概率论与数理统计公式小抄必备

1、分布名称密度函数分布函数均匀分布XI_U(a,b)f(x)h11.J,a<x<bb-a-、0,其他F(x)=0,x<ax-a1一,a<x<bb-a、1,x>b3、续型随机变量及其分布四、随机变量的数字特征1、数学期望定义：离散型kdt_2e2dt=：>(x)概率论和数理统计公式集锦、随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式AUB=aPib,ATTb=aUb古典概型mA包含的基本事件数P(A)n基本事件总数几何概型p(a)=W),其中科为几何度量(长度、面积、体积)求逆公式P(A)=1-P(A)加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(

2、AB)=0时，P(AUB)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB),BuA时P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式与乘法公式P(AB)P(B|A)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A)P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB)全概率公式nP(A)=£P(Bi)P(A|B)i三贝叶斯公式(逆概率公式)P(B,|A)=nP(B)P(AB)工P(Bi)P(A|Bi)i=1两个事件相互独立P(AB)=P(A)P(B);P(B|A)=P(B);P(BA)=P(B)；二、随机变量及其分布1、分布函数.；P(X=x)F(x)=P(X_x)=x&

3、quot;,P(a:X_b)=F(b)-F(a)；f(t)dt2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律0-1分布XLb(1,p)k1，P(X=k)=p(1-p),k=0,1二项分布X|_b(n,p)P(X=k)=C；pk(1-p广，k=0,1，n泊松分布xLp(九)kP(X=k)=e*,k=0,1,2,IIIk!分布名称密度函数分布函数指数分布XLe(£)f(x)=J,x>0、0,x<0F(x)=，1e-九x,x>0j0,x<0正态分布XUN(hff2)(x平2122f(x)=-e2。42KCT-oo<x<-He1,F(x)-V2iicrx(tPx

4、22-e仃dt标准正态分布XLN(0,1)1-E9(x)=1eA72式8xx<(x)=1V2nx_1t2e2dt4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：P(Y=y)=工pj,i=1,2,|，g(xj)+i连续型：分布函数法，公式法fy(y)=fx(h(y)，h'(y)(x=h(y)单调)三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：P(X=为，Y=yj)=pj,i,j=1,2,比分布函数F(X,Y)=££Pjxi:二xyi<：y边缘分布律：pi=P(X=x)=<PijPj=P(Y=yj)=Pijji一，入pii一Ph条件分布律：P

5、(X=xiY=yj)=,i=1,2,|,P(Y=yjX=xi)=，j=1,2,|pjPi.2、连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质xy分布函数：F(x,y)=f(u,v)dudv性质：F(二，二)，1,-F(x,y)=f(x,y),P(x,y)G)：iif(x,y)dxdy二x：-yg边缘分布函数与边缘密度函数x二二二二分布函数：Fx(x)=ff(u,v)dvdu密度函数：fX(x)=Jf(x,v)dvyFy(y)=f(u,v)dudvfy(y)=f(u,y)du条件概率密度f(x,y)f(x,y).fYX(yx)=，、产,fXY(xy)=一、，°°fX(x)fy(y)

6、3、随机变量的独立性随机变量X、丫相互独立uF(x,y)=FX(x)FY(y),离散型：Pj=Pi.p.j，连续型：f(x,y)=fX(x)fY(y)4、二维随机变量和函数的分布离放型：P(Z=zk)=、'P(X=xi,Y=yj)x十j=Zk连续型：fz(z)=f(x,z-x)dx=Jf(z-y,y)dyE(X)=£xkPk,连续型E(X)=1xf(x)dx性质：E(C)=C,EE(X)=E(X),E(CX)=CE(X),E(X±Y)=E(X)±E(Y)E(aX±b)=aE(X)±b,当X、Y相互独立时：E(XY)=E(X)E(Y)2、

7、方差定义：D(X)=E(X_E(X)2=E(X2)_E2(X)性质：D(C)=0,D(aX±b)=a2D(X),D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)当X、Y相互独立时：D(X±Y)=D(X)+D(Y)3、协方差与相关系数协方差：Cov(X,Y)=E(XY)_E(X)E(Y),当X、Y相互独立时：Cov(X,Y)=0相关系数：p_foXJ),当X、Y相互独立时：PXy=0(X,Y不相关)XY-.D(X)D(Y)协方差和相关系数的性质：Cov(X,X)=D(X),Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X1X2,Y)=Cov(X1,Y)-C

8、ov(X2,Y),Cov(aXc,bYd)=abCov(X,Y)4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望力差0-1分布b(1,p)PP(1-P)二项分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(Z)九九均匀分布U(a,b)a+b2(b-a/12正态分布N(N,tt2)P2CJ指数分布e(A)1122九五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若E(X)=N,D(X)=。2,对于任意8>0<PX-E(X)>£<-DX)2、大数定律：切比雪夫大数定律：若XXn相互独立，,2厂2i1vP1x.E(Xi)=Ni,D(Xi)=Oi2且bj2EC,则：-ZXiT

