罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第1章索洛增长模型)

1、Born to win经济学考研交流群 <<<点击加入 罗默高级宏观经济学（第3版）第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。1.1 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明：（a）两个变量乘积的增长率等于其增长率

2、的和，即若，则（b）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若，则（c）如果，则证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a）的结果。（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果:则得到（b）的结果。（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于，其中是常数，有下面的结果：则得到（c）的结果。1.2 假设某变量的增长率为常数且在

3、时刻等于，在时刻下降为0，在时刻逐渐由0上升到，在时刻之后不变且等于。（a）画出作为时间函数的的增长率的图形。（b）画出作为时间函数的的图形。答：（a）根据题目的规定，的增长率的图形如图1-1所示。从时刻到时刻的增长率为常数且等于（），为图形中的第一段。的增长率从0上升到，对应于图中的第二段。从时刻之后，的增长率再次变为。图1-1 时间函数的增长率（b）注意到关于时间的导数（即的斜率）等于的增长率，即：因此，关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到时刻，的斜率为（），在时刻，的增长率出现不连续的变化，因此的斜率出现扭曲，在时刻至时刻，的斜率由0逐渐变为；从时刻之后，的斜率再次变为（）。图1-2

4、 关于时间的图形1.3 描述下面的每一种变化（如果存在的话）怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。（a）折旧率下降。（b）技术进步率上升。（c）生产函数是柯布道格拉斯型，并且资本份额上升。（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前更高。答：（a）折旧率下降的影响由于持平投资线的斜率为，当折旧率下降后，持平投资线的斜率下降，持平投资线向右转，而实际投资线则不受影响。从图1-3可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从上升到。图1-3 折旧率下降的影响（b）技术进步率上升的影响由于持平投资线的斜率为，当技术进步率上升后，会使持平投资线的斜率变大

5、，持平投资线向左转，而实际投资线则不受影响。从图1-4可以看出，平衡增长路径的资本存量水平从下降到。图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响（c）生产函数是柯布道格拉斯型的，并且资本份额上升的影响由于持平投资线的斜率为，因此上升对持平投资线没有影响。由于实际投资线为，而，因此。当资本份额上升时，实际投资线的变化需要分情况讨论：对于，如果，或者，则，即实际投资线随增加而上升，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上；反之，如果，或者，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下；对于，则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。除此之外，上升对于的影响还受到和的大小的影响。如果，的上升会使上升，如图1

6、-5所示。图1-5 资本份额上升的影响（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前有更高的影响：如果修改密集形式的生产函数形式为：，则实际投资线为。工人们更加努力的劳动，则单位有效劳动的产出比以前提高，即表现为上升，的上升会使实际投资线上升；持平投资线并不受影响，此时，也从上升到，如图1-6所示。图1-6 单位有效产出比以前更高的影响1.4 考虑一个具有技术进步但无人口增长的经济，其正处在平衡增长路径上。现在假设工人数发生了一次跳跃。（a）在跳跃时刻每单位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变？为什么？（b）在新工人出现时，每单位有效劳动的产出发生初

7、始变化（如果存在的话）之后，单位有效劳动的产出是否存在任何进一步的变化？如果发生变化，其将上升还是下降？为什么？（c）一旦经济再次达到平衡增长路径，此时的每单位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之前的每单位有效劳动的产出？为什么？答：（a）假定在时刻，工人数量发生了一次离散的上升，这使得每单位有效劳动的投资数量从下降到。从这一式子中可以看出，由于上升，而和则没有变化，因此，会下降。因为，所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。在图1-7中，从下降到。图1-7 单位有效劳动数量降低的影响（b）在处，每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平投资，即：。在处，经

8、济中储蓄和投资超过了折旧和技术进步所需要的投资数量，因此开始上升。随着每单位有效劳动的资本上升，每单位有效劳动的产出也会上升。因此，从返回到。（c）每单位有效劳动的资本会持续不断的上升，直到返回到原先的资本水平。在处，每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等，即：每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。一旦经济返回到平衡增长路径，便会返回到处，从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。所以，一旦经济再次达到平衡增长路径，每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。1.5 设生产函数是柯布道格拉斯型的。（a）找出作为模型参数、和的函数的、与的表达式。（b）的黄金律值是什么？

