小学繁分数化简专题

1、小学奥数知识点汇编第一章计算1.1四则混合运算1.1.1 繁分数的化简技巧1.1.1.1 繁分数的定义如果分数形式中，分子或分母含有四则运算或分数，或分子与分母都含有四则运算或分数的数，叫“繁分数”；其对应于“简分数”。1.1.1.2繁分数化简的基本方法1.1.1.2.1可利用分数与除法的关系把繁分数写成分子除以分母的形式。间 76 5 6 14例：7 =- + = x& 7 14 7 5 141251.1.1.2.2利用分数的基本性质，去掉分子、分母上分数的分母后化为最简分数。般情况下,分子、分母所乘上的适当非零整数为分子、分母部分的两个分数分母的最小公倍数。67514614 751

2、4141251.1.1.3繁分数化简的常用技巧1.1.1.3.1化带分数为假分数：繁分数中的分子或分母若含有带分数，则把带分数化为假分数 再化简。2t6583-6 1558 15 318 _ _940 - 201.1.1.3.2化小数为分数：繁分数中的分子或分母若含有小数，则一般可把小数化成分数再化 简。200.15202031 ， ， -3 一 3 - 3 20 . 15 . 54441.1.1.3.3 化分数为小数：繁分数中的分子或分母部分所含有的分数可化为有限小数，则可把 分子或分母中的分数化为小数再化简。0.150.15151 , 3 一 0.75 75 - 541.1.1.3.4 化

3、小数为整数：若分子、分母都是小数还可以利用分数的基本性质，分子与分母同 时扩大相同的倍数，把小数化成整数再化简。-2.4 _ 24 _ 23.6 36 - 31.1.1.3.5化复杂为简单：繁分数的分子或分母部分若含有加减运算，则先加减运算再按繁分 数化简方法进行化简。繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简。(1)乙二20=706 2020 2020131.5 3.75 0.260.52 1.5 7.51 3- 0.26(2) 2_4-10.52 1.5 721111.1.1.3.6化多层为单层：化简复杂的繁分数要学会分层化简11_ 121 一 5 一 29 - 292 2

4、292 122 12125走进奥数繁分数根据实际问题列出的分数，有时它的分子或分母里又含有分 数，或者分子和分母里都含有分数，我们把这样的分数叫做繁分数。2532 +87彳523-7 2繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫 做繁分数的主分数线（也叫主分线）。主分线比其它分数线要 长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。 如果一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数，我们就把 最长的那条主分线，叫做中主分线，依次向上为上一主分线， 上二主分线；依次向下叫下一主分线，下二主分线； 两端的叫末主分线。线妻 分主分王王一主二如：11 + 25根据分数与除法的关系，分数除法

5、的运算也可以写成繁分 数的形式。3+82-14珀 / c 7、/3、如：(3+8 ) + (2 14 )=把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。繁分数化简一般采用以下两种方法:把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。繁分数化简一般采用以下两种方法：（1）先找出中主分线，确定出分母部分和分子部分，然后 这两部分分别进行计算，每部分的计算结果，能约分 的要约分，最后写成“分子部分+分母部分”的形式, 再求出最后结果。1 57加- 4 +88 7 77 105例 1、-TT =7 =8 痴=8 V = 41-4年而此题也可改写成分数除法的表达式，再进行计算。15、 z 3

6、277 7 105即：（4 +8）+（1-4 *）=8、=8 q=4（2）繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母, 然后通过计算化为最简分数或整数。例2、2。343 -34（43 玉）X 12 56-45 11 121 +4522 465-6_ 30+58 88 8X 12繁分数的分子部分和分母部分，有时也出现是小数的情况, 如果分子部分与分母部分都是小数，可依据分数的基本性质， 把它们都化成整数，然后再进行计算。如果是分数和小数混合 出现的形式，可按

7、照分数、小数四则混合运算的方法进行处理。 即：把小数化成分数，或把分数化成小数，再进行化简。有一种繁分数，形式如4+3+2+12+这种繁分数叫连分数。连分数是繁分数的特殊形式，二者 之间是一般与特殊的关系。计算连分数，采取自下而上的方法，先将连分数中最下面 的分数化简，然后逐步向上计算111例如：12T 3+412T3+414-2+3例1:=13.已知1F1+3013433030431998+1997X 19991998+1997X 19991998 x 1999-11997X 1999+1999-11998+1997X 19991998+1997X 19991x+4211 ，求x.解：用倒推

