第七章习题(20220216061739)

1、第七章静电场中的导体和电介质7-1如下列图，在一不带电的金属球旁有一点电荷q，金属球半径为R，已知q与金属球心间距离为r。试求：1 金属球上感应电荷在球心处产生的电场 强度E及此时球心处的电势 V ; 2假 设将金属球接地，球上的净电荷为多少？解：1由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电场强度E与点电荷q在球心处产生的电场强度E大小相等，方向相反。2orE的方向由0指向q点电荷q在球心处的电势为Vqq4 or金属球外表感应电荷在球心的电势为 Vr，由于球外表感应电荷量总和为零,Vr dq- dq 0s4 oR 4 oR s故球心电势为Vq和Vr的代数和q4 or2假设将

2、金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势 V 0。设球上净电荷为q。球面上的电荷在球心处的电势为Vr.dqs4 oR1oRq4 oR点电荷q在球心的电势为Vq4 orVrVq4 orR q r7-2如下列图，把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷 Q的金属板A，平行放置设两板面积都是S，板间距是d，忽略边缘效应。求:1B板不接地时，两板间的电势差；(T4题7-2图2B板接地时，两板间电势差解: 1如图，设A、B两金属板各外表的面电荷密度分别为由静电平衡条件可知解得1S2S_Q4 2S Q2S两板间为匀强电场，电场强度Q2 oS2假设B板接地，那么有两板间的电场强度两板间的电势差23Q

3、2 0 2 0 0SEd竺0Sd，使A、B板带电分别为qA、qB，且 qAqB。求:7-3A、B为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为S，板间距离为1A板内侧的带电量;2两板间的电势差。解：1如图，设A、B两板各外表的电荷面密度分别为1>2由题意1S2Sq a3 S4SqB又由静电平衡条件参考题7-2题7-3图由、解得qA qB2SqA qB2S故A板内侧的带电量q22SqA qB22两板间为匀强电场，电场强度4qA qB2 02 0S7-4 如下列图，半径为Ri的导体球带有电荷q，球外有一个内半径为R2的同心导 体球壳，壳上有电荷Q。 1求球与壳的电势差U12;2用导线把球和壳连

4、接在一起后，其电势为多少？解：1导体球与球壳之间的电场强度为q2 or题7-4图R252RiEdrr2 q drRl 4 o r2(1RiR2球与壳的电势差2用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布。静电平衡时，球与球壳为等势体， V V V12。所有电荷q Q丨均匀分布在球壳外外表。球冗外电场强度为EQ q4 or2球与球壳的电势VEdrR2Qq drQ qR2 420 r4 0R27-5 如下列图，同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构成。设圆柱体的电势为V1，半径为R1，圆管的电势为V2，内半径为R2，求它们之间离轴线为r处(R1 r R2 )的电势。解

5、：设圆柱体外表沿轴线单位长度P的场强为所带电量为，在距轴线为r的任意一点2 orR-irR?P点与圆柱体的电势差rM VpEdrR1圆管与圆柱体的电势差R2Vi V2EdrR由、两式消去，得P点电势VprdrIn rR 22 0r 20RR2drR2InRi 20 r20RiIn音RiViViV2-In匹Ri7-6 实验说明：在靠近地面处有相当强的电场，E垂直于地面向下，大小约为iOOV m i。试求：i地面的面电荷密度；2地面的每平方米所受的库仑力。解：设地球带电荷q。由高斯定理，地球外表电场q4 oR|q 4 oR2e电荷q均匀分布于地球外表，那么地面面电荷密度oE8.85iOi0C m地

6、面每平方米受库仑力8F E 8.85 iO N7-7 如下列图，一平行板电容器两极板间充密度分别为0和 0。略去满了电容率为的均匀介质，极板上的面电荷边缘效应。求电介质中的电场强度E、极化强度P、电位移D，介质外表的丁 + 一 + .+ + “ + + + + + 炖ssais.iA. sa-CF-I题7-7图极化电荷面密度解：对于平行板电容器，两板间的电场强度为其中n0为沿极板法线方向的单位矢量，方向从°极板指向 °极板。两极板电介质中的电位移为D E °n°极化强度° ° ° ° °P D °

