第二章 液体静力学

1、2009第二章第二章 液体静力学液体静力学流体学院流体学院王王 燕燕2009水静力学的任务是研究液体平衡的规律及其实际水静力学的任务是研究液体平衡的规律及其实际应用。应用。液体平衡液体平衡静止状态或平衡静止状态或平衡相对平衡状态或相对静止相对平衡状态或相对静止 静止或平衡状态静止或平衡状态 液体相对地球没有运动，液体处于静止状态液体相对地球没有运动，液体处于静止状态 相对平衡或相对静止相对平衡或相对静止 液体相对于地球处于运动，但液体相对于运动着的容器液体相对于地球处于运动，但液体相对于运动着的容器之间却是静止的、无相对运动的。之间却是静止的、无相对运动的。2009 静止液体的特点：静止液体的

2、特点：液体之间一定没有相对运动，液体之间一定没有相对运动，液体内液体内部不存在内摩擦力。流体不呈现粘性。部不存在内摩擦力。流体不呈现粘性。 因此，水静力学中，理想液体和实际液体无区别。因此，水静力学中，理想液体和实际液体无区别。 液体静力学得出的结论对理想流体和粘性流体都适用。液体静力学得出的结论对理想流体和粘性流体都适用。20092.1 2.1 静水压强及其特性静水压强及其特性图图 静水压强示意静水压强示意 APT隧洞隧洞隧洞闸门隧洞闸门APp APpA lim0P 为作用于微元面积上的为作用于微元面积上的动水压力动水压力; p 为为静水压强静水压强单位单位：Pa = Nm-2 或或 kNm

3、-2 ； 量纲量纲：F L-2 20092.1.1 2.1.1 静水压强的两个性质静水压强的两个性质 1.1. 静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面一块平衡流一块平衡流体，将其分体，将其分成两部分成两部分 下块液体的平衡下块液体的平衡dPndPdP2009 下块液体的平衡下块液体的平衡dPndPdP液体受拉液体受拉2009图图 静水压力方向示意静水压力方向示意 dPndPdPdP2009 静止液体的表面力静止液体的表面力：只有法向应力，没有切向应力只有法向应力，没有切向应力。 而液体无法承受拉力作用，法向应力为内法向应力，而液体无法承受拉力作用，法向应力

4、为内法向应力，即压强即压强。20092. 2. 任一点静水压强大小和受压面方向无关，任一点静水压强大小和受压面方向无关，各方向液体静压强相等。各方向液体静压强相等。图图 静水压强方向示意静水压强方向示意 hpcpcpccc20091p2pAp1 = p22009 斜面压力 任一点静水压强大小与受压面方向无关任一点静水压强大小与受压面方向无关 证证 明明? pypxpz如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可2009 如图所示，在静止液体中的点如图所示，在静止液体中的点A取一微元四面体，取一微元四面体，与坐标轴相重合的边长分别为与坐标轴相重合的边长分别

5、为x、 y、 z，三角形，三角形 BCD的面积设为的面积设为An，各微小平面中心点上的压强分别，各微小平面中心点上的压强分别为为px、py、pz，单位质量力在三个坐标轴方向上的投影，单位质量力在三个坐标轴方向上的投影分别为分别为fx、fy、fz。由于流体静止，则作用在该微元四面体上的力平衡，即：由于流体静止，则作用在该微元四面体上的力平衡，即：000zyxFFF2009Oxyzzxy从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡pxpnpypz2009Py 左侧面压力左侧面压力 Oxyzzxypz x y12pn Anpx y z12py x z12P

6、n 斜面压力斜面压力 Px 后侧面压力后侧面压力 Pz 底面压力底面压力 表面力表面力2009xyzOzxyXYZzyxV 61那么总质量力在三个坐标上的分量为那么总质量力在三个坐标上的分量为 设设 为单位质量力在三个坐标上的分量为单位质量力在三个坐标上的分量666xyzFVXxyzXFVYxyzYFVZxyzZ质量力质量力ZYX,其中，其中， 2009考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则 cos( , )0cos( , )0cos( , ) 0 xnxynyznzPPn xFPPn yFPPn zFOxyzzxyn式中，式中， : : 斜面法线与三个坐标方

