第32讲-不等式解法及应用

1、高三新数学第一轮复习第三十二讲一不等式解法及应用一知识整合：1不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形并列 的“不等式的变形，是研究数学的根本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。1同解不等式 f(x) g(x)与 f(x) F(x) g(x) F(x)同解；2m 0, f (x) g(x)与 mf (x) mg(x)同解，m 0, f (x) g(x)与mf (x) mg(x)同解;g(x)0 与 f (x) g(x) 0 (g(x)0 同解;2.元一次不等式解一兀一次不等式组及一兀二次不等式组是解其他各类不等式的

2、根底，必须熟练掌握，灵活应用。(1)a0ax b分(2)a0情况分别解之。(3)a03.一兀二次不等式ax21bx c0 (a0)或 ax2 bxc 0 (a 0) 分a 0及a 0情况分别解之，还要注意b24ac的三种情况，即0或0或0,最好联系二次函数的图象。4.分式不等式分式不等式的等价变形：f (x)>0f(x) g(x)>0 ,?0f(x)g(x) 0g(x)g(x)g(x)05.简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对 值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨论绝对值中的式于

3、大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为第1页共8页一般不等式；等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：2 2|x|<ax <a a<x<a(a>0),|x|>ax2>a2x>a 或 x< a(a>0)。一般地有：|f(x)|<g(x) g(x)<f(x)<g(x),|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或 f(x)<g(x)。6 指数不等式af (x)ag(x)(1)当 a 1时，f(x) g(x)；(2)当 0a 1 时,f(x)g(x)；7 对数不等式ab Nb loga N(a 0

4、,0, logambn)mlogab.loga b1等, logbaloga f (x)loga g(x)1当 af (x)g(x)2当 01时,f (x)0f (x)g(x)°&线性规划1平面区域一般地，二元一次不等式Ax By Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域。 边界直线。当我们在坐标系中画不等式Ax By包括边界直线，那么把直线画成实线。C 0我们把直线画成虚线以表示区域不包括C 0所表示的平面区域时，在平面直角坐标系中表示此区域应(x, y)代入 Ax(x°,y。)，从 Ax0特别地，当C 0时，通常把By C，得By。C 的说明：由于直线 Ax

5、 By C 0同侧的所有点的坐标 到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点 正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域。 原点作为此特殊点。2有关概念x4y3足条件3x5y25，求z的最大值和最x1小值。引例：设z 2x y，式中变量x, y满由题意，变量x, y所满足的每个不等式 都表示一个平面区域，不等式组那么表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点0,0不在公共区域内，当x 0, y 0时，2x y t，t R，可知：当I在1°的右上方z 2x y 0 ,即点0,0在直线I。: 2x y 0上，作一组平行于I。的直线I : 时，直线I上的点x, y满足2

6、x y 0,即t 0,而且，直线I往右平移时，t随之增 大。由图象可知，当直线I经过点A5,2时，对应的t最大，当直线I经过点B1,1时，对应的t最小，所以，zmax 2 5 212，Zmin 2 1 13。在上述引例中，不等式组是一组对变量 x,y的约束条件，这组约束条件都是关于 x, y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。z 2x y是要求最大值或最小值所涉及的变量x, y的解析式，叫目标函数。又由于z 2x y是x, y的一次解析式，所以又叫线性目标函数。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性 规划问题。满足线性约束条件的解x,y叫做可行解，由所有可

7、行解组成的集合叫做可行 域。在上述问题中，可行域就是阴影局部表示的三角形区域。其中可行解5,2和1,1分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。二典例精析x210例1 . 2002京皖春，1不等式组x2 3x的解集是0A . x |- 1 v xv 1B.x | 0vXV3 C. x | 0v xv 1D.x |- 1 v XV3 x 1例2 . 2001河南、广东，1不等式 N>0的解集为x 3题型1 ：简单不等式的求解问题B.x|x>3A. x|x<1C.x|x<1 或 x>3D.x|1<x<3题型2 :简单的绝对值、涉及指数、

