线AC与平面B8CC所成角的正弦值sin8=lcos/fit,1=-.12 .如图所示，直棱柱ABC-A山C中

25、,D,E分别是A8,的中点,AA=AC=CB=（1）证明:BG平面4CD；（2）求二面角D-AiC-E的正弦值.证明连接AG，交AC于点F,连接OF,则尸为AG的中点，因为。为AB的中点,又因为ORz平面AC。，8CN平面ACO,所以BG平面AC。解由IAA11=LACI=ICH=坐启81,可设:IABI=2a,则L44I=L4CI=IC8=V,所以AC_L8C,又由直棱柱知CG_L平面ABC,所以以点C为坐标原点，分别以C4,CB,CG所在直线为x轴，y轴,z轴，建立空间直角坐标系如图.则C(OAO),A(y2a,0.yflii),乎”，孝”，0),£(0,也“，坐j,CAi=(0

26、,岛)，加=净,冬，0),=(0,取I,2a,一孝“)设平面AiC£)的一个法向量为=(x,y,z),则西=0且曰=0,可解得y=-x=z,令x=l,得平面AC。的一个法向量为=(1,-1,1),同理可得平面4CE的一个法向量为1=(2，-2),贝Icos，m)=号，又因为(，m>e0180°,所以sin<，m)=卓，J所以二面角D-AC-E的正弦值为半.13 .如图所示，在四棱锥E-A8C。中，平而石4。_1_平面ABC。，DC/AB.BCtCD,EA工ED,AB=4,BC=CD=EA=ED=2.(1)证明：BDLAEx(2)求平面EAD和平而COE所成角(锐

27、角)的余弦值.(1)证明因为8CJ_CQ,BC=CD=2,所以80=2吸，又因为E4_LE。，EA=ED=2,所以AD=2W.又因为/W=4,由勾股定理知又因为平面平面ABC。，平面E4OU平面ABCQ=AO,BDU平面ABCD,所以8OJ_平面E4D又因为AEU平面EA。，所以8OL4E.解如图，取AO的中点。，连接0E,则。E_LAD,因为平面EAO_L平面A8CO,/平面E4OPI平面ABCD=AD,/OEU平面E4D,4所以OE_L平面A8CD取AB的中点F,连接OF,则0F8D因为BO_L4。，所以OF_L4D以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则D（一也0,0）,C

28、（一2小,巾,0）,E（0,0,碑），DC=（-yf2,m，0）,DE=（yf2,0,y/2）.设平面CQ£的一个法向量为i=（x,y,z）,DC«i=0t则'_IdEwi=0.x+y=0,所以Icx+z=0.令x=l,可得平面CDE的一个法向量川=（1，-1）.又平面AOE的一个法向量为/12=（0.1,0）.因此ICOSOh,“21=翳曷=坐所以平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值为坐.3.2立体几何中的向量方法(三)(学生版)【学习目标】1.理解直线与平面所成角的概念2能够利用向量方法解决线线、线而、而面的夹角问题3体会用空间向量解决立体几何问题的三步

29、曲.问题导学知识点利用空间向量求空间角思考1空间角包括哪些角？答案线线角、线面角、二面角.思考2求解空间角常用的方法有哪些？答案传统方法和向量法.梳理空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为跖b,且。与力的夹角为如两条直线所成角为仇a-b则cos6=跑"=而而.(2)线面角：设为平而a的一个法向量，。为直线的方向向量，直线”与平面a所成的角为仇则.-(a,n),当(a,n)e0,刍，(a,n)-.当(a,n)£(.tt.(3)二而角的求法：转化为分别在二面角的两

30、个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向X量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).1如图所示，二而角a-/一£的大小为6，A,B0,ACUa,8OU£,ACJJ于A,BDAJ与B,则6=<AC,BD=iCA.DB).先求出二面角一个而内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.如图所示，己知二面角a一/一£，在a内取一点P,过户作POJ_£,PALI,垂足分别为。，A,连接A0,则AO_L/成立，所以就是二面角的平面角.先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而

31、确定二面角的大小.题型探究类型一求两条异面直线所成的角例1如图所示，三棱柱OAB-O】Ai当中，平面088。，平而OAB,/。8=60。，NAO8=90。，且08=00=2,。4=小，求异而直线45与AOX所成角的余弦值的大小.反思与感悟在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区另L跟踪训练1正方体A8CO-A山中，E、F分别是A。1、4G的中点，求异而直线AE与CF所成角的余弦值.类型二求直线和平面所成的角例2正三棱柱ABC-ACi的底面边长为侧棱长为建小求AG与侧面A84所成

32、的角.反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.跟踪训练2如图所示，已知直角梯形ABCD,其中AB=3C=1W,AS_L平面ABC。，AD/BC,AB1BC,且AS=AB.求直线SC与底而ABC。的夹角6的余弦值./类型三求二面角例3在底而为平行四边形的四棱锥P-A8c。中，ABLAC,也，平面A8CO,且出=",E是P。的中点，求平而E4C与平面A3C。的夹角.反思与感悟（1）当空间直角坐标系容易建立（有特殊的位置关系）时，用向量

33、法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小（相等或互补），但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.（2）注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.跟踪训练3若平而ABC,AC1,BC,PA=AC=,BC=求二面.角APBC的余弦值.当堂训练1 .在一个二面角的两个半平而内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0,L3),(224),则这个二面角的余弦值为()A.乎bTD.<104()A.|B芈C*D娈或-华2 .在正三棱

34、柱ABC-ABCi中，已知A8=1,。在棱8S上，且BD=1，则AD与平面AA.C.C所成角的正弦值为()B邛3 .已知在正四棱柱ABCZ)ASGd中，则CO与平面8OG所成角的正弦值是4 .正A3C与正BCD所在平面垂直，则二面角A-3。一。的正弦值为5 .在矩形力8c。中，A3=l,BC=p,用_1_平而ABC。，PA=,则PC与平而ABC。所成的角是(规律与方法.)(1)利用法向量求直线A3与平而a所成的角6的步骤：第一步，求平面a的法向量；第二步，利用公式sin6=lcos(AB,n)|=3"，注意直线和平面所成角的取值范围为0，90。.IA疥川(2)利用法向量求二而角的余弦值的步骤：第一步，求两平面的法向量；第二步，求两法向量的夹角的余弦值：第三步，由图判断所求的二面角是锐角、直角，还是钝角，从而下结论.在用法向量求二而