9、E(Xi),(gg)ni=1ni=1伯努利大数定律：设以是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则寸注>0,有：limP上Ap<=15Un1；n羊钦大致定律：若X1川，Xn独立同分布，且E(Xi)=则1£XiPNni=1n"3、中心极限定理列维一林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量Xi(i=1,2|H),均值为N,方差为a2>0,当n充分大时有：丫=(EXkM1)/J褐一工N(0,1)k-棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：随机变量XB(n,p),则对任意x有：X-np.、limPx=n".np(1-p),znb-n口

10、a-n近似计算：P(a<"XkMb)：，(b-n)-：，(a=n)k?n：jvn;六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体XF(x),则样本的联合分布函数nF(X1，X2Xn)：|F(Xk)2、统计量样本均值:1n，、%2X=Xi,样本万差：S2ni41nn1i12(XiX)21n2-2(Xi2nX)n1i1样本标准差:n2(XiX)2,样本k阶原点距:样本k阶中心距:Bki11nk(XiX)k,k1,2,3川ni1nXik,k1,2i13、三大抽样分布(1)胃分布：设随机变量XiUN(0,1)(i=1,2,用，n)且相互独立，则称统计量222X12X；x2服从自由

11、度为n的片分布，记为7.2222(n)性质：EZ2(n)n,DZ2(n)2n设X72(m),丫X2(n)且相互独立，则2(mn)(2)t分布:设随机变量XN(0,1)，丫72(n),且X与Y独立，则称统计量:矩hE(Xi)(i1,2,1|,k)中包含了未知参数61,02,111,6k,即Agi(M,82，川,瓦)。1,2,|,k)；又设k,X2,L,Xn为总体X的n个样本值，用样本矩代替Ni,在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数用,%用，瓦的矩估计量日1包,川,仇。注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。3.点估计中的极大似然估计设X1,X2,LXn取自X的样本，设Xf(X,6)或X

12、P(x,0),求法步骤:nn似然函数：l®)f仇,日)(连续型)或l®)p(Xi,e)(离散型)i1i1nn取对数：InL(0)Inf(Xi,9)或lnL®)InpGiQ)i1i1.“(X1,X2,|,Xn)解方程：一宇0,l,牡o,解得：mm7,171k九八(X1,X2,|l|,Xn)八、假设检验1.假设检验的基本概念基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。小概率事件的概率就是显著性水平a,常取a=0.05,0.01或0.10。基本步骤提出原假设H；选择检验统计量g(X1,L,Xn);对于a查表找分位数入，使P(g(X1,L,Xn)W)a,从而定出拒绝域W；由样

13、本观测值计算统计量实测值g(X1|,Xn)；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H),否则认为接受H)ow错误第一类错误当H为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H)。这时，我们把客观上H成立判为H为不成立(即否定了真实的假设)，称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记a为犯此类错误的概率，即：P拒绝H|H为真=a;第F错误当H为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H。这时，我们把客观上代不成立判为H0成立(即接受了/、真实的假设)，称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记P为犯此类错误的概率，即：P接受H|H为真=P。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，

14、a变小，则P变大；相反地，P变小，则ot变大。取定a要想使P变小，则必须增加样本容量。XT服从自由度为n的t分布，记为T-t(n).Yn性质：E(T)0(n1),D(T)n/c(rin221t2)limfn(X)中(x)ien二.2二(3)F分布：设随机变量X-2(m),丫72(n),且x与丫独立，则称统计量Xm口口F(m,n)=而服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为FF(m,n),性质：设FF(m,n),则/F(n,m)七、参数估计1.参数估计定义：用8(X1,X2,L,Xn)估计总体参数日，称8(X1,X2,L,Xn)为日的估计量，相应的9(X1,X2，川，Xn)为总体6的估计

15、值。当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2.点估计中的矩估计法:基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数4,82,111,”,它的前k阶原点估计量的评价标准无偏性设a=6(X1,X2,L,Xn)为未知参数6的估计量。若E(9)=9,则称8为8的无偏估计量。功效性设»仇(为，X2,L,Xn)和8202(X1,X2,L,Xn)Mfl参数8的两个无偏估计量。若D(01)D(02),则称91比82有效。一性设£是日的一串估计量，如£0,有limp(|9n6|s)0n则称8n为日的一致估计量(或相合估计量)。4.估计量的评价标准5.单,E态总体参数的置信区间条件参数枢轴量枢轴量分布置信水平为1-口的置信区间已知仃2Z=灯ZnN(0,1)X春又刍味*c2T"S/Jnt(n-1)一S-SXU(n1厅,X卜(n1)nn门4n已知O-2nXN2X-i=t仃*(n)nn(Xik)2(XiN)2i1i1&n),Z&(n)*PCT2y2(n1)S2一2CTTn1(n1)S2(n1)S26(n1)”“(n1)条件原假设检验统1里统计量分布拒绝域一2已知仃H0：N%Z八仃VnN(0,1)1讣%H0：N