历年高考数学真题汇编专题21空间向量与几何体(解析版)

1、专题21空间向量与几何体1、【2021年高考浙江卷】如图,三棱柱ABCABCi,平面AACCi平面ABC,ABCBAC30,AAACAC,E,F分别是AC,AiBi的中点.(1)证实：EFBC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值【解析】方法一：(1)连接A1E,由于A1A=A1C,E是AC勺中点,所以A1E±AC.又平面A1ACG,平面ABC,A1E平面A1ACC,平面A1ACOn平面ABOAC,所以,AE,平面ABC,那么A1E,BC.又由于A1F/AB,ZABC=90°,故BdA1F.所以BC1平面A1EF.因此EF!BC.(2)取BC点G,连接EG,GF,那

2、么EGFA是平行四边形.由于AiE,平面ABC,故AiE,EG,所以平彳T四边形EGFA为矩形.由(1)得BC,平面EGFA,那么平面AiBC,平面EGFA,所以EF&平面AiBC±的射影在直线AiG上.连接AiG交E盯O,那么/EO洸直线£臼平面AiB所成的角(或其补角)不妨设AC=4,那么在RtAAiEG,AiE=273,EG=出.由于.为AiG的中点,故EOOG些5,22所以cosEOGEO2OG2EG232EOOG53因此,直线EFW平面AiBC所成角的余弦值是-5方法二：(I)连接AiE,由于AiA=AiC,弱AC勺中点,所以AiEAC又平面AiACQ,平

3、面ABC,AiE平面AiACQ,平面AiAC.叶面ABC=AC,所以,AiE,平面ABC.E二yz.如图,以点E为原点,分别以射线ECEAi为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系不妨设AC=4,那么Ai(0,0,24),B(百,1,0),31(73,3,273),F(3,|,2V3),C(0,2,0).uuir.33_uuir(73,1,0).因此,EF(-,2、3),BC22上uuruum由EFBC0得EFBC.(2)设直线EFf平面AiB的成角为0.uur_uuir_由(1)可得BC=(J3,1,0),AC=(0,2,2V3)-设平面AiBC的法向量为n(x,y,z),uuir,BCn0/

4、口.3xy0由,得广,ACn0y3z0uur-uuir.IEFnI取n(1,3,1),故sin|cos(EF,n)|=-uuu-,|EF|n|3因此,直线EFW平面ARC所成的角的余弦值为一.5此题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等根底知识,同时考查空间想象水平和运算求解水平2、【2021年江苏卷】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(第22题)(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.【解析】(1)先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据向量数量积求得向量DKAC,的

5、夹角,再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；(2)利用平面的方向量的求法列方程组解得平面AQCj的一个法向量,再根据向量数量积得向量夹角,最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果详解：如图,在正三棱柱ABC-AiBiCi中,设AC,A1C1的中点分别为O,Oi,那么OBXOO,OOiXOC,OOiXOB,以:而+Ch为基底,建立空间直角坐标系O-xyz.由于AB=AAi=2,所以“收四-1为马(1)由于P为AiBi的中点,所以P(上,=-2,22二51-从而BP=(-=(.二:I,22|HP'A_E|I.+4|32斑卜|A七|木工项而,一一八、一一3%而因此,异面直线BP与A

6、g所成角的余弦值为_.2.(2)由于Q为BC的中点,所以lxg±0),因此AQ=(,-,0：,八号(02U(±i=(0.0.2).设n=(x,v,z)为平面AQCi的一个法向量,3x+-y=0,.2y12zw0设直线CCi与平面AQCi所成角为.|CCtn|2平n-rmtICCJ'|nl6*25所以直线CCi与平面AQC1所成角的正弦值为3、【2021年江苏卷】如图,在平行六面体ABCDAiBiCiDi中,AAi,平面ABCD,且AB=AD=2,AAi=5,/BAD=i20°.(i)求异面直线AiB与ACi所成角的余弦值;(2)求二面角BAiDA的正弦值.

