高考数学一轮单元复习 第34讲 空间几何体的表面积与体积课件

1、空间几何体的表面积与体积知识梳理知识梳理1空间几何体的结构空间几何体的结构(1)多面体和旋转体多面体和旋转体由若干个平面多边形围成的几何体叫做由若干个平面多边形围成的几何体叫做 围成围成多面体的各个多边形叫做多面体的多面体的各个多边形叫做多面体的，相邻两个面的公共，相邻两个面的公共边叫做多面体的边叫做多面体的，棱与棱的公共点叫做多面体的，棱与棱的公共点叫做多面体的由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做形成的封闭几何体叫做定直线叫做旋转体的定直线叫做旋转体的多面体多面体顶点顶点旋转体旋转体轴轴面面棱棱知识梳理(2)多面体的

2、结构特征多面体的结构特征棱柱的结构特征棱柱的结构特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行其中两互相平行的面叫做棱柱的边形的公共边都互相平行其中两互相平行的面叫做棱柱的，其余各面叫做棱柱的，其余各面叫做棱柱的，相邻侧面的公共边叫做棱柱的，相邻侧面的公共边叫做棱柱的，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的底面是几边形就底面是几边形就叫几棱柱叫几棱柱侧面侧面侧棱侧棱底面底面顶点顶点知识梳理棱锥的结构特征棱锥的结构特征有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角有一个面是多边形，其余

3、各面都是有一个公共顶点的三角形这个多边形面叫做棱锥的形这个多边形面叫做棱锥的，有公共顶点的各个三角形，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的面叫做棱锥的，各侧面的公共顶点叫做棱锥的，各侧面的公共顶点叫做棱锥的，相邻，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧面的公共边叫做棱锥的底面是几边形就叫几棱锥底面是几边形就叫几棱锥棱台的结构特征棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做部分叫做原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的原棱锥的底面与截面分别叫做棱台的和和，两底面间的距离叫做棱台的高棱台也有侧面、，两底面间的距离叫做棱台的高棱台也有侧

4、面、侧棱、顶点棱台侧棱的延长线必相交于一点上、下底面是侧棱、顶点棱台侧棱的延长线必相交于一点上、下底面是相似多边形底面是几边形就叫几棱台相似多边形底面是几边形就叫几棱台底面底面侧面侧面侧棱侧棱顶点顶点棱台棱台上底面上底面下底面下底面知识梳理几种特殊棱柱、棱锥、棱台几种特殊棱柱、棱锥、棱台侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱棱柱叫做正棱柱(正棱柱的侧面是全等的矩形，底面是全等的正棱柱的侧面是全等的矩形，底面是全等的正多边形正多边形)理解下列关系：理解下列关系：正方体正方体正四棱柱正四棱柱长方体长方体直四棱柱直四棱柱直棱

5、柱直棱柱棱柱棱柱知识梳理如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面的射影是如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥顶点到底面的距离叫底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥顶点到底面的距离叫做棱锥的高正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰做棱锥的高正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高如图三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高如图351，高，高SO，斜高，斜高SE.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台正棱台各侧面都是全等由正棱锥截得的棱台叫做正棱台正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高，如图的等腰梯形，

6、这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高，如图352所示，高所示，高，斜高，斜高.知识梳理OOEE(3)旋转体的结构特征旋转体的结构特征圆柱的结构特征圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做所围成的旋转体叫做，旋转轴叫做圆柱的，旋转轴叫做圆柱的轴轴，垂直于轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的的边旋转而成的圆面叫做圆柱的，平行于轴的边旋转而，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的成的曲面叫做圆柱的，无论旋转到什么位置，不垂直于，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的轴的边都叫做圆柱侧面的圆柱和棱柱统称

7、为柱体圆柱和棱柱统称为柱体圆锥的结构特征圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做旋转形成的曲面所围成的几何体叫做棱锥与圆锥统称棱锥与圆锥统称为锥体为锥体知识梳理圆柱圆柱底面底面侧面侧面母线母线圆锥圆锥知识梳理圆台的结构特征圆台的结构特征用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做部分叫做与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线棱台和圆台统称为台体面、母线棱台和圆台统称为台体球的结构特征球

