37直线与圆锥曲线专项训练

1、371.直线与圆锥曲线专项训练对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线【例题精选】：例1:已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为(0,m)(m0),而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为(m,0),那么新坐标系的原点O在原坐标系的坐标为：A.(m,m)B.(m,m)C.(m,m)D.(m,m)分析：由移轴公式xxh,yyk已知：x0,ym；xm,y00mkkmm0kkmO在原坐标系下的坐标为(m,m).答案：AoA.y1x32B.y1xC.y1x23D.y1x分析：由已知xx2，yy1oy2y的坐标为(2,-1),则原坐标系中的曲线x3在新坐标系xoy中的方程是:3x例2:若平移坐标轴，把坐标系xoy的原点O

2、移到点O,O在原坐标系下在新坐标系xoy中的方程是:32曲线y答案：Do例3：平移坐标轴化简方程16x29y232x36y1640,画出新旧坐标轴和图形，并写出在原坐标系下的顶点、焦点、准线方程和渐近线方程。22解：配方得优D(?2)1916a3,b4,c5,中心O(1,2).令xx1,yy2,在新坐标系中，曲线方程为1,顶点916(-3,0)(3,0),焦点(一5,0)、(5,0),准线方程为x-。5在原坐标系中，顶点(一2,2),(4,2),焦点(一4,2),(6,2),准线方程x-,x14。渐近线方程为y2-(x1),553即4x3y100,4x3y20右图是曲线的图形和新旧坐标轴

3、9;例4：设常数a0,椭圆xx3一解：曲线万程可化为(y2)22axa2y20的长轴是短轴的2倍，则a_。分析：配方得椭圆方程(x；)y21,a1时，依题意a2,0a1时,a1a一。2a2或a2例5:抛物线y284x的准线方程是,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是。分析：抛物线y24(x2)，顶点为(2,0)焦参数p2。如右图所示，得准线方程为x3。圆心在抛物线顶点(2,0),与其准线x3相切的圆的半径为1,其方程为(x2)2y21。小结：画出方程表示的曲线，数列结合有助丁问题的解决例6:双曲线以直线x1和y2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一个焦点坐标为。分析：由已

4、知双曲线的中心是(一1,2),对称轴平行丁坐标轴，所以在y轴上的焦点是(0,2),由对称性可知，另一焦点为(一2,2),即为所求。.24y210父丁A、例7：直线l过抛物线y2a(x1)(a0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得线段长为4,则a。分析：在平移变换中，线段长度不变。令yy,xx1,抛物线方程为y2ax,在xoy中画出曲线如右图所示，由抛物线PF|PH|2。a2,a42例8:已知一条与y轴平行的直线与曲线x26x16yB两点，曲线中心O，求OAB面积的最大值。1，它是中心为O(3,2)的椭3,yy2,将方程化简为:令x2xV设与y轴平行的直线为xt,代入方程得，y1§

5、;。彳17SOAB2"卜4t2ABt222412当且仅当t24t2,即t克时，Soabmax1.例9:焦点为菖(2,0)和F2(6,0)，离心率为2的双曲线的方程是o分析：由双曲线焦点为Fi(2,0),F2(6,0),则其中心为O(2,0),实轴在x轴,焦距2c6(2)8,乂离心率e-2,所以aa2,b242222x2双曲线方程为412。2y12(1,6)和(1,2),对称轴与x轴平行,例10:设抛物线经过两点开口向右，直线y2x7被抛物线截得的线段长度是4/100求抛物线方程。1,2),对称轴与x轴平行，而622)2,解：由丁抛物线过点(1,6)和(所以y2是它的对称轴。因此，可设

6、抛物线的顶点坐标是由抛物线过点(1,6)得8p(1a)将直线y2x7代入，(2x5)22p(x即4x2(202p)x(a,2)，它的方程是(y2)22p(xa)(p0)消去a),(25y可得设抛物与直线的交点是为，贝2xix22xix2乂y2x202p4210p7,V22x22pa)0和x2,y2，丁是x、x2满足方程，所以4xx22(252pa)252pa7,丁是yi由题设可得,y24xx2,224.10x1x225x1x22128(10p)21002yy28pa,由、可得再由得8pa648p,代入得128(10p)2368p,即p212p640解出p116,p24(不合题意，舍去)3一O2