9、（c）获得黄金律资本存量所需的储蓄是什么？解：（a）下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式：定义柯布道格拉斯生产函数为：，将其代入上式，有下式：在平衡增长路径处，每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等，从而保持不变，则有下面结果：从上式可以解出： （1）下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平：将方程（1）代入，则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平： （2）下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平。将方程（2）代入，则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为： （3）综合上述方程（1）、（2）和（3）可以解出、与关于模型参数、和的函数表

10、达式。（b）黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平，这也是经济学一切分析的核心所在，比考察资本、产出等经济变量更有意义。由方程（1）可以解出，即： （4）将上式代入方程（3），有下式： 上式可以简化为： （5）即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资，而均衡状态时，每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。下面求关于的最优化，可以由（5）得出：再简化为： （6）方程（6）的定义暗含了黄金规则的资本水平。其中，方程（6）左边，因为，则，表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。

11、可以由方程（6）解出黄金规则要求的最佳资本水平，即的黄金律值： （7）（c）将方程（7）代入方程（4）即可以得到黄金规则所要求的资本水平：进一步简化为： （8）由方程（8）可以得出：对于柯布道格拉斯生产函数，黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性，也即资本的产出份额。1.6 考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。为了简化分析，假设不存在技术进步并且现在人口增长率下降。（a）每个工人平均资本、每个工人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化？描述这些经济变量移向其新平衡增长路径的路径。（b）描述人口增长的下降对产出（即总产出而非每个工人平均产出的）路径的影响。答：（a）由

12、于不存在技术进步，这里可以不考虑技术因素，将每单位有效劳动简化为平均劳动，定义：，。由于持平投资线的斜率为，因此，人口增长率的下降会使持平投资线的斜率变小，持平投资线更加平坦。每个工人平均资本的动态方程为：由于下降，这会导致变为正数（在平衡增长路径上，为0，即资本存量处于最佳水平）。在处，每个工人平均实际投资超过了每个工人平均持平投资，因而，会增加，移向，如图1-8所示。图1-8 人口增长率下降对每个工人平均稳态资本、平均稳态产出的影响随着每个工人平均资本的增加，由可以知道每工人平均产出会上升。又因为，由于不变，而上升，因此每个工人平均消费会上升。如图1-9所示。其中，图1-9（1）为每个工人

13、平均资本的变化图，图1-9（2）为每个工人平均产出的变化图，图1-9（3）为每个工人平均消费的变化图。图1-9 每个工人平均资本、产出、消费的变化（b）由定义，则的增长率为。在开始的平衡增长路径上，/，因此，在最终的平衡增长路径上，。因此，人口增长的下降会导致总产出的增长率下降，如图1-10所示。图1-10 总产出增长率的下降1.7 找出平衡增长路径上每单位有效劳动的产出关于人口增长率的弹性。如果、以及，由2下降至1将会使提高多少？解：由于，所以对该式两边对求导数，有下式的结果： （1）而值可以从资本的动态方程式中寻找。在平衡增长路径上，因此有：，对两边关于求导，得到下式：求解可得： （2）将

14、方程（2）代入（1）式，得： （3）由求解，可得： （4）将方程（4）代入（3）式，可得：求关于的弹性形式： （5）产出的资本弹性为，代入（5）式： （6）将、以及，由2下降至1代入，其中取中值，为0.015，有下式的结果：因此，由2下降至1，下降了50%，则产出会上升6%（）。可以发现，人口增长率的大幅度下降并不会导致产出的大幅度增长。上述结论有着极其重要的价值。在索洛模型中，在解释经济增长的原因时，索洛从资本的角度加以解释，但他发现，资本的差异既不能解释人类历史上长期的增长，也不能解释跨国之间的差距。在索洛模型看来，导致经济增长最主要的原因在于有效劳动。本题则从劳动数量的角度解释增长，发现

15、效果并不明显。1.8 设在美国，投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18，并设资本份额为1/3。（a）相对于投资不上升的情形，产出最终大约上升多少？（b）相对于投资不上升的情形，消费大约上升多少？（c）投资增加对消费的直接影响是什么？消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需要花费多长时间？解：（a）投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18，上升20%，表明储蓄率上升了20%。由教材（1.27）可以知道产出关于储蓄的弹性公式为：为产出的资本弹性，这里假设市场是完全竞争的，不存在市场扭曲，资本取其边际产品，即产出的资本弹性近似等于资本份额。将代入上述公式，得：可以看出，产出关于储