8、的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做的旋转体叫做，简称，简称半圆的圆心叫做球的半圆的圆心叫做球的，半，半圆的半径叫做球的圆的半径叫做球的，半圆的直径叫做球的，半圆的直径叫做球的圆台圆台球体球体球球球心球心半径半径直径直径知识梳理2空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积(1)旋转体的表面积旋转体的表面积圆柱的表面积圆柱的表面积S2r22rl2r(rl)；圆锥的表面积圆锥的表面积Sr2rlr(rl)；圆台的表面积圆台的表面积S(r2r2rlrl)(2)多面体的表面积等于各个面的面积之和多面体的表面积等于各个

9、面的面积之和(3)柱体、锥体与台体的体积柱体、锥体与台体的体积柱体的体积：柱体的体积：VSh；锥体的体积：锥体的体积：VSh；台体的体积：台体的体积：V31.SSSS31h知识梳理(4)球的表面积和体积球的表面积和体积球的表面积：球的表面积：S4R2；球的体积：球的体积：VR3.34 探究点探究点1 1空间几何体的结构空间几何体的结构要点探究要点探究例例1 1下列几个命题，正确的是下列几个命题，正确的是_棱柱的侧面都是平行四边形；棱柱的侧面都是平行四边形；棱锥的侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点；棱锥的侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点；多面体至少有四个面；多面体至少有四个面；棱台

10、侧棱所在直线均相交于一点棱台侧棱所在直线均相交于一点要点探究【思路】【思路】 本题就是考查多面体的定义本题就是考查多面体的定义【解析【解析】 由多面体的定义可知由多面体的定义可知均正确，而均正确，而棱台是棱台是由棱锥所截而得，所以由棱锥所截而得，所以也正确也正确【答案【答案】 【点评【点评】 本题就是要熟练掌握多面体的定义对几何体的本题就是要熟练掌握多面体的定义对几何体的结构除掌握定义之外，还要利用空间想象力，理解几何体之间结构除掌握定义之外，还要利用空间想象力，理解几何体之间的位置关系，如下变式题：的位置关系，如下变式题：要点探究变式题变式题已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某已知棱长都

11、相等的正三棱锥内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，人画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形如下，则正确的有则正确的有_(填序号填序号)要点探究【思路【思路】 过球心的截面一定过该三棱锥的中心过球心的截面一定过该三棱锥的中心【答案【答案】 【解析【解析】 注意到过球心的条件，易判断注意到过球心的条件，易判断不合题意，不合题意，正确正确 探究点探究点2 2几何体的表面积和体积几何体的表面积和体积要点探究例例2 2 2009全国卷全国卷 直三棱柱直三棱柱(侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面)ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若的各顶点都在同一球面上，若ABAC

12、AA12，BAC120，则此球的表面积等于，则此球的表面积等于_【思路【思路】 由已知可求得三角形由已知可求得三角形ABC的外接圆半径，构造的外接圆半径，构造直角三角形，利用勾股定理可求球半径直角三角形，利用勾股定理可求球半径【答案【答案】 20要点探究【解析【解析】 在在ABC中，中，ABAC2，BAC120，得角得角B30，在，在ABC中由正弦定理得中由正弦定理得2r，可，可得得ABC外接圆半径外接圆半径r2，设此圆圆心为，设此圆圆心为O，球心为，球心为O，在在RtOBO中，中，OO1，易得球半径，易得球半径R，故此球的表，故此球的表面积为面积为4R220.30sinAC5【点评【点评】

13、本题的关键是理解组合体的结构，在三角形中本题的关键是理解组合体的结构，在三角形中综合运用正弦定理和勾股定理，求出组合体中球的半径几综合运用正弦定理和勾股定理，求出组合体中球的半径几何体的表面积和体积，只要求出有关量，代入公式就可计何体的表面积和体积，只要求出有关量，代入公式就可计算算要点探究变式题变式题已知一个空间几何体的三视图如图已知一个空间几何体的三视图如图354所示，所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸的尺寸(单位：单位： cm)，可得这个几何体的体积是，可得这个几何体的体积是()A B. C. D23435

