自考线性代数预测

1、一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码埴在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m,an=n,则行列式all al2 +a13a2 a 22 + a 23等于（A. m+nC. n-mB. -(m+n)D. m-n10 02 .设矩阵人=0 2 0 、0 0 3;则A等于（o o 1 o 1 - 20 二 3 o oA.00 1 - 0 1-2 o1 o oo 0 1-2 010 -30 o Ico o 1 o 1-30 1-2 o o / D3-12'3.设矩阵人=10-1,A*是A的伴随矩阵，则A

2、"中位于（1,2）的元素是（-214；A.-6B.6C.2D.-24 .设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有（）A.A=0B.BwC时A=0C.A工0时B=CD.IAI,0时B=C5 .已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（Ar）等于（）A.1B.2C.3D.46 .设两个向量组a1，a2,as和Bi,B2,，Bs均线性相关，则（）A.有不全为0的数人1，入2，入s使人】a1+入2a2+入s=0和入1B1+入2B2+3Bs=0B.有不全为0的数人1，42，3使入1（ai+BI）+A?（a2+B2）+L（a$+Bs）=0C.有不全为0的数人】，A.2,s使，1（alBI）+

3、，2（a2-B2）+人s（aB$）=0D.有不全为0的数人，入2,，3和不全为。的数口】，口2,，口$使'1ai+Aa2+X1sds=0和口Bi+u2B2+usPs=07 .设矩阵A的秩为r,则人中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0c,至少有一个r阶子式不等于08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,a. n i+ n 2是Ax=o的一个解c. n卜n 2是Ax=o的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）vn=0B.2 n】+: n?是Ax=b的一个解22n i- n 2是Ax=b的一个解B.秩（A）=n-1D.方程组Ax=0只有零解D.所有r阶子式都不

4、为0是其任意2个解，则下列结论错误的是（10.设A是一个n（23）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数人和向量a使Aa=Na,则a是A的属于特征值人的特征向量B.如存在数人和非零向量a,使（入E-A）a=0,则'是A的特征值的2个不同的特征值能够有同一个特征向量D.如幻，X2,入3是A的3个互不相同的特征值，a”a2,<13依次是A的属于,入2,入3的特征向量，则a】，a2,a3有可能线性相关11 .设A。是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）B.k<3A.kW3C.k=3D.k>312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的

5、是（）AA|2必为1B.IAI必为1=AT的行（列）向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）与B相似B.A与B不等价C.A与B有相同的特征值D.A与B合同14,下列矩阵中是正定矩阵的为（）3、4;B.<21 1 1D. 1 2 0J 0 2；100C.02-3.0-35，第二部份非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答进程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115.356=9253616,设A11一< 1 1(123A.B=.则A+2B=k-1-24；17.设A=（aij）3x3

6、,IAI=2,Ay表示IAI中元素ay的代数余子式（i,j=l,2,3）,则(aA2+a2A22+a13A23>+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a3A2+a32A22+a33A23)2=.18 .设向量(2,-3,5)与向量(46,a)线性相关，则a=.19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若ni，2为非齐次线性方程组人乂=1)的2个不同的解，则它的通解为.20,设A是mXn矩阵，A的秩为r(<n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21.设向量a、B的长度依次为2和3,则向量a+B与aB的内积(a+B,aB)=.22,设3阶矩阵A的行列式I

7、AI=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.0 10 6、23,设矩阵 A= 1 -3 -3-2 10 8,(2、已知a=-1是它的一个特征向量，则a所对应的特征值12为24.设实二次型贻|力闪出心)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)1 2 0、25,设 A= 3 4 0-1 2 1?3n31 -126 .试计算行列式-52110-52-4一1一 34 2 3、27.设矩阵人=1 1 0L1 2 3)求矩阵B使其知足矩阵方程AB=A+2B28 .给定向量组a试判断是不是为5，a2,的线性组合：若是,则求出组合系数。B=,求(1)A

8、BT；(2)I4AL1-240)0 2、6 -62 33 4;1-2-1-24229 .设矩阵人=:：2-10i333求：(1)秩(A)；(2) A的列向量组的一个最大线性无关组。0-22、30 .设矩阵A=-2-34的全数特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使,24fT"T=D.31 .试用配方式化下列二次型为标准形3 X2 X 4并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32 .设方阵A知足然=0,试证明E-A可逆，且（E-A）-E+A+A2.33 .设nu是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，cI.另是其导出组Ax=o的一个基础解系

9、.试证明（1）n1=Q（）+Cp。2=1）0+1均是，4乂=1）的解：（2） no,n“n：线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）二、填空题 15.616.3 3-1 - 3（本大题共10空，每空2分，共20分）7 717.418.-1019 .ni+c(i)2-ni)(或Q2+c(n2-nA，c为任意常数20 .n-r21 .-522 .-223 .1242 2 Z +2 I Z2 3 Z三、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分）-2、40;1225 .解(1)ABt=34-I2,86=1810.<310>(2)I4AI=43IAI=64

10、IAI,而120340-121所以14Al=64(-2)=-12831-1251-1I26.解-513-4-1113-1201-100101-53一3-5-530511=-111-1-5-5027.解 AB=A+2B 即(A-2E) B=A,而'2(A-2E)1-19-12-4 -3、-5 -364；所以B=(A-2E)1A= 1-1-4 - 3j 4 2 3'-5 -3 1 1 06 4 Jl-1 2 3>'3 -8 -6= 2-9-6i-2 12 9,28.解一二2 1301-3 0-10 2 2 434-19y0-53-2、1-30-1011213-1035

11、 ,0112008800-14-14,0 3 50 1120 0 110 0 0 6U 0 0 20 10 10 0 110 0 0 0;所以a 4=2 a i+a 2+a 3,组合系数为(2, 1, 1).解二 考虑 a 4=xi a 1+X2 a 2+X3 a 3,-2X| +x2 +3x3 =02x2+2x3=43X+4x2-X3=9.方程组有唯一解（2,1,1）T,组合系数为（2,1,1）29J?对矩阵A实施初等行变换1-2-10206-228-263-2>、1-2-1020328-30006-2000-217;工1-2-1020328-3=B.0003-100000；y(1)秩

12、(B)=3,所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第一、二、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第一、二、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第一、二、5列或一、3、4列，或一、3、5列也是）30.解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为C1=（2,一1,0）T,口=（2,0,1）T.2岛5、经正交标准化，得n尸-75/5、°>2回15、n2=4-75/15<后3,入=.8的一个特征向量为11/32,经单位化得n3=2/32/3/所求正交矩阵为2、月/5T=-75/502V15/I51/347

13、5/152/3同3-2/3,U0对角矩阵D=0IvO02后/52V15/15(也可取1=0-V5/3V5/5-475/151/32/3.)-2/3/31.解f(X,X2,X3)=(X+2X2-2X3)2-2X22+4X2X3-7X32=(xi+2x2-2x3)2-2(X2-X3)2-5x32.y1=+2x2-2x>r2=173=卜=y2y2叫X2=Y2+Y3)3=、3故此线性变换满秩。1-2O'因其系数矩阵C=o11可逆,00L经此变换即得f(X|,X2,X3)的标准形yi2-2y22-5y32.四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)32 .证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)->=E+A+A2.33 .证由假设