7、向的夹角斜面法线与三个坐标方向的夹角 ),(),(),(znynxn zzzyyyxxxApPApPApPnnnApP 636363xxxxyyyyzzzzFfx y zfx AFfx y zfy AFfx y zfz A AxAzAy2009cos( , )03cos( , )03cos( , )03xxnnxxyynnyyzznnzzpApAn xfx ApApAn yYfy ApApAn zfz A cos( , )cos( , )cos( , )xnynznAAn xAAn yAAn z 103103103xxnxxxyynyyyzznzzzpApAfx ApApAfy ApApAfz

8、 A when: ,0 xyz 2009表明连续介质的平衡液体内，任一点的静水表明连续介质的平衡液体内，任一点的静水压强仅是空间坐标的函数压强仅是空间坐标的函数, ,与受压面方向无关，与受压面方向无关，即即 ),( zyxpp式中，式中，x, y, z 为液体占据的空间坐标为液体占据的空间坐标2009 研究液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力研究液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力及其坐标间的微分关系及其坐标间的微分关系 . .2.2.1 2.2.1 液体平衡微分方程液体平衡微分方程 2.2 2.2 液体静力学基本平衡方程液体静力学基本平衡方程2009 在平衡液体中，取一块平行六面微元

9、体（其他形状也可，在平衡液体中，取一块平行六面微元体（其他形状也可，但六面体方便），正交的三条边分别与坐标轴相平行，其但六面体方便），正交的三条边分别与坐标轴相平行，其边长边长dx、dy、dz，中心点为中心点为A（x,y,z），），该点的密度为该点的密度为 ，静压强为静压强为p。Abcyxzdydzdxfy2p dypy2pdypy六面体在质量力和表面力的作用下处于平衡六面体在质量力和表面力的作用下处于平衡2009xx0 x0+x0-O 020000021xx.)xx)(x( f)xx)(x( f)x( f)x( f!泰勒展开式泰勒展开式表面力表面力2009设该六面体形心点坐设该六面体形心点坐

10、标为标为（x，y，z），），压强为压强为P，则六个面，则六个面中心点的坐标分别为：中心点的坐标分别为：前后前后(, , )2dxxy z(, , )2dxxy z左右左右( , )2dyx yz( , )2dyx yz左右左右( , ,)2dzx y z ( , ,)2dzx y z 上下上下(, , )2dxxy z2009代入泰勒展开式，并略去二阶无穷小量，得各表面代入泰勒展开式，并略去二阶无穷小量，得各表面中心点所受的静压强为：中心点所受的静压强为：12MpPpdxx12NpPpdxxx方向方向前前后后12 ypPpdy左12pPpdyy右y方向方向z方向方向12pPpdzz上12 zp

11、Ppdz下2009乘以各表面面积，即得各表面所受的总压力：乘以各表面面积，即得各表面所受的总压力：2009侧面侧面侧面中心点侧面中心点压强压强面积面积总压力总压力 左左右右前前后后上上下下dy, )2x yz （dy, )2x yz （)2dyypp （)2dyypp （zxddzxdddy)2ppdxdzy（d y)2ppd x d zy（(, )2dxxy z(,)2dxxy z2p dxpx2p dxpxd dy zd dy z()2p dxpdydzx()2p dxpdydzx( ,)2dzx y z (,)2dzx y z 2dzppz2zd zppd dx yd dx y()2dz

12、ppdxdyz()2dzppdxdyz表面力表面力 2009质量力质量力 xyOAdydxdz2dyypp 2dyypp zXYZ各方向质量力为各方向质量力为 设设X,Y,Z为为单位质量力在三个坐标上的分量单位质量力在三个坐标上的分量2009xyOAdydxdz2dyypp 2dyypp z考虑微元体的所有力，则考虑微元体的所有力，则 022022022zydxZyx)zzppyx)zzppzydxYzy)yyppzx)yyppzydxZzy)xxppzy)xxppdddddddddddddddddddddddd （dd)d d)d dd d d022dd)d d)d dd d d022pxp

13、xpy zpy zX x y zxxpzpzpx ypx yZ x y zzz（2009以以 除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式1 zyxddd 表示表示表面力表面力与与质质量力量力相平衡。相平衡。欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程2009瑞士学者（瑞士学者（Euler）1775年首先提出的年首先提出的 液体平衡微分方程形式液体平衡微分方程形式 1物理意义物理意义: : 静水压强沿某个方向的变化率静水压强沿某个方向的变化率 与该方向与该方向相等相等 ZzpYypXxp 欧拉平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式 2009 液体平衡微分方程形式液体平衡微分方

