线性变换的定义

1、第七章线性变换1 线性变换的定义上一章我们看到，数域P上任意一个n维线性空间都与 Pn同构，因之，有限维线性空间的同构可以认为是完全清楚了?线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象?我们认识客观事物，固然要弄清它们单个的和总体的性质，但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系?在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射?线性空间到自身的映射通常称为的一个变换 ?这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最根本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最根本的函数一样?线性变换是代数的一个主要研究对象? 下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P 上的线性空间 ?定义 1 线

2、性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于 V 中的任意的元素:- ，:和数域中任意数 k ,都有A 二? : - =A 二-.-'Ak: 二 kA : 1以后我们一般用黑体答谢拉丁字A , B,代表V的变换，A ( k )或AC)代表元素在变换下的象 ?定义中等式( 1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法问题 1:线性变换与线性同构有什么异同？下面我们来看几个简单的例子 ，它们说明线性变换这个概念是有丰富的内容的?例 1平面上的向量构成实数域上的二维线性空间?把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转二角，就是一个线性变换，我们用I 表示。如果平面上一个向量:在

3、直角坐标系下 的坐标是 (X, y)，那么象14 : ? 的坐标，即旋转-角之后的坐标是 (x: y )按照公式7 &s 日一sin 9 Xx$) isinH cosH 人 y 丿变到它在 :- 上的内映射的 变换也是来计算的 ?同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换 ?例 2设是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量一个线性变换，以 | 丨 表示它?用公式表示就是(吓)这里()表示内积 ?例 3线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换E , 即E (G) =G(GAV)以及零变换 0, 即0(口)=0(aAV)都是线性变换 ?例4设V是数域P上的线性空间，k是P中某个数，定义 V的变

4、换如下：一； k:,(八 V)不难证明，这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换，可用 k表示.显然，当k=1时，我们便得恒等变换，当k=0 时，便得零变换 ?例5在线性空间Px或者Pxn中，求微商是一个线性变换 ？这个变换通常用D代表，即 K : 1 k2 : 2 | 丨 Ikr : r = 0 ,D(f (x) = f "(x)例6定义在闭区间a,b上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C (a,b)代表？在 这个空间中，变换x jfxr a ft dt 是一线性变换 ?例7在线性空间 V中，定义；a =ao, -aAV.其中a°是V中一个固定向量，试问否为线性变

5、换？解当 a0 - 0 时-:- ：z V. 那么有+ =0,二：=二 0,及 - +'- = - 0.z z - =2 0 c 芒' | ：' 因此当 a0 =0 时， a 不是线性变换。假设 a0=0 那么有匚二 心' -； ；： =0.k;：二二k: =0.故当：V =0时，b是线性变换此时 b为零变换。不难直接从定义推出线性变换的以下简单性质：1.设A是V的线性变换，那么 A 0=0,A - -AC.这是因为A0 = A0： =0A ： =0,A -： =A -1： = -1A： =-A：的线性例如2. 线性变换保持线性组合与线性关系式不变?换句话说，如

6、果是仆 2 川，亠组合：-二坏 j k 2 2 川 * kr那么经过线性变换 A之后，A:是A r, A 2| , A r 同样的线性组合：A R = kiA % + k2AA2 +川 + krA dr 又如果:r,2川，r之间有一线性关系式kr- k2： 2 |1 kr： r = 0 那么它们的象之间也有同样的关系kiA : i k2A : 2川 kA : J 二。以上两点，根据定义不难验证，由此即得3. 线性变换把线性性相关的向量组变成线性相关的向量组。但应该注意， 3 的逆是不对的，线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组 零变换就是这样。例8设1,2I ,S及-1, -2JH, -s是线性空间 V中两组等价的向量组，又:二-L V，试证:二 r ,;2 ,|l f > s与-：Q ,二：2 , I 1 点：s ，也是两个等价的向量组。证明 因为1, > 2I ,> s与川，气可以互相线性表出。记:i =ki/-i ki2 JH kis'A =sx' kj1ji =1,2A|s 那么由线性变换性质 可知：s二：J =ki&ci ?艰壮辽？| 1kis； cs八 kj； C j i =1,2,川，s j 二上式说明了向量组二J, ； : ? 2 ,|1 , 二> s可由向