7、把p116代入式可得a抛物线方程为（y2)232x例11:1已知方程222exy2e2px1,e讨论当顶点）、焦点坐标和准线方程。22ep1时，方程表示什么曲线，并求出曲线的中心（或0p0,e0解：（1）当e1时，方程为y22px0,即y22p方程表示顶点为,0，焦点为（0,2e1时，原方程变形为2x2ep12ex2ep12e2ep2222e2y111,2e2y22ep1e21.方程表示中心为e2pe222a221eb20)22ep.22，1e的椭圆，其中22ep2e,准线方程是xp的抛物线。42ep22e焦点为（0,0）和1（3）当e1时，12e2p2e2e准线方程为0,方程表示双曲线，其中

8、心、2e1e焦点坐标、准线方程的表达式与(2)相同例12:已知曲线22一2kx9y2kx18ky9k8k0(1) k取什么值时，方程表示焦点在与x轴平行的直线上的椭圆;22k(x1)29(yk)29k(yk)2Iok方程表示焦点在与x轴平行的直线上的椭圆。9,b2k,c29k,k.(2) 求此椭圆的焦点坐标并求其焦点的轨迹。解：(1)配方得当k0时，G一1)-9当0k9时，(2)当0k9时，a2焦点坐标为1<9k,x1,9k,由0kyky0。一9)开口向上的抛物线在x轴下方的部分(除去消去k得x12y99焦点轨迹为顶点在(1,顶点)。直线与圆锥曲线【例题精选】：例1:当实数k取何值时，直

9、线ykx1与双曲线4x29y236。(1) 有两个不同的公共点；(2) 仅有一个公共点；(3) 无公共点？分析：研究直线与圆锥曲线的交点个数的一般方法是，研究直线与圆锥曲线方程所组成的方程组的实数解的情况。解：将直线与双曲线方程联立ykx14x29y236代入得4x29(kx1)2360整理得49k2x218kx450当k2时，49k20,方程有一实数解，此时直线为y2x1与33双曲线的渐近线平行，则与双曲线有一交点。当k2时，方程的判别式3(1)交点；(2)(3)(18k)24(49k2)-(45).2144(59k)0且kZ,即柘k如且k3332时，直线与双曲线有两个30或k0,即k2,即

10、k3塑或k3如或k2时，直线与双曲线有一个交点;33.5史时，直线与双曲线无交点。3小结：本题中直线与双曲线有一个公共点包含了两种情况：直线与双曲线的渐近线平行与双曲线交丁一点；直线与双曲线相切。同样，直线与抛物线交。点，包括了与抛物线轴平行的直线与抛物线交丁一点和直线与抛物线相切的两种情况。例2:求直线yx截椭圆x24y24所得的线段的长2分析：求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求出，但计算比较麻烦。如果在方程组消元后得到一元二次方程，利用韦达定理可简化计算，也可用弦长公式求解。解法一设直线与椭圆交丁Axyi、Bx2,y2两

11、点。1yx222x4y4消去y得，5x24x30760,方程的判别式（4）2453由韦达定理,x乂2-,xx2-55x1x2x1x24x1x2252211yV2x匚x2-x2x27625弦长AB|Jxx2yy解法二：由解法一中得到xx223857625.76xx2k2X1X2由弦长公式ABJ15521k长dJ1k2x1x2或dJyy2,可做为公式用，但必须知道其公小结：求直线与圆锥曲线相交截得弦长的有关问题，是一类重要的题型，弦22例3:求椭圆1中,164解法一设所求直线方程为圆方程，消元后经整理得到关丁4k21x22X24k(2k1)所求直线方程为y12(x2)。式推导的基础是两点间距离公式

12、和一元二次方程的根与系数的关系。过点M(2,1)且平分丁这点的弦所在直线的方程。y1k(x2),即ykx2k1,将其代入椭x的一元二次方程8k(2k1)x4(2k1)21604k10,乂因为M(2,1)在椭圆内，且是直线与椭圆相交弦的中点，所以方程(*)的判别式0。8k(2k1)由韦达正理xx22,4k12,乂X1224k一1解得k-o2即x2y40。M(2,1)的直线为x=2,不是问题的解。当斜率k不存在时，过点解法二设过点点，则有关系式：国+4才二16x；+"；=16M(2,1)的直线与已知椭圆相交丁Ax1,y1、Bx2,y2两=22巧+J2一得，x"x24y2y2即x

13、1*2x由4yV2将、代入可求得虬上-x1x220yV20即k12小结：解法二可称为代点法，当问题涉及弦的中点时，利用此法比较简单但要考虑所求的直线与圆锥曲线是否交丁两点。2例4:已知双曲线x2：1和点M(1,1)，过点M能否作直线l,使l与所给双曲线交丁p及p2两点，且点M是线段p1p2的中点。这样的直线l如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由。解：设所求直线方程为yk(x1)1,当斜率k不存在时，直线垂直丁x轴不为所求。将所设直线与双曲线方程联立得：yk(x1)12x212将代入化简整理得2k2x22k22kxk22k30设直线l与双曲线两交点P1x,y,P2x2,y2。则x，x2是

