兴化市高中数学青年教师解题比赛试卷

1、兴化市高中数学青年教师解题比赛试卷 (考试时间：150分钟 满分：160分) 2011年9月25日题号一二总分评分人复计分人得分得分阅卷人一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在各题的相应的横线上1若的内角满足，则的值为 2已知是定义在上的函数，且是偶函数，则图象关于直线 对称3设是等比数列的前项的和，若，则的值是 4若函数定义域是，则函数的值域是 5设，则的值为 6已知是实数且若，那么 7设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为 8如图，直线MN过的重心G，且（其中)，则的最小值是 (第8题图) (第9题图)9如图，在四面体中，面，则四面体的外接球的表面积为

2、 10有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为 11如图，是根据所输入的值计算值的一个算法程序，若依次取数列 中的前项，则输出值中的最小值为 Read If 0 ThenElseEnd IfPrint (第11题图)12平面直角坐标系中，已知椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，若 ，则椭圆的离心率为_ (第12题图)13设函数，当时，的最小值为，则实数的值 14设正实数满足，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过

3、程或演算步骤得分阅卷人15（本小题满分14分）在中，内角的对边分别为，已知（1）求的值；（2）求的值得分阅卷人16（本小题满分14分）如图,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点，,.（1）求证：平面；（2求四棱锥的体积得分阅卷人17（本小题满分14分）如图，点A（非顶点）为抛物线上任一点，F是抛物线的焦点求作抛物线在点A处的切线，并证明得分阅卷人18（本小题满分16分）已知数列的首项为，记 .（1）若为常数列，求的值；（2）若为公比为的等比数列，求的解析式；（3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立?若能，求出数列的通项公式；若不能，请说明理由得分阅卷人19（本小题满分16分）已知，函数，（1）当=

4、2时，写出函数的单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值；（3）设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（用表示）得分阅卷人20（本小题满分16分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列（1）求；（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式兴化市高中数学青年教师解题比赛参考答案1； 2； 3； 4； 5； 6；7； 8； 9； 10； 11； 12；13； 1415解：（1）由，可得，所以（2）因为，所以，所以16（1）证明:连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形, 点为的中点. 为的中点，为的中位线, . 平面,

5、平面,平面. （2）解法1：平面,平面, 平面平面，且平面平面.作，垂足为，则平面， ，在中，四棱锥的体积 .四棱锥的体积为. 解法2：平面,平面，.,.，平面. 取的中点,连接,则，平面.三棱柱的体积为， 则，. 而,. .四棱锥的体积为. 17解：作法一：以抛物线的焦点F为圆心，以|FA|为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点B，且点B在顶点O的左侧，则直线AB就是抛物线在点A处的切线xyFABO证明：抛物线的焦点F的坐标为（），设A（），则|FA|=，从而B（），故过点A、B的直线方程为 （*）利用方程将方程（*）整理得，此方程即为抛物线在点A处的切线点方程作法二：过作轴垂线，交轴于点，在轴

6、上截取，且点B在顶点O的左侧，连，则直线为所求作的切线证明同上18解:（1）为常数列，.（2）为公比为的等比数列，.，故. （3）假设数列能为等差数列，使得对一切都成立，设公差为，则， 且，相加得 ，.恒成立，即 恒成立，.故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为. （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分）19解：（1）当时，由图象可知，单调递增区间为（-，1，2，+）（开区间不扣分）（2）当时，当时，当时，（）当时，（）当时， （3）当时，图象如右图所示由得，当时，图象如右图所示由得， 20解：（1） ；（2） 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中但不在数列中的项恰为（

7、3） ， ， 当时，依次有， 兴化市高中数学青年教师解题比赛参考答案1； 2； 3； 4； 5； 6；7； 8； 9； 10； 11； 12；13； 1415解：（1）由，可得，所以（2）因为，所以，所以16（1）证明:连接,设与相交于点,连接, 四边形是平行四边形, 点为的中点. 为的中点，为的中位线, . 平面,平面,平面. （2）解法1：平面,平面, 平面平面，且平面平面.作，垂足为，则平面， ，在中，四棱锥的体积 .四棱锥的体积为. 解法2：平面,平面，.,.，平面. 取的中点,连接,则，平面.三棱柱的体积为， 则，. 而,. .四棱锥的体积为. 17解：作法一：以抛物线的焦点F为圆心

8、，以|FA|为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点B，且点B在顶点O的左侧，则直线AB就是抛物线在点A处的切线xyFABO证明：抛物线的焦点F的坐标为（），设A（），则|FA|=，从而B（），故过点A、B的直线方程为 （*）利用方程将方程（*）整理得，此方程即为抛物线在点A处的切线点方程作法二：过作轴垂线，交轴于点，在轴上截取，且点B在顶点O的左侧，连，则直线为所求作的切线证明同上18解:（1）为常数列，.（2）为公比为的等比数列，.，故. （3）假设数列能为等差数列，使得对一切都成立，设公差为，则， 且，相加得 ，.恒成立，即 恒成立，.故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为. （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分）19解：（1）当时，由图象可知，单调递增区间为（-