7、;E°n°n (1) °n由于极化电荷都在介质的上下两外表，故极化电荷体密度 °。两极板间介质 中的电场E为板上自由电荷产生的电场E°和介质外表束缚电荷产生的电场 E的叠加。 设介质外表极化电荷面密度为 。E°E°-(°对于靠近带正电荷极板的介质外表，极化电荷面密度为靠近带负电荷极板题7-8图7-8 如下列图，平行板电容器两极板相 距为d，接到电压为U伏的电源上，在其间 插入厚为X、相对电容率为r的玻璃平板。 略去边缘效应，求空隙中和玻璃中的电场强 度。解：设电容器极板上电荷面密度为 °，那么两极板间空气

8、间隙中的场强为E°00玻璃平板中的场强为E000 rE°rE两极板间的电位差UE°(dx) Ex由、两式可得E°rUr(dx) XUEr(dx)X7-9在相对电容率为ri、半径为R的均匀电介质球的中心有一点电荷q，介质球外的空间充满相对电容率为r2的均匀电介质。求距q为r (r R)处的场强及电势选无穷远处为电势零点。解：介质球中心的点电荷q产生的电场具有球对称性。由高斯定理，介质球内外 的场强分别为Eiq40 rirE240 r2r选无穷远处为电势零点，距q为rr R丨处的电势Rr EidrRE2dr(1140 ri r Rq40 r2R题7-10图一

9、 d10d2 一d30 r07-10有一面积为S、间距为d的平行板电容器1在板间平行于极板面插入厚度为 -，面积3也为S的相对电容率为r的均匀电介质板，计算其电容；2假设插入的是同样尺寸的导体板，求其电容；3上下平移介质板或导体板 对电容有无影响?解：设电容器极板所带电荷面密度为1两极间电势差VaVBEp1 E2d 23小3(d1d3) d2d2由 d1 d3VaVb电容QVaVbrS(2 r 1)d2假设插入导体板，那么E2 0VAVBE1d1E3d3di d30 0电容一diod3)2 d3QVa VbSFd3 oS2d3上下移动介质板或导体板对电容无影响7-11 如下列图，一无限大平行板

10、电容器，设A、B两板相距5.0cm，板上各带电荷 3.3 10 6C m 2，A板带正电，B板带负电并接地地的电势为零，求:1在两板之间距A板1.0cm处P点的电势;2A板的电势。解：1平板电容器两板间场强P点电势4VpE(d r) Vb (d r) 1.49 10 V题7-11图02A板的电势4Va Ed Vb d 1.86 104v07-12 面积是2.0m2的两平行导体板放在空气中相距5.0mm，两板电势差为 1000V，略去边缘效应。试求:1电容C ；2各板上的电量Q、电荷的面密度 和板间电场强度E的值解：1平板电容器电容C°s3.5410 9F 3.5410 3 Fd2各板

11、上的电量Q CUab 3.54106C板上电荷的面密度Q1.77 106C2 mS板间电场强度E的值E052.0 10NC 17-13如下列图，电容器由三片面积都是 6.0cm2的锡箔构成，相邻两箔间距离都是 0.10mm，外边箔片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极，题7-13图1求电容C ；2假设在这电容器上加220V电压，问三箔上电荷的面密度各是多少?解：1三片锡箔组成的电容器，其电容相当两个电容器的并联C C1 C0S 0 S1022 1.06 10 F 1.06 10 pFdd2总电量Q CU 2.34 10 8C对于中间一片锡箔，总电量Q均匀分布在箔的两面，故锡箔面电荷密度1.95