14、程形式 2 ）zZyYxX(zzpyypxxppddddddd ZzpYypXxp +)+) dx dy dz 写为积分式写为积分式压强差公式，表明压强差公式，表明流体静压强的增量流体静压强的增量取决于单位质量力取决于单位质量力和坐标增量。和坐标增量。 压强差公式压强差公式 2009由式可见由式可见yxyzxzffyxffzyffxz 质量力性质质量力性质由理论力学可知：存在一个与坐标有关的力势函数，使对由理论力学可知：存在一个与坐标有关的力势函数，使对x，y，z的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即 xyzUfxUfyUfzd( , , )ddddddxyz

15、UUUU x y zxyzfxfyfzxyzxyzdpf dxf dyf dz()xyzpdf dxf dyf dz 2.3 2.3 液体的平衡方程液体的平衡方程2009具有上式关系的力称为有势力，或保守力具有上式关系的力称为有势力，或保守力 有势力所做的功与路径无关有势力所做的功与路径无关 而只与起点和终点的坐标有关而只与起点和终点的坐标有关 重力、惯性力都属于有势力重力、惯性力都属于有势力 xyzUfxUfyUfzd( , , )ddddddxyzUUUU x y zxyzfxfyfzxyz 作用在液体上的质量力必须是有势力，液体才能作用在液体上的质量力必须是有势力，液体才能保持平衡保持平

16、衡表明表明: 2009比较两式比较两式d(dddddd )dxyzUUUpfxfyfzxyzUxyz)= (Updd d( , , )ddddddxyzUUUU x y zxyzfxfyfzxyzCUp )(00UUpp 积分上式，则积分上式，则 式中，式中， 为自由液面上的压强和力势函数为自由液面上的压强和力势函数00U,p结论：结论： 平衡液体中，边界上的压强平衡液体中，边界上的压强p p0 0将等值地传递到液体内的一切点上；将等值地传递到液体内的一切点上；即当增大或减小时，液体内任意点的即当增大或减小时，液体内任意点的压强也相应的增大或减小同样的数值。压强也相应的增大或减小同样的数值。这

17、就是著名的这就是著名的巴斯加原理。巴斯加原理。2009等压面等压面定义：定义：液体中压强相等的点连成的面（液体中压强相等的点连成的面（曲面，或平面）曲面，或平面） 等压面性质等压面性质等压面具有两个性质等压面具有两个性质1 1等压面和质量力正交等压面和质量力正交 dddd( dddxyzppppxyzf xf yf zxyz）由于由于而而d0p(ddd0 xyzfxfyfz）F0dl Fdl02009例例 如果液体在静止状态下，作用于其上的质量力只有如果液体在静止状态下，作用于其上的质量力只有重力，那么就局部范围，等压面一定是一个水平面；重力，那么就局部范围，等压面一定是一个水平面；就大范围讲

18、，等压面是一个处处与地心正交的曲面。就大范围讲，等压面是一个处处与地心正交的曲面。 20092在平衡液体中等压面就是等势面在平衡液体中等压面就是等势面 00Upttanconspdd 即即 dU =0 , U = constantd( , , )dddddd0 xyzUUUU x y zxyzfxfyfzxyz0U ds2009重力作用下等压面重力作用下等压面重力作用下的等压面条件：重力作用下的等压面条件： 连通、同一种流体、水平面连通、同一种流体、水平面 2009 图图 重力作用下的液体等压面重力作用下的液体等压面 (a) (a) 连通容器连通容器 非等压面非等压面等压面等压面2009(b)

19、 (b) 不连通不连通 非等压面非等压面20092.3 2.3 重力作用下的静水压强的基本公式重力作用下的静水压强的基本公式 在实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常只有重力，在实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常只有重力，即静止液体。即静止液体。2.3.1 2.3.1 重力作用下静水压强的基本形式重力作用下静水压强的基本形式 1 1在重力场中，单位质量力只有重在重力场中，单位质量力只有重力，即：力，即：00 xyzfffg ，xzzhz0mp0 图图 重力作用下的静水压强推导示意重力作用下的静水压强推导示意2009代入压力差公式得：代入压力差公式得：dpgdz 积分得：积分得： pgzC

