方向导数和梯度（课堂PPT）

1、例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行一一 问题的提出问题的提出1),(yxp),(yyxxpxyl0 xy方向导数图示 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题),(yxfz 2ABCtan|AC|BC|)(xf)(xxfxxx)(xfxxfxxfx)()(lim0)(xfxxfxxfx)()(lim0)(xf|)(|)()

2、(lim0|xxxxfxxfx33R中xOyz.P0P|PP|)(P(P)lim00PP0ffl0l沿)(xf0l方向的方向导数)(Xfz .4二、方向导数的定义二、方向导数的定义 设函数)(Xfu 在)U(0X内有定义。若点 )U(0XX 沿射线 l 趋于0X时,极限|)()(lim000XXXfXfXX存在，则称该极限值为函数)(Xf在点0X处沿 l 方向的方向导数。记为50XXlz|)()(lim000XXXfXfXX或)(0Xfl6 利用直线方程可将方向导数的定义tXfe tXflut)()(lim000表示为:射线 l 的方程为pzznyymxx000t则cos0txxcos0tyy

3、cos0tzz故etXX0)cos,cos,(cosecoscoscos000zzyyxx7比较方向导数与偏导数的概念比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中，分母0|0 XX；在偏导数中，分母x、y可正、可负。即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念也是不同的。方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？想一想，为什么？8 怎么计算方向导数？怎么计算方向导数？90XXl0l),(0000zyxX),(zyxX|cos00XXxx|cos00XXyy|cos00XXzz|)o(|)()(00XXzzuyyuxxuXfXf看看三维空间的情形10定理定理(方

4、向导数导计算公式)若函数),(zyxfu 在点),(000zyx处可微， 则函数)(Xf在点),(000zyx处沿任一方向)cos,cos,(cos0l的方向导数存在，且lu其中, 各导数均为在点),(000zyx处的值.cosxucosyucoszu11运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：lucosxucosyucoszuzuyuxu,eu grad其中，ugrad)cos,cos,(cose称为梯度12在2R中lucosxucosyu在nR中lu11cosxunnxucos可统一表示为eulugradugrad),(21nxuxuxu)cos,cos,(cos21ne)2(n13

5、设xyzu , 求函数在点)2,2, 1P(沿方向kjil22的方向导数。解;4PPyxxu;2PPxzyu.2PPxyzu,31cos,32cos.32coslucosxucosyucoszu例例14由点),P(yx到坐标原点的距离定义的函数22yxz在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于1：10lim222200)0, 0(yxyxlzyx想一想，该例给你什么启示想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。 例例15一个问题：一个问题：),()(zyxfXfu在给定点0X沿什

6、么方向增加得最快？该问题仅在zuyuxu,不同时为零才有意义。可微函数三、三、 梯度梯度16eulugrad由前面的推导，有),gradcos(|grad|eueu现在正式给出现在正式给出的定义uegradprjgrad u),gradcos(|grad|euu由此可得出什么结论？由此可得出什么结论？ 方向导数等于梯度在此方向上的投影17定义定义设,3R, )()(1CXfu,0X则称向量ixXf)(0为函数)(Xf在点0X处的梯度，记为)(grad0Xf或。)(0XfjyXf)(0kzXf)(018 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可

7、以推广到二元和三元以上的函数中。 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。19),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线),(yxfgrad梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P2),(cyxf 1),(cyxf oyxcyxf ),(12cc 20三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有一阶内具有一阶 连续偏导数，则对于每一点连续偏导数，

8、则对于每一点GzyxP ),(，都可，都可 定义一个向量定义一个向量( (梯度梯度) ) . ),(kzfjyfixfzyxfgrad 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值最大值. .梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数21类似地类似地, ,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与 过点过点 P 的等量面的等量面czyxf ),(

9、在这点的法线的一在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数向的方向导数. . 22设,52zxyzu求,gradu并求在点)1, 1,0(M处方向导数的最大(小)值。解,yzxu,xzyu,2zxyzu)2,0, 1(从而例例123例例 2 2 求函数求函数 yxzyxu2332222 在点在点 )2 , 1 , 1( 处的梯度，并问在处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零向量哪些点处梯度为零向量？ 解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 在在)0 ,21 ,23(0 P处梯度为零向量处梯度为零向量. . 24精品课件精品课件！25 精品课件精品课件！26 1 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向导数与梯度的