7、解：在平面ABCD内,过点A作AELAD,交BC于点E.由于AAJ平面ABCD,AE,AD?平面ABCD,所以AA/AE,AAi±AD.如图,以Al,AD,AX.为正交基底,建立空间直角坐标系Axyz.由于AB=AD=2,AAi=、3,/BAD=i20°,那么A(0,0,0),B(.J,i,0),D(0,2,0),E(3,0,0),Ai(0,0,m),Ci(3,i,3).贝Ucosa!B,ACi>|涵鬲|7i因此异面直线AiB与ACi所成角的余弦值为.(i)AB=(%3,i,一艰),aCi=(J3,i,J3),aTbaCi_.一,一-,匚公公、(2)平面AiDA的一个

8、法向量为AE=(3,0,0).设m=(x,v,z)为平面BAiD的一个法向量,又aTb=N3,i,-X3),Bd=(-3,3,0),mAiB=0,mBD=0,不妨取x=3,那么y=3,z=2,所以m=3,、32为平面BAiD的一个法向量,从而cosAtm3,.,03平,2=3|Al|m|月443设一面角BAiDA的大小为0,那么|cos14.由于0,所以sin0=1一cos20=因此二面角BAiDA的正弦值为子.4、【2021年高考浙江卷】如图,多面体ABCAB1C1,AiA,BiB,CiC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,AiA=4,OC=1,AB=BC=BiB=2.(1)证

9、实：ABi,平面AiBiCi;(2)求直线ACi与平面ABBi所成的角的正弦值.【解析】方法一：(1)由AB2,AAi4,BBi2,AAAB,BBiAB得ABAB272,222所以ABiABiAAi.故ABiAiBi.由BC2,BBi2,CCi1,BBiBC,CCBC得B1clV5,由ABBC2,ABC120得AC2向,222由CCAC,付AG,13,所以ABiB1C1AC1,故ABiB1C1.因此ABi平面ABiCi.如图,过点Ci作CiDAiBi,交直线AiBi于点D,连结AD.由ABi平面ABiCi得平面ABiCi平面ABBi,由CDAB得CD平面ABB1,所以CiAD是ACi与平面AB

10、Bi所成的角.由BCi75,AB272,ACi标得cosGAB,sinC1ABi.7所以CDJ3,故sinC1ADCDACi3913因此,直线ACi与平面ABBi所成的角的正弦值是3913方法二：1如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:A(0,后0),B(1,0,0),A(0,73,4),B(1,0,2),01(0,73,1),uuu_uuiu因此ABi(1,3,2),AB一uuu(1,、,3,2),AC1(0,2.3,3),uuuuuu由AB1AB10得AB1AB1.uuuuuu由AB1AC10得AB1AC1.

11、所以AB1平面A,B1cl.(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为uuur_uuu_uuir由(1)可知AC1(0,273,1),AB(1,店,0),BB1(0,0,2),设平面ABB1的法向量n(x,y,z).uiu_nAB0,x、.3y0寸由uuu即可取nnBB10,2z0,(.3,1,0).所以sin.uuir|cos:.AC1,n.：|uuur4AIAC1I|n|3913因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是由9.13.5、【2021课标3,理19如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,/ABD=ZCBD,AB=BD.(1)证实：平面ACD,平面AB

12、C;(2)过AC的平面交BD于点E,假设平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两局部,求二面角DREP的余弦值.【解析】试题分析：1利用题意证得二面角的平面角为如,那么可得到面面垂直J利用题意求律两个半平面的注向量,然后利用公式二面角的夹角公式可求得二面角的余弦值为直.试题解析：(0由题设可得,三ACM,从而HD=QC又是直角三曲形,mZJCD-905取且由卬点.,连接贝山.LiCDCTO又由于ZkABC是正三角形,tif.BO±AC.所以H道为二面甬QHC-身的平面甬.在KrAAOE中,SO1+HQ：=A£:又AB,所4月0二+.0二=BO*¥AOA=BD&#

