立体几何线线垂直专题

1、立体几何垂直总结1线线垂直的判断:线面垂直的定义：假设一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条2、线面垂直的判断：1如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。2如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。3直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。4如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：证明：1)BC AC AE BECE AB同理,AD

2、BDAE BEDE AB又? CEDE E? AB平面 CDE有AB平面CDE又例?、AB平面ABC，?平面CDE平面ABC等腰三角形三线合一如图，空间四边形 ABCD中，BC AC,AD BD，E是AB 的中、点菱求证I对角线互相垂直面C等腰三角形三线合一5平四棱锥P ABCD的底面是菱形.PB PD，E为PA的中点.I 求证：PC /平面BDE ; H 求证：平面PAC平面 BDE .例3、线线、线面垂直相互转化ABC中ACB 90 ,SA面ABC,AD SC,求证：ADBC 面 SACSB面 SBC .证明：ACB 90 BC AC又 SA 面 ABC SA BCSC AD,BC AD

3、又SC BC C ad 面 SBC例4、直径所对的圆周角为直角如图2所示，PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证：AE平面PBC .证明：？?？ PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA.又? AB是eO的直径， ACB是直径所对的圆周角，? BC AC .V PAI AC A, PA 平面 PAC，AC 平面 PAC .? BC平面 PAC，AE 平面 PAC，二 AE BC .V PA AC，点E是线段PC的中点.二AE PC .V PCI BC C, PC 平面 PBC， BC 平面 PBC .?

4、AE平面 PBC .例5、证明所成角为直角在如下图的几何体中，四边形 / ABCD是等腰梯形，AB / CD，DAB= 60 , AE 丄 BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面 AED;证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60 ，所以/ ADC = / BCD = 120.又 CB = CD，所以/ CDB = 30,因此 / ADB = 90 ，即 AD 丄 BD.又 AE 丄 BD，且 AEG AD = A，AE，AD?平面 AED，所以BD丄平面AED.腰直角三角形，/ BAC = 90 且AB= AAi, D、E、F分别为BiA、CiC、BC的

5、中点.求证：1 DE / 平面 ABC; 2 BiF 丄平面 AEF.例7、三垂线定理证明：在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AiC丄平面BCiD证明：连结AC? BD丄AC AC为AiC在平面AC上的射影BD AiC厂AiC平面BCiD同理可证AC BC练习；i、如图在三棱锥 P ABC中，AB = AC，D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足0落在线 段AD上.证明：APIBC;Ci C12、直三棱柱 ABC AiBiCi中，AC= BC= qAAi, D是棱AA的中点，DCi丄BD.证明：DCi丄BC 。3. 如图，平行四边形 ABCD中，/ DAB = 60 AB = 2, AD

6、 = 4?将厶CBD沿BD折起到 EBD/；的位置，使平面 EBD丄平面ABD.(1)求证：AB丄DE; (2)求三棱锥EABD的侧面积.4、在正三棱柱 ABC A1B1C1中，假设AB=2 , AAi 1，求点A到平面AiBC的距离5、如下图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA= AD.求证：(1)CD丄PD;(2) EF丄平面PCD.6、如图7-5-9(1)，在RtAABC中，/ C = 90 , D, E分别为AC, AB的中点，点F为线 段CD上的一点，将 ADE沿DE折起到 AiDE的位置，使AiF丄CD，如图.(1)求

7、证:DE/ 平面 AiCB.B求证：AiF丄BE.线段AiB上是否存在点Q,使AiC丄平面DEQ?说明理由.立体几何垂直总结1线线垂直的判断:线面垂直的定义：假设一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条2、线面垂直的判断：1如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。2如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。3直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。4如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平

8、面的垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直的常用方法：证明：1)BC AC AE BECE AB同理,ADAEBDBEDE AB又? CEDE E? AB平面 CDE(2)由有AB平面CDE又? AB例? 1、例中点菱平面ABC，?平面CDEABC等腰三角形三线合一如图，空间四边形 ABCD中，BC AC,AD BD，E是AB 1形的对角线互相垂直面等腰三角形平面线合一平面知四棱锥P ABCD的底面是菱形.PB PD，平面E为PA的中点.I求证：PC /平面BDE ;H 求证：平面 PAC平面BDE .AB例3、线线、线面垂直相互转化ABC中ACB 90 ,SA面ABC,ADSC,求证：ADS

9、B面 SBC .BC ACBC 面 SAC证明：ACB 90 又 SA 面 ABC SA BCBC AD 又 SC AD,SC BC C ad 面 SBC例4、直径所对的圆周角为直角如图2所示，PA垂直于圆O在 平面，AB是圆O的直 径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意 一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证：AE平面PBC .证明：？?？ PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA.又? AB是eO的直径， ACB是直径所对的圆周角，? BC AC .V PAI AC A, PA 平面 PAC，AC 平面 PAC .? BC平面 PAC，AE 平面 PAC，二 AE BC .