8、法。设,1二” 1+x113x1=8。2=3x2 = 2312再设'=2世以X33，解得3X3= 21 2 x+- = x 4 3 ,5 x=12拓展演练1.用简便方法计算下面各题:567+345>566567>345+222987 >655-321666+987 >654()252525/52252525525>525252213639>264528792 132396>21342663972249673 +3625(5)2432738+ 1225(6)1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1666666 >666666283313

9、+24 +35 +27区2729 +2830 28+54 +75 +5529 +59302.计算13.875X5 +38.75X0.09-0.155+ 0.4182g X (4.32-1.68-1255)x11911135 +1243.计算下面各题。(1)A2” 4+5(2)15+1r(3) 1y6- 7 38-51T2-3(4)12+34.已知_67=962+3+4+5.求下列式子的整数部分。1，+，+.+，1991 19922000星级擂台11111-2 + 3 - 4 + 99，+，+1+101 2+10250+150拓展演练答案参考1.(1)原式=567+345>566566&g

10、t;345+345+222=1（方法同1）(3)原式=25M0101 >252M001525X1001 >52X101013 =13(4) 2(5) 3(方法同7)(6) 12345654321(7) 原5 11 193 +7 +-5 -10 22 38W +1 +-5 i811 869+ 29 +30 1622 1738+-29- +-30-5 11 19811 8693 +4 + 5 + 29 + 30_15 11 19811 869)=22(3 +4 + 5 +29 +30 2. 268307943(1)157 157 450 (4) 254. x=25. 9提示:11 1,

11、X10 > , +' +.+，>H1990101991 199220002000星级擂台答案参考：211111 11提不：分子=(1+2 + § + 4 + 99+而)-2><(2 + 4 +1+100 )=(1 + 1+ 1+ 1+ + 白+71)(1 + 1+ 1+ J+(23499100) ( 234+工)+1+. +,50 ) 51521001,111 、分母=2与+ 52 +而)参考部分（一）分数与繁分数化简1 .讲析：容易看出，分子中含有因数37,分母中含有因数71。所以可得百八勃 _ 37 x 10101010101 _ 37尿"

12、; =71x10101010101 = 77"2 .（长沙地区小学数学奥林匹克选拔赛试题 ）讲析】注意到工二，4 乂6 = 24, 2+4 = 6,由此产生的一连串算式工 64 4讲析：注意到，4X6=24, 2 + 4=6,由此产生的一连串算式：16X 4=64166X4=6641666X 4=6664于是，可立即得出，原分数值是工。43 . （1990年马鞍山市小学数学竞赛试题）讲析：如果分别计算出分子与分母的值，则难度较大。观察式子，可发现分 子中含有326X274,分母中含有275X 326。于是可想办法化成相同的数：百才 275+326x274原八=（274 + D x 3

13、26 71275+326x274, 274 x 326+ 326-51 -4 .（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：可把小数化成分数，把带分数都化成假分数，并注意将分子分母同乘 以一个数，以消除各自中的分母。于是可得21 2 3321 11原式.百一一五=五节/.Il（二+马乂 2二父二完2112 817924 1795 .化简（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：由于分子与分母部分都比较复杂，所以只能分别计算。计算时，哪一 步中能简算的，就采用简算的办法去计算。原式分子/白吟9Too315X 200 23131 9X X !40 40 231 1-X -40 2卫W2) 402 23113

14、5215原式分母= + (.35 168 1.32) x yx + 13 11 35 35 316 35 44 248所以，原繁分数等于1。什么叫做繁分数？ 计算奥数专题 繁分数问题在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这样形式的分数, 叫做繁分数。3" 2 83- x27繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线， 叫做繁分数的 主分数线(也叫主分线)。主分线比其他分数线要长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。如果一个繁分数的分子部分和 分母部分又是繁分数，我们就把最长的那条主分线，叫做中主分线，依 次 向上为上一主分线，上二主分线；依次向下叫下一主