14、方程的两根，由韦达定理：2k22kx1x222k2乂M(1,1)是pp2的中点，七产1,所以斜率k应满足2k202222k22k42k22k22k222k由式解得k2,但k2使是不存在的。小结：本题是探求双曲线的弦的中点所在的直线是否存在，在求解过程中要特别注意一元二次方程判别式的重要作用。k22k30怎0，不满足式，所以满足题中条件的直线l例5:已知"、匕是过点P(而,0)的两条互相垂直的直线，且小l2与双曲线y2x21各有两个交点，分另U为A、B1和A、B20(1) 求l1的斜率k1的取值范围；(2) 若|ab构A2B2，求l1、l2的方程。解：(1)依题设,l1、l2的斜率都存

15、在，因为l1过点P(而,0)且与双曲线有两个交点，故方程组yk1x.2k10,1y2x21有两个不同的实数解。在方程组中消去y,整理得k121x22V2k：x2k：10若k1210,则方程组只有一个解，即11与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故k1210,即|k1|1。方程的判别式为212.一2k24k1212k：143k121设l2的斜率为*2,因为板过点PV2,0且与双曲线有两个交点，故方程组yk2x.2k20,有两个不同的实数解。在方程组中消去y,整理得k；1x22.2k；x2k；10同理有k；10,243k；1乂因为l1项所以有k1-k21。丁是，I.l2与双曲线各有两个交点，等价丁2

16、3kf103k；10k1-k21k11时/曰k13解得3k11k13,11,寸号1,3(2)设A1x*,B1x2,y2,由方程知x1x22.2k12k121'x1AB12x1x22x2y2k121k1212y21k12x12x241k123k121kf同理，由方程可得IA2B2I2,整理得A2B22241k123k12由|AiBi|V5A2B2，得AiBi25A2B2将、代入上式得2.241k13k1122一241k13k1k122ki2解得k、2取k1<2,12：y取k242时，11:y2x/2；2-2x2；21x2例6:已知椭圆C:4,使得这直M,依两点关等价丁有y4xm上（

17、如图所示）2x4由方程组13x2方程的两根为xP故方程的判别式：8n28nx16nX2,且P480x1,y1,Qx2,y2是不同的两点，x1x2,41316n2480、132乂PQ的中点2解得X2由方程根据韦达定理,.132'y2在直线y4xm±02竺，从而13xX2小结：注意到l2与1i的内在关系，它们与双曲线y2x21所组成的方程组结构相同，可大大减少运算量2:1和直线1:y4xm,试确定m的取值范围,使对丁直线1,椭圆C上有不同的两点关丁该直线对称。解法一设所求的取值范围为丁直线对称的定义，可知mM,yn（nR,是待定常数）4线与椭圆C有两不同的交点P、Q,且线段PQ的

18、中点落在直线2七13xn4 代入得yiy2-X1X22n24P4131故有-224n134竺21313m,4代入得,21313解法二设点PX1,y，223x；4y；12_22一3x24y212X1X2x2yy2y-2y22、1313PQ的中点Mx,y,由已知,一得3X1X2X1X24yy2yV20 、代入得，yy23x-x1x24y4y3x是动弦PQ中点M的轨迹方程。将y3x代入y4xm，解得M(m,3m)。点M必在椭圆内，则有22m3m,厂亏1,解得213132.1313小结：由以上几道例题可以看出直线与圆锥曲线相交可以编拟较综合的问题，值得重视。例7:在xoy平面上给定一曲线y22x。设点

19、A的坐标为-,0,求曲线上的点到点A最近的点P之坐标及3相应的距离|PA|;(1) 设点A的坐标为a,0,aR,求曲线上点到点A距离的最小值d,并写出df(a)的函数表达式。解：(1)设M(x,y)为曲线上任意一点，My22x(x0)。MA222x-32y24X-X3492x21X-313'x0式右端作为x的函数在0,上单调递增,一r24x0时，IMAmin-.92dMAmg-，此时点P的坐标为(0,0)m'n3(2)设M(x,y)为曲线上任意一点，同理有222MAxay2_xa1(2a1)(x0).-2当a1时，式右跚在xa10处达到取小值MAmin2a1d|MAmin/2a