13、39;,械=901所以平面ACD上平面ABC(2)uuauuu由题设及(1)知,OA,OB,OC两两垂直,以O为坐标原点,0A的方向为x轴正方向,OA为单位长,建立如下图的空间直角坐标系Oxyz.那么A1,0,0,B0,3,0,C1,0,0,D0,0,11由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的-,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距2离的1,即E为DB的中点,得E031.故2'22uuuruuuruur31AD1,0,1,AC2,0,0,AE1,22xz0,2z00uuurnqAD0,幡设门=x,y,z是平面DAE的法向重,那么uur即nqAE0,.3可取n1,

14、1.3uur设m是平面AEC的法向量,那么mqAC°,同理可得m0,1,73mqAE0,贝Ucosn,m所以二面角D-AE-C的余弦值为6、【2021江苏高考】如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,ABCBAD-,PAAD2,ABBC12(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成角最小时,求线段BQ的长试题分析:求二面用关键窕出两个平面的;去向量此题中平面中8法向量,故关键求平面艮"的法向量,利用向量垂直关系可到比平面尸?3的法向量两个独立条件,再柜提向量数量积求二面角余弦值：先建

15、立直线CQ与口P所成角的的数关系式；设呢日那么8Sf函而D.再【解析】利用导数求其最值I确定点Q坐标,最后利用向量模求学探史BQ的长试题解析,以轴:而:不：为正交基底建立如下图的空间直角坐标系A-4工、那么各点的坐标为1,0,0,C1,1,0,D0,2,0,0,0,2uuir"(1)由于D平面,所以D是平面的一个法向量,D0,2,0uuruur由于C1,1,2,D0,2,2.r设平面CD的法向量为mx,y,zuurCruuu0,mD0,即xy2z02y2z0令y1,解得z1,x1.一.r所以m1,1,1是平面CD的一个法向量.uurr从而cosD,muurrDmunr3与平面CD所成

16、二面角的余弦值为3uuu(2)由于uuiruu1,0,2,设Q,0,2(0uur又C0,1,0uuruu,那么CQCuurQuuu,1,2,又D0,2,2,uuruuu从而cosCQ,DuurmuDuuCQ/tutrCQD121022t,t2t25t210t92c1520109-t999当且仅当t一,即5一时,5)uuiruun%cosCQ,D；'的最大值为31010由于ycosx在0,上是减函数,此时直线2CQ与D所成角取得最小值.又由于&22后,所以Q25难点突破一、根底知识(一)刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题,而方向向量可由直线上的两

17、个点来确定2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度,何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线,法线的方向向量就是平面的法向量,3、如何求出指定平面的法向量呢？r求法：(先设再求)设平面的法向量为nx,y,z,假设平面上所选两条直线的方向向量分别为rrax1,y1.z1,bx2,y2,z2,那么可列出方程组：x1xx2xyyy2yZiZZ2Z解出x,y,z的比值即可(二)空间向量可解决的立体几何问题rr(用a,b表示直线a,b的方向向量,irr用m,n表示平面的法向量)1、判定类rr(1)线面平行：a/ba/lbrr(2)线面垂直：ababirr(3)面面平行：/m/nnirr(4)面面垂

18、直：mn2、计算类:(1)两直线所成角：coscos：；a,brir(2)线面角：sin(3)二面角：cos,rircos.a,mirrcos：m,nam-r-tramirrmnm1n或cos,irrcos：；m,nirrimifj(视平面角与法向量夹角关系而mn定)(三)、关于通过向量求角的一些注意点1、线线角：线线角一定是锐角或者直角,通过向量求角可能会出现钝角或者余弦值为负的,要注意转化.2、线面角：线面角是指斜线与平面内的摄影所成的角,并且也是锐角.但是通过直线的方向向量与平面的法向量所求的角所求的角不是同一个角,要注意转化.3、面面角：面面角是通过平面的法向量求出的角,所求出的角与面

19、面角相等或者互补,因此要注意观察题目中所给的角为锐角还是钝角.题型一异面直线所成的角线线角一定是锐角或者直角,通过向量求角可能会出现钝角或者余弦值为负的,要注意转化.例1、(2021南京、盐城一模)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA,平面ABCD,AD=1,PA=AB="2,点E是棱PB的中点.(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2)求二面角BECD的余弦值.JF-e-*思路分析第(1)问,欲求“异面直线EC与PD所成角的余弦值,即求“直线EC与PD方向向量的余弦值的绝对值"；第(2)问,欲求“二面角BECD的余弦值,那么需先求“两平面法向量夹角余弦