20、得：得：00gzpC0000ppg zzpghph注意：注意：代入边界条件：代入边界条件：00ppzz ，2009积分常数根据自由表面上的边界条件确定：积分常数根据自由表面上的边界条件确定：00,zzpp在重力场中，单位质量力只有重力，即：在重力场中，单位质量力只有重力，即：代入压力差公式积分得：代入压力差公式积分得： pgzC 00 xyzfffg ，xyzz0zp0oh00gzpC所以任意坐标所以任意坐标z处的压强为：处的压强为：ghpzzgpp0002009从上述公式中可以分析到以下几点从上述公式中可以分析到以下几点 静止液体内静水压强由两部分组成：静止液体内静水压强由两部分组成： p

21、= p0 +h自由液面上压强自由液面上压强 p0大小不变地传到液体内任一点。大小不变地传到液体内任一点。 h 相当于单位面积上高度为相当于单位面积上高度为h的水柱重量的水柱重量 )z( p)z , y, x( pp p 与与h 或或 z 是是线形线形关系关系在静止液体内中，位于同一深度在静止液体内中，位于同一深度h h的各点静压强相等的各点静压强相等，即任意水平面都是等压面。，即任意水平面都是等压面。20092.3.2 2.3.2 重力作用下静水压强基本形式重力作用下静水压强基本形式 2 2称称 为测压管高度为测压管高度化简得化简得Cpzpz 00 )zz(pp 00 由重力作用下静水压强的计

22、算公式由重力作用下静水压强的计算公式: :LCpzpz 00Cpzpz 00 基本形式基本形式 2 2式中，式中，C C 为常数，对于具体的问题是一个为常数，对于具体的问题是一个唯一唯一的常数。的常数。20092.3.3 2.3.3 流体静力学基本方程式的物理意义流体静力学基本方程式的物理意义z p/( g) z+p/( g) 方程的物理意义是：在重力作用方程的物理意义是：在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量下，静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变。流体的总势能保持不变。xzzhpapp0hob如图所示，玻璃管上端抽真空，对于如图所示，玻璃管上端抽真空，对于a点和点和b点，流

23、体力学基本方程式为：点，流体力学基本方程式为：gphhzgpzppCpzpz 00 20092.3.4 2.3.4 流体静力学基本方程式的几何意义流体静力学基本方程式的几何意义zp/( g)z+ p/( g)z1z2AA1 p1gp12pgp2 2p0apgz1z2AA1 p11epg2epgp2 2p0pa完全真空完全真空2009p=pa+gh ppe=p-pa=gh pepv=- pe= pa-p2.4 2.4 压强的度量与测量压强的度量与测量2.4.1 2.4.1 压强的两种计算基准压强的两种计算基准注意：绝对压强与计示压强的关系注意：绝对压强与计示压强的关系2009绝对压强计算基准面绝

24、对压强计算基准面相对压强计算基准面相对压强计算基准面pNpNpapKpCppNC几种压强的表示图例几种压强的表示图例2009hp0p pahpap ghppaghpppaeappghvpgh2.4.2 2.4.2 压强的测量压强的测量2009h1h2pap 112 2由于由于1和和2点在同一流体的等压面上，故：点在同一流体的等压面上，故：21pp 111ghpp222ppgh故有：故有：1122ghghppa2211eapppghgh其中：其中：2009h1h2pap 112 22211appghgh2211vapppghgh2009hh2h1B 1 1A 212 由于由于1、2两点在同一等两

25、点在同一等压面上，故有：压面上，故有：ghghpghpBA22111A、B两点的压强差为：两点的压强差为：ghghghghpppBA1211212200912(sin)aApppgHglklA A2A1paph hl00 两液面的高度差为：两液面的高度差为：21sinAAlhhH所测的压强差为：所测的压强差为：2009h1h2h3h4h511223344B BA 1 1 2 3已知已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm， 1=1000kg/m3， 2=800kg/m3， 3=13598kg/m3，求，求A、B两点的压强差。两点的压强差。解：

26、图中解：图中1-1、2-2、3-3均为等压面，可以逐个写出有关点的静压强为均为等压面，可以逐个写出有关点的静压强为：32232312111ghppghppghppA)(45144334hhgppghppB联立求解得：联立求解得：4543322311hhgghghghghppABA、B两点的压强差为：两点的压强差为：Pa67864324231451ghhhghhhgppBA2009F2F1hped1d2aa两圆筒用管子连接，内充水银。第一个圆筒直径两圆筒用管子连接，内充水银。第一个圆筒直径d1=45cm，活塞上受力，活塞上受力F1=3197N，密封气体的计示压强，密封气体的计示压强pe=9810