20、1，此时Pa1,<2(a1).当a1时，式右端作为x的函数在0,上单调递增，J222x0时，MAmina12a1a.例8:(1)在抛物线y(2)在椭圆7x24y2x2上求一点28上求一点,使它到直线2xy4的距离最短;使它到直线l:3x2y160的距离,0解:2xy(1)设P为抛物线yx2上一点，则点P的坐标为40的距离。2xx24x,x2,P到直线(x1)2551时，d有最小值；此时点P的坐标为(1,1)22设椭圆-471上的点M2cos,则点M到直线l的距6cos2.7sin16138sin()16甘+一而一其中3arcsin-.42时，d有最小值，最小值为813此时,sin23点M

21、的坐标为-2coscos81313一3sino4dMAmin*a,综上所述,有V2a1,(a1)da1(a1)小结：对丁（2）若不引入参数，直接设椭圆上点的坐标为X0,y0,其到直线l的距离d3X0竺16，再与7x04y228联立求d的最小值，将很难.13完成，因此（2）只适用丁理科。例9:已知双曲线C:12x2*4y23和直线一点P,经过点P且以已知双曲线的焦点为焦点作椭圆，求作出所有椭圆中长轴最短的椭圆方程。解法一双曲线的焦点（一1,0）、（1,设椭圆长轴长为2a,短轴长为2b,则7a21。22椭圆方程为m1,直线l的方程为yx3,代入消去y,整理得2a2122226a42a1aa46a2

22、50,a：2L匕miny30,在直线l上任取0)b2100,5b242)6a2x10a2a40,其判别式2y_41.解法二设依条件所作的椭圆为2X2a2yb71,则PF1PF22a,若使椭圆PF?最小，（如图所示）,由平面几何知，点P为点F1长轴最短，只需PF1关丁直线l的对称点F1与F2所连直线与直线l的交点。已知椭圆的焦点为F1（1,0）,F2（1,0）。设F1关丁直线xy30的对称点F1m,nmm11n22解得m3n22aPF1PF2F1F2a施，b2n1PFi3所求椭圆方程为30212a202、.5【专项训练】：、选择题:1、设点M(x1,y1),A(2X2，2y2)C.(x1X2,V

23、i2、抛物线yA.1,2X143、4、5、2c2x542y41.Ng,V2y2）经过平移后,M的新坐标为:（x*2，y1y2）（2x1x2,2yB.D.2x1的焦点坐标为:-C.4B.1,1,D.v21,方程2x2A.两条相交直线C.椭圆双曲线方程5（xA.-5通过椭圆x2A.84x2y13)2B.220y28522y8x4yB.220表示的曲线是：B.两条平行直线D.双曲线100,它的中心到准线的距离是:C.40的一个焦点且与它长轴垂直的弦长等丁:C.4D.2设倾斜角为一的直线l通过抛物线y24x的焦点且与抛物线相交丁M、N两4点，则线段MN的长等丁：6、7、双曲线x2A.548、曲线X2y

24、2a2与x12y21恰有3个不同的交点，则B.a0C.a0D.不存在满足上述条件的C.8y11、椭圆(x1)24y24与抛物线y1(x1)2的公共点的个数是12、AB是抛物线y2x的一条过焦点的弦，若|AB4,则AB的中点到直线x10的距离是。2213、过双曲线七1的左焦点F1,引直线交双曲线左支丁M、N,F2为双9161右支上一点P到直线yx的距离为2,则点P的坐标是:3b.j,曲线右焦点，若F2MN的周长为40,则弦MN。c.42,2匠d.242,42、填空题:9、双曲线3x2y26x2y10的焦点坐标是14、抛物线y2x与椭圆顶点为M,那么AM(x5)216BM2会1在x轴上方交丁A、B

25、两点，设椭圆左210、以抛物线y24(x1)的焦点为顶点，而以其顶点为焦点的抛物线万程是三、解答题：15、已知双曲线的两条渐近线方程为3x4y20和3x4y100，一条准线方程为5y40,求此双曲线方程。16、设抛物线y24x截直线y2xk所得的弦长|AB35。(1) 求k的值；以AB为底边，以点P的坐标。x轴上点P为顶点，组成PAB的面积为39时，求17、已知椭圆C的方程七1,若过C的右焦点F的直线l与C交丁3Axyi,BX2,y2yiY2两点，且满足AFBF2，求直线l的方程。18、已知曲线C:3x2与l交丁A、B两点，并且以1与直线l:ymxAB为直径的圆恰过原点。1,问是否存在实数m,使得C、选择题：1、B2、D提示:x12y2,令xx1,在xoy中焦点为3、2x1选Ao提示:y12方程化为0,1,在原坐标系xoy中焦点为1,4方程化