10、V PA AC，点E是线段PC的中点.二AE PC .ABCD是等腰梯形，AB / CD，V PCI BC C, PC 平面 PBC， BC 平面 PBC .? AE平面 PBC .例5、证明所成角为直角在如下图的几何体中，四边形/ DAB = 60 AE 丄 BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面 AED;证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60 ，所以/ ADC = / BCD = 120.又 CB = CD，所以 / CDB = 30,因此/ ADB = 90 ，即卩 AD 丄 BD.又 AE 丄 BD，且 AEG AD = A, AE , AD?

11、平面 AED ,所以 BD 丄平面 AED.例6 勾股定理的逆定理如 7-7-5所示，直三棱柱等图ABC A1B1C1 中， ABC 为腰直角三角形，/ BAC = 90。且AB= AAi, D、E、F分别为BiA、C1C、BC的中点.求证：1DE / 平面 ABC; 2BiF 丄平面 AEF.C例7、三垂线定理证明：在正方体 ABCD AiBiCiDi中，AiC丄平面BCiD证明：连结AC? BD丄AC AC为AiC在平面AC上的射影BD ACAiC 平面 BCiD同理可证AiC BCi练习；i、如图在三棱锥 P ABC中? AB = AC，D为BC的中点，PO丄平面ABC， 垂足O落在线

12、段AD上.证明：APIBC;12、直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AC= BC = qAAi, D 是棱 AA 的中点，DCi 丄 BD.(1)证明：DCiCi*f it*I1韦1i4|.* 1 、DPGBA*丄BC;证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于D为AAi的中点，故DC又AC DC1=?AAi,可得 DCi + DC2 = CC2,所以 DCi 丄 DC.又DCi丄BD，DCA BD= D，所以DCi丄平面BCD.因为BC?平面BCD，所以DCi丄BC.3. 如图，平行四边形 ABCD 中，/ DAB = 60 AB = 2, AD = 4?将将 CBD 沿 BD 折起到 EB

13、D 的位置，使平面 EBD丄平面ABD.(1) 求证：AB丄DE;(2) 求三棱锥EABD的侧面积.(i)证明：在厶ABD中，?AB= 2，AD = 4,/DAB = 60 设F为AD边的中点，连接FB,?ZABF为等边三角形,ZAFB = 60又DF = BF = 2,AZBFD为等腰三角形./?zFDB = 30,故/ABD = 90 :?AB丄BD.又平面EBD丄平面ABD,平面EBD G平面ABD = BD, AB?平面ABD,?AB丄平面 EBD. IDE?平面 EBD, : AB 丄 DE.【解析】 由知 AB丄BD, VCD AB,ACD 丄BD，从而DE丄BD.i在 RtQBE

14、 中，：DB = 2衍，DE = DC = AB = 2,: SZdbe = qDB DE = A3.?AB丄平面 EBD, BE?平面 EBD, : AB 丄 BE. : BE= BC = AD = 4,?Sabe = 2AB BE = 4.TDE 丄 BD,平面 EBD 丄平面 ABD , : ED 丄平面 ABD.而 AD?平面ABD,. .ED 丄 AD ,. Szade =八AD DE = 4.综上，三棱锥 EABD 的侧面积 S= 8+ 2/3.4、在正三棱柱 ABC A1B1C1中，假设AB=2 , AA1 1，求点A到平面AiBC的距离。6如下图，在四棱锥PABCD中，底面AB

15、CD是矩形，侧棱FA垂直于底面，E、F分别 是AB、PC的中点，PA= AD.求证：(1)CD丄PD;(2)EF丄平面PCD.证明(1) T PA丄底面ABCD，二CD丄PA.又矩形ABCD中，CD丄AD,且AD A PA=A， ? CD丄平面 PAD ,二 CD 丄 PD.取PD的中点G,连接AG, FG.又T G、F分别是PD、PC的中点,1? GF綊2CD,二GF綊AE,二四边形 AEFG是平行四边形，二 AG/ EF.T PA=AD, G 是 PD 的中点,? AG1 PD,二 EF 丄 PD,/：:yy /T CD 丄平面 PAD , AG 平面 PAD.二 CD 丄 AG. A E

16、F 丄 CD.T PD A CD = D, A EF 丄平面 PCD.6、如图 7-5-9(1)，在 RtAABC 中，/ C = 90 , D, E 分别为 AC ,AB的中点，点F为线段CD上的一点，将厶ADE沿DE折起到 A1DE的位置，使A1F丄CD，如图.4KXD%广1 (I)ft Vs(1)求证：DE/ 平面 AiCB.Q,使Aid平面DEQ ?说明理由.求证：AiF丄BE.(3)线段AiB上是否存在点【标准解答】(1)因为D, E分别为AC, AB的中点，所以DE / BC.2分又因为DE?平面AiCB,所以DE /平面AiCB.4分 (2)由得 AC丄BC且DE / BC, 所以DE丄AC.所以DE丄AiD, DE丄CD.所以DE丄平面AiDC.6分又AiF?平面AiDC,所以DE丄AiF.又因为 AiF 丄 CD , CD A DE =