20、值,再根据图形判断二面角与向量夹角的大小关系判断符号.标准解答(1)由于PAL底面ABCD,且底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP分别为x,v,z轴建立空间直角坐标系.又由于PA=AB=12AD=1,所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,V2),(2分)由于E是棱PB的中点,所以E0,§,所以G=*,1,J,PD=(0,1,-j2),«2+1+2>o,1+2所以cos<EC,PD>=j1+1=受,所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为6.(6分)(2)由(1)得eC

21、=¥,1,一考BbC=(0,1,0),dC=«20,0).旦返1=0设平面BEC的法向重为n1=(x1,y1,z1),所以22y1=0.令X1=1,那么z1=1,所以平面BEC的一个法向量为m=(1,0,1).2,205十.曰、,X2+y2cZ2=0,设平面DEC的法向量为n2=(x2,y2,Z2),所以2'2'2x2=0.令Z2="那么y2=1,所以平面DEC的一个法向量为n2=(0,1,柩,BECD的余弦值AD/BC,AP=所以cosn1,n2>=*.由图可知二面角BECD为钝角,所以二面角y1+1x<1+23为一日3.(10分)3

22、例2、(2021南京学情调研)如图,在四棱锥PABCD中,PAL平面ABCD,ABXAD,AB=AD=1.汽,一,(1)假设直线PB与CD所成角的大小为了,求BC的长；(2)求二面角BPDA的余弦值.解答(1)以靠,AD,AP为单位正交基底,建立如下图的空间直角坐标系Axyz.由于AP=AB=AD=1,所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).设C(1,y,0),那么危=(1,0,1),(CD=(-1,1-y,0).(2分)由于直线.汽PB与CD所成角大小为,3所以|cos一大PBCD1PB,CD>|=1,1TT丁IPBI-ICDI2即-y=>11

23、,解得y=2或y=0(舍),.2x5+(1y)22所以C(1,2,0),所以BC的长为2.(5分)(2)设平面PBD的法向量为m=(x,v,z).由于PB=(1,0,1),PD=(0,1,1),PB-n1=0,PD-n1=0,xz=0,yz=0.令x=1,那么y=1,z=1,所以n1=(1,1,1).(7分)由于平面PAD的一个法向量为n2=(1,0,0),所以cosn1,n2>nn2|f3|n1|n2|3所以,由图可知二面角BPDA的余弦值为*.(10分)解后反思1.先建立空间直角坐标系,再利用位置关系解出或设出各点坐标,求出要用的向量坐标,切具备后再进行相关角的计算,忌书写混乱；2.

24、平面PAD的法向量可直接利用题中垂直信息来减少计算量.例3、(2021苏州暑假测试)如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1E=CF=1.(1)求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.z轴,.标准解答(1)由于DA,DC,DD1两两垂直,所以分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,如下图.由于棱长为3,AiE=CF=1,那么D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),Di(0,0,3),Ci(0,3,3),E(3,0,2),F(0,3,1).(2所以ACi=(-3,3,3),DiE=(3,0,

25、-1),所以?ACiDiEcosACi,DiE|ACi|DiE|一93；9+9+9/9T1230i5,所以异面直线ACi与DiE所成角的余弦值是2伊.5分15.一_二,一一.、,(2)设平面BEDiF的法向量是n=(x,y,z),又由于BE=(0,-3,2),BF=(-3,0,i),n±BE,n±BF,所以nBe=0,nBF=0,3y+2z=0)即令z=3,那么x=i,y=2,所以n=(i,2,3).(7分)3x+z=0,又ACi=(3,3,3),所以ACincos<ACi,n>=7|ACi|n|3+6+9/i+4+949+9+9242=2i,所以直线ACi与平