15、分线，下二主分 线；两端的叫末主分线。如：,上末主分线 上一主分线 中主分爰 下一主分线 下末主分线根据分数与除法的关系，分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。7 33十三如：C3 + -) + C2-1-) =8 42-124什么叫做繁分数化简？ 计算奥数专题繁分数问题把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。繁分数化简一 般采用以下两种方法：(1)先找出中主分 线，确定出分母部分和分子部分，然后这两部分 分别进行计算，每部分的计算结果，能约分的要约分，最后写成“分子部 分一分母部分”的形式，再求出最后结果。5 W* 25x 二区 728此题也可改写成分数除法的运算式，再进行计算(

16、2)繁分数化简的 另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数 的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数(这个倍数必须是分子部分与 分母部分所有分母的最小公倍数)，从而去 掉分子部分和分母部分的分 母，然后通过计算化为最简分数或整数。21+4-（21+4）X12262656-4511130 + 58 = 88 = 8繁分数的分子部分和分母部分，有时也出现是小数的情况，如果分子部分与 分母部分都是小数，可依据分数的基本性质，把它们都化成整数，然后再进行计算。如果是分数和小数混合出现的形式， 可按照分数、小数四则混合运算的方 法进行处理。即：把小数化成分数，或把分数化 成小数，再进行化简。繁分数的运算

17、基本法则 计算奥数专题 繁分数问题1.繁分繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题. 数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：视为分子甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”.找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母.2. 一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数.所以需将带分数化为假分数.3.某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观.4.对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可.繁分数运算典型问题解析1计算奥数专题 繁分数问题繁分数运算典型问题解析1第一届“挈»庚金杯”少年敷学宴请春*决赛一试第

18、1题7 4 1 1'黑4 一十 一L 计算：T1-413 二 3二234 167 11【分析与解】原式=，】3二 123237 12 23 , 17x 2 x = 48481283繁分数运算典型问题解析2第五扇"牛/廉金杯”少年数学遢请用复3第1田2.计算工1分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有；9 2.于是，我们想到改变运算 9I顺序，如果分子马分母在19 2后的两个散字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为L 9如果不一致，也不会噌加我们的计算里.所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序.而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，

19、于是统一通分为1995X0.5.具体过程如下；原式5919H+34-5.22)91052719一(一6 + 522)9501993x0.416 、(+ )1995x0.5 1995199-132 ,1993x0.4 4x0,4x05, 19- 1 32 1995M014 1995x0lT 9t ,1993+2 0.4, d 04 rl= 1+(x)=1+=1 一19950.50.5 4繁分数运算典型问题解析3槌愈级数，金市市第三届,，迎亲杯g敦芋克赛.决赛第一题第1题3.计算；1-41 -1987工分析与解】原式=1 = 1-萼=呼11 1193973 39731986镇级数：*1999年全国

20、小学数学奥林匹星夫fB兴第2题1O4.计算：已知二三二:，则x等于多少? i+T- I】2+TK十一Sx + 681 4x +112x +7 118x 4-64工分析与解】方法一二 =41+2+2+-x+l 以十14交叉相乘有 88"6=96x+56, x=l. 25. i ii3ig9i 7方法二i有1 +； = = 1 + ，所以2 +-二二2十一 i所以五十 二一,那么咒=L 25.h 128_J33422 +冀 + 繁分数运算典型问题解析5级数：* *5.求4.43,443，,44 ,43这1Q个数的和.9T4【分析与解】方A；4+43+443+ 44 439个4= 4+04

21、-1)4-(444-1) + . + 04.4-1)4= 4 + 44 +444 + ,.+ 44.4-9= -x(9 + 99+999+ 些9)-910个4= -x(10-l) +(100-1) + (1000-i)+ .+ ciooo;_:o-in-9100=-x 111. W0-9=4938271591.9方法二 先计算这10个数的个位数字和为3x9*=3臼；再计算这10个数的十位数字和为4火为盼 加上个位的进位的3,为36 + 3 = 3回: 再计算这10个数的百位数字和为4黑步孙 加上十位的进位的3,为32+3=33 再计篝这10个数的千位数字和为4X2B,加上百位的进位的3,为2g