16、蓄的弹性为1/2，则储蓄率上升20%，产出会上升10%。（b）由于储蓄率上升，因此尽管产出上升了10%，但消费并不会上升10%，而会更小一些。在此需要求出消费的储蓄弹性。由于，对此式两边关于求导数，得：等式两边都乘以，得到弹性形式如下：在等式右边，将替代，化简得：该式第二项为产出的储蓄弹性，由（a）可知为1/2，投资所占产出的份额永久性地由0.15上升至0.18，即储蓄份额也由0.15上升至0.18，取中值为0.165，代入上述公式，得：因此，消费关于储蓄的弹性为0.3，投资所占产出的份额永久性上升20%，可以使消费上升6%（）。（c）投资增加对消费的直接影响是使消费立即下降。原因在于，在初始

17、平衡增长路径上，保持不变，而则由0.15上升到0.18，即由0.85下降到0.82，下降了0.035。因此，投资增加会立刻导致消费下降0.035。下面使用校准的方法来检验消费的收敛速度。在发生一次性上升后便保持不变，因而消费在新的平衡增长路径上会保持不变。在教材上第17页讨论了和的收敛速度。首先定义的动态方程式：，在平衡增长路径上，为0，取在上的一阶泰勒展开：令，有下式：的平衡增长路径为：在求解：因为为6%，而，可以得出为4%。这意味着和每年向平衡增长路径移动4%。由于，因此消费也以稳定的速率向稳定点移动。可以推出下式：再次简化为：由题目可知，消费先下降3.5%，而后再上升6%，因此它将移动9

18、.5%。消费必须移动36.8%（）才能到达新的平衡增长路径。这意味着到达新平衡增长路径的距离是原距离的63.2%。为了决定收敛的速度，有下面的式子：两边取对数，有：。求得下面的结果：（年）因此，消费要恢复到不存在投资增长时的水平，需花费11.5年。1.9 索洛模型中的要素支付。假设劳动与资本均按其边际产品支付。令表示，且表示。（a）证明劳动的边际产品是。（b）证明如果资本与劳动均按其边际产品支付，那么不变的规模报酬意味着生产要素的总支付量等于总的净产出，即证明在不变的规模报酬条件下，。（c）随着产出份额被支付给资本与劳动，资本报酬（）大致也不随时间而变化。处在平衡增长路径上的索洛经济展现这些特

19、征吗？处在均衡增长路径上的与的增长率是多少？（d）假设经济由一个数量为的水平开始。随着移向，是否以大于、小于或等于其处在平衡增长路径时的增长率的速率增长？会怎样呢？答：（a）劳动的边际产品为：生产函数为：两边关于取导数：（1）即：（b）资本的边际产品为：生产函数为：，两边关于取导数： （2）将方程（1）和（2）代入，得：简化为：因为不变的规模报酬条件下，所以有下式： （3）（c）（2）式中，因为保持不变，而在平衡增长路径上也保持不变，因此不变，也将保持不变。这意味着，从而资本回报率在索洛模型中保持不变。资本的产出份额为，求其增长率如下：在平衡增长路径上，资本的产出份额保持不变。因为资本的产出份

20、额与劳动的产出份额之和为1，因此，劳动的产出份额也保持不变。下面求在平衡增长路径上劳动的边际产品增长率。劳动的边际产品是：两边取对数求劳动的增长率：在平衡增长路径上，因此，即劳动的边际产品的增长率为有效劳动增长率。（d）由（c）知。因为，如果，则式中第二项为正，当时，因此劳动的边际产品增长率比平衡增长路径时更快。资本的边际产品的增长率为：当向移动时，而，因此，从而资本的边际产品的增长率下降。1.10 假设像习题1.9中的一样，资本与劳动按其边际产品获得收益。此外，假设一切资本收入被储蓄且所有劳动收入被消费。因此，。（a）证明这种经济收敛于平衡增长路径。（b）处在平衡增长路径上的大于、小于或等于