26、面BEDiF所成角的正弦值为|cosaCi,n="22.分)题型二直线与平面所成的角线面角是指斜线与平面内的摄影所成的角,并且也是锐角.但是通过直线的方向向量与平面的法向量所求的角所求的角不是同一个角,要注意转化.例4、(2021常州期末)如图,在空间直角坐标系Oxyz中,正四棱锥PABCD的高OP=2,点B,D和C,A分别在x轴和y轴上,且AB=蚯,点M是棱PC的中点.(1)求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；(2)求二面角APBC的余弦值.标准解答(1)记直线AM与平面PAB所成角为e,A(0,1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,_1.1,/.c、_3.2

27、),M0,2,1,那么AB=(1,10),PA=(0,-1,-2),AM=0,5,1.设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),所以nAB=0,-八nFA=0,x+y=0,即令x=2,那么y=2,z=1,-y-2z=0,所以平面PAB的一个法向量为n=(2,2,1),所以sina=|cosn,Am>|=nAM|n|AM|41313393义2.(5分)即直线AM与平面PAB所成角的正弦值为413八390分)(2)设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),BC=(1,1,0),PB=(1,0,2).n1bC=0x1+y1=0,由'即令x1=2,那么y=2,z=1,所以平面PB

28、C的一个法向量为n1=(2,2,n1PB=0,x1一2z1=0,、,nn111八、1),所以cosn,n1=|n|n13X3=9.(9分)由图可知二面角APBC为钝角,故二面角的余弦值为一1.(10分)9例5、(2021镇江期末)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB±AC,AB=2,AC=4,AA1=3,D是BC的中点.(1)求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1DC1A1的余弦值.is标准解答在直三棱柱ABCAiBiCi中,有ABLAC,又AAiAB,AAiXAC,以aB,AC,aAi的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如下图.1分由于AB=2

29、,AC=4,AA1=3,那么A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),Ai(0,0,3),Bi(2,0,3),Ci(0,4,3).由于D是BC的中点,所以D(i,2,0).DCi=(T,2,3),设n1=(xi,yi,zi)为平面AiBiD的法向量,AiBi=(2,0,0),B1d=(i2,AiBi.n1=0,3),所以BiD-n1=0,2xi=0,即取ni=(0,3,2)为平面AiBiD的一个法向量.-xi+2yi-3zi=0.(3分)设直线DCi与平面AiBiD所成角为一126山82&那么sin0=|cosDCi,ni>1=布34=%,所以直线DCi与平面AiBi

30、D所成角的正弦值为6岁.5分91一一DCi,n2=0,(2)DCi=(T,2,3),BiCi=(2,4,0),设n2=(x2,y2,z2)为平面BiDCi的法向量,所以一BiCi-n2=0,-x2+2y2+3z2=0,即取n2=(2,1,0)为平面BiDCi的一个法向量.(7分)-2x2+4y2=0,同理可以求得平面AiDCi的一个法向量为n3=3,0,1,那么cos<n2,n3>632八=而75=5.(9分)由图可知二面角为锐角,故二面角BiDCiAi的余弦值为32.分例6、2021镇江期末如图,在棱长为3的正方体ABCD-AiBiCiDi中,AiE=CF=1.1求两条异面直线A

31、Ci与BE所成角的余弦值;2求直线BBi与平面BEDiF所成角的正弦值.分那么A(3,0,0),Ci(0,3,3),ACi=(3,3,3),B(3,3,0),E(3,0,2),BE=(0,-3,2).(2分)所以cosVaCi.bI、©匪5|ACi|BE|-9+6373X13啜,故两条异面直线ACi与BE所成角的余弦值为要.53939.标准解答1以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如下图,(2)B(3,3,0),BE=(0,-3,2),DiE=(3,0,-1).设平面BEDiF的一个法向量为n=(x,y,z),3xz=0,3y+2z=0,y=2x所以那么n=(x,2x,3x),不

32、妨取n=(i,2,3),z=3x,设直线BBi与平面BEDiF所成的角为a,那么sina=|cosBBi,n>|=一93i4八3X诟=i4.(9分)3i4所以直线BBi与平面BEDiF所成角的正弦值为W-.分题型三平面与平面所成的角:面面角是通过平面的法向量求出的角,所求出的角与面面角相等或者互补,因此要注意观察题目中所给的角为锐角还是钝角.例7、20i9盐城市20i9届高三第三次模拟测试如图,在四棱锥PABCD中,PAL底面ABCD,AD/BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.标准解答(