8、对数和三角的不等式的求解问题例 3 1 2002 全国,3不等式1 + x 1-| x |> 0的解集是A x | 0 < xv 1B. x | xv 0 且 xm 1C x |- 1 v xv 1x2 1997全国，14不等式组 33A. x | 0v xv2C. x | 0v xv '一 6 D. x | xv 1 且 xm 10x|2x1的解集是1x|21x1B. x | 0v xv2.5D. x | 0v xv 31y2 8例4 1 1995全国理，16不等式一x 8 > 3-2x的解集是。32 2002全国文5,理4在0,2n内，使si nx> cos

9、x成立的x取值范围为A. ，U n ,4 2 4B. , n 4C.,44x 12t ,x306 山东理，3设 f(x)= Iogt(x253D. 一，nU4422,1), x 2,那么不等式f(x)>2的解集为(A)1, 23, + d(B)10 , +m(C)1, 210 , +8(D)1, 2题型3 :含参数的不等式的求解问题例5. 1设不等式x2- 2ax+a+2< 0的解集为 M，如果M 1, 4,求实数a的 取值范围？2解关于x的不等式a(x 1) > 1( aM 1)。例 6. 1 06 重庆理，15设 a >0,n1,函数 f(x)=alg(x2-2n+

10、1)n(x2-5x+7) >0 的解集为?206重庆文，15设a 0,a 1，函数f (x) loga(x2 2x 3)有最小值，那么不等式loga(x 1) 0的解集为。题型4:线性规划问题xy10例 7 .106安徽，10如果实数x、y满足条件y10,那么2x y的xy10最大值为A . 2B.1 C .2D3y x206天津理，3设变量x、y满足约束条件x y 2 ,那么目标函数z 2x yy 3x 6的最小值为A . 2B. 3C. 4D. 9例8. 106四川理,8某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1, ,生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2,b2千克，甲、

11、乙产品每千克可获利润分别为 d1 ,d2元，月初一次性够进本月用原料 A, B各Cj, c2千克，要方案本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额到达最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z d1x d2y 最大的数学模型中，约束条件为Ca1x a2yQx b2yx 0y 0c2Da1x a2y b1x b2yx 0y 0qc2xy20,206浙江理，3在平面直角坐标系中，不等式组xy20,表示的平面区x2域的面积是 1319(A)-(B)-(C)(D)2288xy4306北京理，13点P x, y的坐标满足条件yx,点O

12、为坐标原0Xa2yC1A取bYC2X 0a1Xbyc1Ba2Xb2yC2x 0y 0y 1,点，那么|P0|的最小值等于 ，最大值等于 。清洗前其清洁度含污题型5:不等式的应用物体的清洁度定义为：1 物体质量 含污物为0.8，要求清洗完后的清洁度为 物体质量含污物例9. 06湖南理，20对1个单位质量的含污物体进行清洗,0.99。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙 ：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为 a1 a 3。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x 0.8 & a 1，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是-aC，其x 1y a中c 0.8 c

13、 0.99是该物体初次清洗后的清洁度。I 分别求出方案甲以及c 0.95时方案乙的用水量，并比拟哪一种方案用水量较少;(n)假设采用方案乙，当 a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。例 101998全国文 24、理 22如图 6 1，为处理含有某种杂质的污水，要制造一 底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长 度为a米，高度为ba、b的乘积ab60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的 水中该杂质的质量分数最小 A、 B 孔的面积忽略不计 ?三思维总结1在复习不等式

14、的解法时，加强等价转化思想的训练与复习 解不等式的过程是一个等价转化的过程， 通过等价转化可简化不等式 组，以快速、 准确求解。加强分类讨论思想的复习 .在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般 要对参数进行分类讨论 .复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做 到不重不漏。加强函数与方程思想在不等式中的应用训练。不等式、函数、方程三者密不可分， 相互联系、互相转化 .如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要 方法 .在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把条件向要 证结论的一个转化过程，既可考查学生的根底知识，又可考查学生分析问题和解决问题 的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们 的足够重视。2强化不等式的应用 突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意 识。高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和 实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力 的关键 .因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才 能提高解决问题的能力。如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等