14、要点探究【解析【解析】 C由三视图可知，该几何体由一个半球和一由三视图可知，该几何体由一个半球和一个圆柱组成，球半径为个圆柱组成，球半径为1，圆柱的高和底面半径均为，圆柱的高和底面半径均为1，故，故该几何体的体积为该几何体的体积为13121.342135 探究点探究点3 3几何体中的最值问题几何体中的最值问题要点探究【思路【思路】 画出平面展开图，将空间问题转化为平面问题画出平面展开图，将空间问题转化为平面问题例例3 3如图如图355，在直三棱柱，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面中，底面ABC为直角三角形，为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是是BC1上一动点，则上一动点，则C

15、PPA1的最小值是的最小值是_2【答案【答案】25要点探究【解析【解析】 把面把面A1C1B沿沿BC1展开与展开与CBC1在同一个平面在同一个平面上，连上，连A1C，如图，如图356所示所示ACB90，AC6，BCC1C，A1C1B90，A1C16，CC1A1135.在在CC1A1中，利用余弦定理中，利用余弦定理A1C22CC1A1C1cosCC1A150.A1C5，即，即CPPA1的最小值为的最小值为5.21211CCCA22要点探究【点评【点评】 几何体表面的最值问题，一般是利用展开图进几何体表面的最值问题，一般是利用展开图进行求解本题最大的困难是正确画出平面展开图，因为行求解本题最大的困

16、难是正确画出平面展开图，因为A1P在几何体内部，可依据它所在的平面在几何体内部，可依据它所在的平面A1C1B绕绕BC1展到与平面展到与平面CBB1C1重合注意想象展开后平面图形的形状当展开图重合注意想象展开后平面图形的形状当展开图有多种时注意选择适当的图形，如下变式题：有多种时注意选择适当的图形，如下变式题：要点探究变式题变式题如图如图357，在正方体，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，F为棱为棱AB的中点，如果的中点，如果AB1，一个点从，一个点从F出发在正方体的表出发在正方体的表面上依次经过棱面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回上的点，又回到到F，指出整

17、个线路的最小值并说明理由，指出整个线路的最小值并说明理由要点探究【解答【解答】 如图如图358，将正方体六个面展开，从图中，将正方体六个面展开，从图中F到到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为上的中点，所求的最小值为3.2 探究点探究点4 4折叠问题折叠问题要点探究例例4 4 给出一边长为给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，

18、用虚线标在图积相等，设计一种折叠方法，用虚线标在图359中，并求该三中，并求该三棱锥的体积棱锥的体积要点探究【思路【思路】 沿正三角形的三条中位线折得三棱锥构造直角沿正三角形的三条中位线折得三棱锥构造直角三角形，求三棱锥的高是求体积的关键三角形，求三棱锥的高是求体积的关键【解答【解答】 如图如图3510所示，取等边三角形三边的中点所示，取等边三角形三边的中点A、B、C，连接，连接AB、BC、CA(原三角形三条中位线原三角形三条中位线)得得ABC，以中位，以中位线为折线折起三角形，使三角形三顶点重合，则得侧棱长与底线为折线折起三角形，使三角形三顶点重合，则得侧棱长与底面边长都等于面边长都等于1的

19、三棱锥的三棱锥SABC(如图如图3511)，作，作SO平面平面ABC，则易证点，则易证点O是是ABC的重心，连接的重心，连接CO并延长交并延长交AB于于E，则则E是是AB的中点，连接的中点，连接SE.要点探究O是是ABC的重心，的重心，OCCE32,3312332要点探究在在RtSOC中，中，SC1，SOV三棱锥三棱锥SABCSABCSOCEABSO22OC-SC31，3631-12131.1223612361【点评【点评】 折叠问题应分清折叠前、后几何图形中变化的量折叠问题应分清折叠前、后几何图形中变化的量与不变的量，不变的量常常是后续解题的已知条件与不变的量，不变的量常常是后续解题的已知条件规律总结规律总结