21、的黄金律水平吗？关于这个结论的直觉是什么？答：（a）下面证明该经济可以收敛于平衡增长路径。由，对其两边关于时间求导，可得： （1）将，和代入方程（1），可得： （2）将代入方程（2），可得： （3）当时，每单位有效劳动保持不变。即，因此平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本可以由潜在地决定。，由于在平衡增长路径上保持不变，因此，必须与保持同样的增长速度。的增长速度为，所以的增长速度为。由于生产函数是规模报酬不变的，因此，在平衡增长路径上每单位有效劳动的产出增长速度也必须是。综合上述，可以发现所有变量增长速度均不变。下面证明经济收敛于平衡增长路径。在时，此时经济处于平衡增长路径上。如果，由于，所以

22、，则经济向下偏离平衡增长路径；反之，如果，则，经济向上偏离平衡增长路径。所以，不管初始的如何，经济都将收敛于平衡增长路径，此时 ，所有的经济变量都以不变的速率增长。（b）满足黄金规则的资本水平是指每单位有效劳动的消费的最大化资本水平，即。此刻满足生产函数的斜率等于持平投资线的斜率。而这正是经济收敛到均衡增长路径时的水平，这时所有的资本收入被储蓄，所有的劳动收入被消费。在本模型中，将资本的贡献（资本的边际产品乘以资本的数量）储蓄起来。如果资本的贡献超过持平投资，即，则上升；反之，如果，则下降。因此，经济收敛于，或者这一点上，此刻经济收敛于平衡增长路径。1.11 利用与式（1.28）（1.31）中

23、相类似的步骤分析，在平衡增长路径附近，如何快速地收敛于。提示：由于，可以写出，其中。答：首先，由求反函数可得，令，即可以表示成的函数；又由于在索洛模型中，是由的值所决定的，因而可以表示为的函数，从而可以表示为的函数，即有：。特别地，当时，。函数在处的一阶泰勒展式为： （1）令，则上式可以简化为： （2）方程（2）表明，在平衡增长路径附近，移向的速度几乎与和之间的距离成比例。也就是说，的增长率近似于一个固定的常数，这意味着 （3）其中，是的初始值。其次，确定的值。对生产函数两端关于时间求导数可得： （4）而教材中资本积累的方程为： （5）由方程（4）和（5）可得： （6）方程（6）两端对求导可得

24、： （7）在平衡增长路径上，因而方程（7）可以表示为： （8）由于，其中，从而有： （9）由方程（8）和（9）可得：综上可得： （10）因为在平衡增长路径上，从而方程（10）可以表示为： （11）又由于，所以方程（11）可以简化为：综上所述，在平衡增长路径附近，以近似于的不变速度收敛于平衡增长路径值。1.12 物化（embodied）的技术进步（索洛，1960；萨托，1966）。有关技术进步的一种观点是，在时刻建立的资本品的生产力依存于时刻的技术状态，并且不受后续技术进步的影响。这便是众所共知的物化的技术进步（技术进步在其可提高产出之前，必须“物化”在新资本中）。这个习题要求去探讨其效应。（a

25、）作为一个前提，把基本的索洛模型修改为技术进步是资本增加型的而非劳动增加型的，使得一个平衡增长路径存在。假设生产函数是柯布道格拉斯型的，。假设以如下的速率增长：。证明经济收敛于平衡增长路径，并且求出平衡增长路径上的与的增长率。（提示：证明可把写成的函数，这里，然后分析的动态学。）（b）现在考虑物化的技术进步。特别地，设生产函数为，式中是有效资本存量，的动态学为。在这个表达式中的出现意味着在时刻，投资的生产力依存时刻的技术。证明经济收敛于平衡增长路径。在平衡增长路径上，与的增长率是多少？（提示：令。然后利用像（a）一样的分析方法，主要集中于用替代。（c）在平衡增长路径上，产出关于的弹性是什么？（

26、d）在平衡增长路径邻近区域，经济怎样快速地收敛于平衡增长路径？（e）将（c）与（d）中得出的结论与课文中基本的索洛模型得出的相应结论进行比较。答：（a）以的形式进入，则技术进步为哈罗德中性的；以的形式进入，则技术进步为资本增加型的；以的形式进入，则技术进步为希克斯中性的。本题为第二种情况。资本增进型的技术进步的生产函数的形式为： （1）在方程（1）左右两边同时除以，可得：上式再简化为：定义：，及，代入上式，可得： （2）为求的动态学，将）两边求导数得：即：将，及代入上式，可得： （3）总资本存量的动态方程式为： （4）将方程（4）代入（3），可得：将方程（2）代入上式，可得： （5）方程（5）