27、Pa；第二圆筒直径；第二圆筒直径d2=30cm，活塞上受力活塞上受力F2=4945.5N，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时，开口通大气。若不计活塞质量，求平衡状态时两活塞的高度差两活塞的高度差h。（已知水银密度。（已知水银密度 =13600kg/m3)。解：在解：在F1、F2作用下，活塞底面产生作用下，活塞底面产生的压强分别为：的压强分别为：Pa699644Pa20101422222111dFpdFp， 图中图中a-a为等压面，第一圆筒上部为等压面，第一圆筒上部是计示压强，第二圆筒上部的大气压是计示压强，第二圆筒上部的大气压强不必计入，故有：强不必计入，故有：21pghppem3003

28、. 012gppphe20091标准大气压标准大气压 1.03323工程大气压工程大气压= 1（atm） = 1.01325105 (N/m2) = 0.76m(Hg) = 10.336 (mH2O) 1工程大气压工程大气压 1 （ate） = 0.736 m(Hg) = 980665 (N/m2) 10 (mH2O)2009例题例题3 图图 水塔计算示意水塔计算示意 h2h1等压面等压面 12112012hhhnn ）（有一水塔，如图。为了量出有一水塔，如图。为了量出塔中水位，在地面上装置一塔中水位，在地面上装置一U形水银测压计，测压计左形水银测压计，测压计左支用软管与水塔联通。今测支用软管

29、与水塔联通。今测出左支水银面高程为出左支水银面高程为502m，左右两支水银面高程差左右两支水银面高程差116cm，试求此塔中水位。，试求此塔中水位。20092.6 2.6 作用于平面上的静水总压力作用于平面上的静水总压力 1 1 静水总压力图的绘制静水总压力图的绘制 在液体的受压面模拟图上，按一定比例绘制静水在液体的受压面模拟图上，按一定比例绘制静水压强（以相对压强表示）的大小和方向的图称为压强（以相对压强表示）的大小和方向的图称为静压静压强分布图。强分布图。 2.6.1 2.6.1 作用在矩形平面上的静水总压力图解法作用在矩形平面上的静水总压力图解法 通常情况下要研究的工程设备都处于大气环境

30、中，壁通常情况下要研究的工程设备都处于大气环境中，壁面两侧都受到大气压强的作用，因此只需按静止液体的面两侧都受到大气压强的作用，因此只需按静止液体的计计示压强示压强去计算总压力。去计算总压力。2009 1 1 静水总压力图的绘制静水总压力图的绘制 用箭头表示静水压强方向，并与作用面垂直用箭头表示静水压强方向，并与作用面垂直按一定比例，用线段长度绘制静水压强的大小。按一定比例，用线段长度绘制静水压强的大小。 计算压强分布图的面积计算压强分布图的面积, , 再乘宽度，即得总压力的大小再乘宽度，即得总压力的大小总压力作用点的位置相当于压力分布图形心点的位置。总压力作用点的位置相当于压力分布图形心点的

31、位置。2009静水总压力图的绘制静水总压力图的绘制 P =HH2009 计算压强分布图的面积计算压强分布图的面积 p=Hp=hHh2009图解法不是最通用的方法，适用一些简单的二维问题。图解法不是最通用的方法，适用一些简单的二维问题。 图解法计算的作用力，图解法计算的作用力，作用点的位置相当于压强分作用点的位置相当于压强分布图的形心点的位置。布图的形心点的位置。2009液体作用在平面上的总压力是作用于平面各点上的平行力系的合力。液体作用在平面上的总压力是作用于平面各点上的平行力系的合力。xypao hhChDdFpdFxxCxDdACDA 在平面上取一微元面积在平面上取一微元面积dA，其中心的淹没深度为其中心的淹没深度为h，到，到oy轴轴的距离为的距离为x，液体作用在该微元，液体作用在该微元面积上的微元总压力为：面积上的微元总压力为：dAgxghdAdFpsin 在平面上积分上式，可得液在平面上积分上式，可得液体作用在平面上的总压力：体作用在平面上的总压力：AAppxdAgdFFsin2.6.2 2.6.2 作用在