12、 10 5C m 2 2S7-14 如下列图，同心球电容器内外半径分别为 R1和R2，两球间充满相对电容率 为r的均匀介质，内球带电量Q，试求：1电容器内外各处电场强度 E和两球的电势差U ；2电介质中电极化强度P和极化电荷面密度；3电容C。解：1内球所带电荷Q，在外球壳内外两外表感应出电荷 Q和Q，两球间及球外电场具有球对称性，由高斯定理EiQ 0 r rrrR2E2 宀 r04 °rrR2两球的电势差R2REidrdrR2R1 40 r r题7-14图Q ( 1 丄40 r R1 R22电介质中的极化强度P D0 E1 (0)E1极化电荷分布在靠近内外球外表的球面上，极化电荷面密

13、度分别为1 P COS 1r)Q一今靠近内球外表 14 r R12 P cos 2(r 1 )Q4凡靠近内球外表23由两球的电势差U1，电容器电容为R2QR2 40 r R1R2R2 R17-15一电容率为0的无限大均匀介质中，有一个半径为R的导体球，带电荷Q。求电场的能量。解：导体球的电荷均匀分布在外外表，球内不存在电场，电场只存在于球体外,其空间分布为E1 0Or RE2Q4 or2 *此时，电场的能量为w -R22oE2dV1 Q 2R"(b)4r2drQ2厂dr Q2Rr28 oR7-16一空气球形电容器内外球壳的半径分别为R和R2，分别带有等量异号电荷，电势差为U。试求：1

14、电势能；2电场的能量。解：1介质为空气的球形电容器的电容为4o R1 R2R2R-i电势能为W共冲紊讐2球形电容器介质层中的电场强度为其中Q CU AB4 0 R R2UR2 Ri14o R- R2UR1R2U4 o rR2R-(R2R-) r由于内球壳中场强为零,外球壳外场强也为零，故电场能量储存在内外球壳之间。在两球壳间取体积元dVr2dr，其电场能量dWoE2dV1 2 2-0E24 r2dr22 2oE r dr全部电场中的能量dW2R1R2UA or22Rl(R2 Ri)r2dr2 2 2oRi R2U R2 dr (R2 Ri)2 Rl r2(R2 RJ27-17 半径为Ri的导体

15、球，外套有同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2、 R3，球与壳之间是空气，壳外也是空气，当内球带电荷 Qi，球壳带电荷Q2时，问： 1这个系统储藏了多少电能？ 2如果用导线将球与壳连在一起，结果如何？解：1这个由导体球和同心导体球壳的系统将空间分为 4个局部，分别为导体球内0 r R ;球与壳之间R1 r R2 ;球壳之间R2 r R3及球壳之外r R3。由于球体与球壳均为导体，所以导体球内与球壳之间的电场强度为零由咼斯定理易得此时全空间场强的表达式为Q14 0r2Q1 Q24 0r2R1rR2系统储藏电能为WedW4R2 1R1 2Q14 or2r2dr1R3 2Q1Q20 40r224

16、 r2drQ12R1R280 R32如果用导线将球与壳连在一起，此时电荷只分布在球壳外外表上。由高斯定理知：球壳外外表以内电场强度为 0，球壳外外表以外电场强度表达式为rR3Q-!Q22or系统储藏电能为1R3 2 0 40r2Q1Q2224 r dr2Q1Q280R37-18 如下列图，两平行导体板面积为S、间距为d，在它们中间平行地插入一层厚为t、电容率 的电介质，求以下两种情况下，插入介质后能量改变的值。1维持两极板电荷Q不变时插入介质;2维持两极板电压U不变时插入介质解：未插入介质极前，平板电容器的电容为oS d题7-18图插入介质后，平板电容器的电容变为1维持两极板电荷Q不变时插入介质板，插入前后电场的能量分别为Q1 22CQ22C能量改变的值W W W iQ2jVd0S2CU能量改变的值W W W 抨("viht 子oSto( o)StU22d d (o)t1u 2 d o S o Sd o St2d (d t)ot7-19 一平行板电容器，板的面积为 S、极板间距离为d,把它充电到两极板电势差为U时去掉电源，然后把两极板拉开到距离为 2d。略去边缘效应，试求：1分开两极板所需的功；2两极板的电势差；3电容器所储存的能量解：当极板间距为d时，电容器电容为C10S d当极板间距为2