27、与索洛模型（劳动增进型）中的资本动态方程非常相似。不过，本模型用而不是用有效劳动）来衡量资本。图1-11是的变化图。图1-11 收敛于当每单位的实际投资超过每单位的持平投资时，将上升趋向于；反之，当每单位的实际投资小于每单位的持平投资时，将下降趋向于。忽略为0的情况，经济将在时收敛到平衡增长路径。因为，所以当时，也将保持不变。再分析总的情况：总资本为，由于保持不变，因此的增长率为；同理，总产出为，由于保持不变，因此的增长率为。由于和被假定按既定的速率增长，因此，由于所有的变量均按既定的速率增长，经济收敛到平衡增长路径。（b）考虑物化的技术进步的情况。生产函数的形式为： （6）定义，代入方程（6

28、），生产函数的形式可以重写为： （7）对方程（7）两边同时除以，得： （8）定义，及，代入方程（8），可得： （9）为分析的动态学，对两边取导数，即：将，及代入上式，可得： （10）为求得表达式，对两边取导数，即：将，及代入上式，可得：上式再简化为： （11）将方程（11）代入（10），可得：将代入上式，可得： （12）图1-12 收敛于图1-12是的变化图。忽略为0这种情况，经济将在时收敛。同理，由于，将保持不变，即保持在时的状态。总产出，由于保持不变，总产出的增长率为。由定义可知，在经济收敛于平衡增长路径时，保持不变，的增长率为。由于，所以，有效资本存量的增长率为，或者是。因此，由于所有的

29、变量都以不变的速率增长，经济收敛于平衡增长路径。（c）在平衡增长路径上，由方程（12），可知进一步可推出：。因此有下式： （13）将方程（13）代入（9），可以求得在平衡增长路径上每单位的产出的表达式： （14）对关于进行求导，即：对两边乘以以求得弹性形式，即：上式简化为：最终可以得到： （15）（d）求在处的一阶泰勒展开式，即： （16）对方程（9）两边求导，可得： （17）将方程（12）代入（17）中，即：或者如下： （18）方程（18）是用来表达，也可以用来表达。因为，可以推出，因此在处，可以表达为：因为，所以有：最后，重新整理方程（13）为：，代入上式，可得：上式再简化为： （19）将

30、方程（19）代入（16），可得： （20）求解此微分方程，可得： （21）这表示经济每年向移动。（e）本模型中产出关于储蓄的弹性与基本的索洛模型中得到的结果一样。本模型中收敛的速度快于索洛模型中的收敛速度。在基本的索洛模型中，收敛的速度为，小于本模型中的。1.13 考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济，设第1.7节中描述的增长因素分析法可应用于这种经济。（a）增长因素分析法把每工人平均产出中的多少份额归于每工人平均资本的增长？又把多大的份额归于技术进步？（b）怎样才能把（a）中得出的结论与如下的事实结合起来，即索洛模型意味着在平衡增长路径上每个工人平均产出增长率由技术进步率唯一地决定？答：（

31、a）根据增长因素分析法，产出可以分解为：其中，是产出关于资本的弹性，是索洛剩余。在平衡增长路径上，每工人平均产出增长率和每工人平均资本增长率都等于技术进步率。在上述公式中，索洛将每工人平均产出的部分归于资本的贡献，而将部分归于技术进步，即索洛剩余。通常估计，因此，增长因素分析法将67%的贡献归于技术进步，而仅有33%的部分是资本所做的贡献。（b）从增长因素分析法看，（a）部分的结论是正确的，但是，实际上不完全正确。在平衡增长路径上，资本劳动比率的增长率为，这是因为有效劳动的增长率为。这意味着有效劳动的增长率，即技术的增长率，通过两条路径来提高人均产出：可以直接提高产出，也可以通过提高投入到资本积累中的资源来提高资本劳动比率。增长因素分析法将通过第二条路径提高人均产出，而不是潜在的路径。因此，增长因素分析法有时并不能提供更深刻的分析。1.14 （a）在教材中方程（1.38）与（1.39）中有关收敛性与测度误差的模型中，设的真实值是-1，就对一常数与进行回归是否会得出对的一个有偏估计？请解释。（b）设在测度1979年每资本平均收入而非1870年每资本平均收入中存在测度误差。对一常数和的一个回归会产生的一个有偏估计吗？答：（a）最小二乘回归分