33、1)设BC的中点为E,由AB=AC,可知AEBC,故分别以AE,AD,AP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如下图).(2分)那么A(0,0,0),P(0,0,4),D(0,3,0),B(力,2,0),C(52,0).(1)设.为两直线所成的角,由危=(J52,4),CD=(一45,/日八PBCD7<6八信cos0=;=-30-.(6分)|PB|CD|1,0),(2)设n1=(x,v,z)为平面PBC的法向量,晶=川5,2,4),PC=(5,2,4),PBm=0,PCm=0,V5x2y4z=0,即取平面PBC的一个法向量m=(4,0,5),V5x+2y4z=0,平面PAD的一个

34、法向量为n2=(1,0,0).设a为两个平面所成的锐二面角的平面角,那么COSa所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为mn24J21一|n1|-|n2|-21.421八21.(10分)例8、(2021常州期末)如图,以正四棱锥VABCD的底面中央O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz,其中Ox/BC,Oy/AB,E为VC的中点.正四棱锥的底面边长为2a,高为h,且有cos晶,DE1549.h,(1)求-的值；a(2)求二面角BVCD的余弦值.,标准解答(1)根据条件,可得B(a,aaha,0)C(a)a,0)D(a,a,0),V(0,0,h),E2>225所以BE=-2a,-|

35、,h232a2=Dih2,、h26a2故cosBE,DE=h2+10a2.(3分)又cosBE,DE15h26a21549'h2+10a249'解得h=3.(4分)a2-,h3,B->3a3;a33(2)由|=2,彳BE=-2a,一24a,DE=,a,4a,且容易得到,CB=(2a,0,0),DC=(0,2a,0).、一,、,3、,n1BE=0,设平面BVC的法向重为n1=(x1,y1,z1),那么nCB=0.3a,3-oax1一°y+,.az1=0,即22y4,2ax1=0,X1=0,2y1=3z1,取y1=3,Z1=2,那么m=(0,3,2).(6分)同理可

36、得平面DVC的一个法向量为n2=(3,0,2).(8分)cosn1,n2>n1n2_0X343X0+2X2=互|n111n2|?13><玲13结合图形,可以知道二面角BVCD的余弦值为一布.(10分)专题测试1、(2021南京学情调研)如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD的边长AB=3,侧棱AA1=2,E是棱CC1的中点,点F满足AF=2FB.(1)求异面直线FE和DBi所成角的余弦值；(2)记二面角EBiFA的大小为0,求|cos9|.标准解答在正四棱柱ABCDAiBiCiDi中,以DA,DC,DDi为正交基底,建立如下图的空间直角坐标系Dxyz.由于A

37、B=3,AAi=2,一一,tE是CCi的中点,AF=2FB,所以E(0,3,1),F(3,2,0),Bi(3,3,2).(2分)从而fE=(3,1,1),品i=(3,3,2).设异面直线FE和DBi所成的角为%一一一3X3+1X3+1X242T那么cosa=|cosFEdBi|=7=j=j=411X422V11X'2211因此,异面直线FE和DBi所成角的余弦值为平.(5分)(2)设平面BiFE的法向量为ni=(x,y,z).由于fE=(3,1,1),国i=(0,1,2),ni-FE=0,3x+y+z=0,x=%,由得所以3ni晶i=0,y+2z=0,y=-2z.取z=3,那么平面Bi

38、FE的一个法向量为ni=(1,6,3).(8分)又由于平面ABiF的一个法向量为n2=(1,0,0),所以cosni,n2>1在46X146因此|cos0|=|cosni,446n2|=36".(10分)2、(2021镇江期末)如图,AC±BC,O为AB中点,且DC,平面ABC,DC/BE.AC=BC=DC=BE=2.(1)求直线AD与CE所成角；(2)求二面角OCEB的余弦值.解答(1)由于AC,CB且DC,平面ABC,那么以C为原点,CB为x轴正方向,CA为y轴正方向,CD为z轴正方向,建立如下图的空间直角坐标系.(1分)由于AC=BC=BE=2,那么C(0,0,

39、0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),D(0,0,2),且aD=(0,2,2),Cl=(2,0,2).(2分)所以cosAD,Ce>AD-CE|AD|CE|1入一262亚一2"所以直线AD和CE的夹角为60°.(5分)(2)平面BCE的一个法向量为m=(0,1,0),设平面OCE的法向量n=(x0,y.,zo).(6分)由CO=(1,1,0),Ce=(2,0,2)且n,CO,n±CE,nCE=0,nCO=0,2xo+2z0=0,那么X.+yo=0,解得Z0=X0,yo=xo,(8分)取xo=1,那么n=(-1,1,1)

40、.(9分)由于二面角OCEB为锐二面角,记为a那么cos0=|cosm,n>|='n|=半.(10分)3、(2021泰州期末)如图,在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AC=3,BC=4,AB=5,AAi=4.(1)设aD=岫,异面直线ACi与CD所成角的余弦值为鬻,求实数入的值;(2)假设点D是AB的中点,求二面角D-CBi-B的余弦值.G艮标准解答(1)由AC=3,BC=4,AB=5得ZACB=90o,(1分)以CA,CB,CCi所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如下图的空间直角坐标系.那么A(3,0,0),Ci(0,0,4),B(0,4,0),设D(x,V,z),那么由AD=

41、AB得CD=(3-3Z,4Z,0),而ACi=(3,0,4),根据9二0509+9入115a5猿一18入+9,解得上5或入=3(5分),“一3-rj*3c-二,/m一我一,.,一,7(2)由题意得D,2,0,CD=2,2,0,CB1=(0,4,4),可取平面CDB1的一个法向量为m,由于CDn1=0,届1口=0,所以n1可取(4,3,3);(7分)同理,平面CBB1的一个法向量为n2=(1,0,0),并且m,n2>与二面角D-CB1-B相等或互补,所以二面角D-CB1-B的余弦值为cos0=|cosm,n2>|=4|.(10分)(第(1)题中少一解扣1分；没有交代建立直角坐标系过程

42、扣1分.第(2)题如果结果相差符号扣1分.)4、(2021南京、盐城一模)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB±AC,AB=2,AC=4,AA1=2,BD=2C.(1)假设入=1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)假设二面角B1A1C1D的大小为60°,求实数入的值.标准解答分别以AB,AC,AAi所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.那么A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),Ai(0,0,2),Bi(2,0,2),Ci(0,4,2).(2分)当入=i时,D为BC的中点,所以D(i,2,0),DBi=(i,-2,2),AiCi=(0

43、,4,0),A1D=(i,2,-2),设平面AiCiD的法向量为ni=(x,y,z),DBini4|D1111ni|35niAiCi=0,4y=0,一那么得所以取ni=(2,0,i),又cosDBi,niniM=0,x+2y=0,所以DBi与平面AiCiD所成角的正弦值为智.(6分)(2)由于bD=DC,设D(x,y,0),所以BD=(x2,y,0),DC=(x,4y,0),所以x-2=-入8y=3-y),即x=所以D(翥,奈0),所以Ai=(040),“D=(日设平面niAiCiD的法向量为ni=(x,y,z),那么niAiCi=0,AiD=0,4y=0,即六x+半y2z=0,所以取ni=(

44、计i,0,i).(8分)又平面AiBiCi的一个法向量为n2=(0,0,i),由题意得|cos<ni,n2>|=7,所以1n2|=r2|n111n2|解得壮、,3i或X=-3-i(不合题意,舍去),所以实数入的值为欣一i.(i0分)5、(20i8苏北四市期末)在正三棱柱ABCAiBiCi中,AB=i,AAi=2,E,F,G分别是棱AAi,AC和AiCi的中点,以FA,FB,FG为正交基底,建立如下图的空间直角坐标系Fxyz.(i)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角FBCiC的余弦值.标准解答(1)由于AB=1,AA1=2,那么F(0,0,0),AJ00,C-1,0,

45、0,B0,乎,0,1c,E2,0,1,所以AC=(1,0,0),Bl=2,坐,1.(2分)记异面直线AC和BE所成角为a,贝Ucosa=|cos<Ac,EBE>|112)必22+邛"4所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为/.4分(2)设平面BFC1的法向量为m=(x1,y1,z1).由于fB=0,当,0,F1=,0,2,二3mFB=y1=0,取X1=4,得平面BFC1的一个法向量为m=(4,0,1).(6分)二1mFC1=-2X1+2z1=0,设平面BCC1的法向量为n=(x2,y2,z2).由于的=1,0,CC1=(0,0,2),一13nCB=2x2+-2-y2=0,

46、那么取地=®得平面BCC1的一个法向量为n=(3,-1,0),(8分)nCCi=2z2=0,所以cosm,n>4义陋十(1)X0+1X0/('3)2+(-1)2+0242+02+1225117-根据图形可知二面角FBCiC为锐二面角,所以二面角FBCiC的余弦值为2*1.(10分)6、(2021南京、盐城二模)如图,在直四棱柱ABCDAiBiCiDi中,底面四边形ABCD为菱形,AiA=AB=2,/ABC=：E,F分别是BC,AiC的中点.(i)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;AiM(2)设点M在线段AiD上,丁M=入假设CM/平面AEF,求实数入的值.AiD标准解

47、答(i)连结AC,那么ABC是正三角形.又E是BC的中点,可得AEXBC,从而AEXAD.以AE,AD,AAi为正交基底建立空间直角坐标系Axyz,那么A(0,0,0),E(Y3,0,0),C(3,i,0),D(0,2,0),Ai(0,0,2),F：i.(2分)由于印=字,2i,AD=(0,2,0).所以cos<EF,AD>=-jJ=也2X24-所以异面直线EF,AD所成角的余弦值是乎.(4分)(2)设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),八cnAE=3x=0,由一审i不妨取n=(0,2,i).(6分)nAF=x+£y+z=0,由于点m在线段Aid上,A2M=A所以ai

48、m=AD,'AiD得CMl=CAi+AD=(i,2)+2(0,2,2)=(一小,2ki,22“(8分)由于CM/平面AEF,所以CMn,从而CMn=0,即2(2Li)(22?)=0,解得入=2.(i0分)37、(2021南通一调)如图,在棱长为2的正方体ABCDAiBiCiDi中,P为棱CiDi的中点,Q为棱BBi上的点,且BQ=入BE(0).1(1)假设入=2,求AP与AQ所成角的余弦值；(2)假设直线AAi与平面APQ所成的角为45°,求实数入的值.f一标准解答以AB,ad,AAi为正交基底,建立如图所小空间直角坐标系Axyz.(1)由于靠=(1,2,2),AQ=(2,0

49、,1),所以cosAP,AQ>APaQ|AP|AQ|1X2+2X0+2X14'5<9X515所以AP与AQ所成角的余弦值为4155.(4分)(2)由题意可知,aA=(0,0,2),AQ=(2,0,2；).设平面APQ的法向量为n=(x,v,z),nAP=0,nAQ=0,x+2y+2z=0,2x+2入炉0.令z=-2,那么x=2X,y=2-入所以n=(2Z,2%2).(6分)又由于直线AA1与平面APQ所成角为45°,.nAA1所以|cosn,AA1>|=|川政=,42M2入2+2-入2+-2224可得52一4入=0,又由于讨0,所以入=5.10分AD=8、2

50、021苏北四市一模如图,在四棱锥PABCD中,PAL平面ABCD,ZABC=ZBAD=90°,AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.1求异面直线AP,BM所成角的余弦值；42点N在线段AD上,且AN=假设直线MN与平面PBC所成角的正弦值为T,求入的值.5标准解答1由于PAL平面ABCD,且AB,AD?平面ABCD,所以PAXAB,PAXAD.又由于/BAD=90°,所以PA,AB,AD两两互相垂直.分别以AB,AD,AP为x,v,z轴建立空间直角坐标系,那么由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又由于M为PC的中点,所以M(1,1,2).所以bM|=(1,1,2),AP=(0,0,4),(2