22、+3 = 3再计算这1。个数的万位数字和为4然旧4,加上千位的进位的3,为24+3= 2圆再计算这10个数的十万位数字和为4X5=20,加上万位的进位的2,为20+2 = 2倒J再计算这10个数的百万位数字和为4X4R&加上十万位的进位的2,为16+2=1回 再计算这10个数的千万位数字和为4X3=12,加上百万位的进位的1,为12+1=1目;再计算这10个数的亿位数字和为4X2% 加上千万位的进位的1,为£ + 1二趴 爵后计算这工。个数的十亿位数字和为4X1=4,加上亿位上没有进位，即为回 所以，这10个数的和为4938271591.1995年全国史学敕学奥林匹克初宴A在

23、第4题匕我们规定,符号 P 表示选择两数中较大数的运算,例如. 3. 502.9=2,903.5=3,5,符号23155表示选择两数中较小数的运算，例如：3.542.除2.9色5.和2.鼻 请计算:(0.62511)x(00.4) 1235(-00.3) + (212.25)3104【分析与解】原式0 625 然1553841 + 22535 155 n 725V V S 384n256繁分数运算典型问题解析9繁分数运算典型问题解析7畿级数：*华1躲毕全国小学就学奥林层克初赛B4第5题出规定(3)= 2X3X4, (4)=3X4X5, (5)=4X5X6, (10)%X 10X1 工，.如果

24、-= x(16) (17) (17)那么方框内应埴的数是多少？【分析与解】=(-) = -i=16xl7xls-ul(16) (17)(17) (16)15x16x175繁分数运算典型问题解析8艘级数：*睇1映毕全国小学敷学奥林层克初霎B卷第5题民规定(3)= 2X3X4, (4)=3X4X5,(龄=4X5X6, (10)毛X10X1工，,如果 - = x(16) (17)。7)那么方框内应埴的数是多少？1分析与解=(16) (17)(17) (16)16x17x18 . 1 1 15x16x175级数：* 北京市第二届“迎年杯H毅学竞募决骞第二墨第2题9 .从和式1+ 1 + 1 +工+工中

25、必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?2 4 6 S 10 12【分析与解】 因为1+工=1,所以LLL工的和为1，因此应去掉工与工.6 12 42 4 6 128 10繁分数运算典型问题解析10励小级数：*卓108g年全国小学数学奥林匹克二次嘉第4憩10 .如图1-2排列在一个扇圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数, 例如L892915929.那么在所有这种数中.最大的一个是多少？图1 -2【分析与解】有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有9291B鼓大，于是最大的为9.291892915,繁分数运算典型问题解析11繁分数运算典型问题解析13艘越级数：

26、*第一届“华罗泉金杯，少年教学建请春决春二试第题1L谙你举一个例子，说明两个真分散的和可以是一个真分数，而且这三个 分数的分母谁也不是谁的豹数朋.人工 F 回. A 1 141111 , 11【分析 A 解】 有 一十 = 一， 1 二一. 1 -一6 10 15 10 15 6 35 14 10评注：本题实质可以说是寻找李生质数，为什么这么说昵？注意到，+_k = _S±L,当&+c=b时，有_L+，=上L=_.axb cxb axb xcaxb cxb axbxc axe当本b> c两两互质时，显然满足题意.显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一

27、个质数，必定有一个质数为2,不 妨设a为2,那么有2 + c=b,显然b、c为一对享生质数.即可得出 T 公式工匚与c+2均为质数即可.1 1 1丁 +二2x (c + 2) c x (c + 2) 2 x c繁分数运算典型问题解析12命级如*12.计算； -)x .x(l-) 2x23x310x10【分析与解】原力留二更处也乂鱼迦空工乂 x(10-l)x(10 + l)八 2x23x310x10_Ix3x2x4x3x5x4x6x5x7x6x8x7x9xgx10x9x112x2x3x?x4 x4x.,xWx 10_ Ix2x3x3x4x4x5x5x. .xxxlOxll2x2x 3x3x4 x

28、4x. x 9x9x10x10_ lx2xlQxll_ 112x2x10x10 20'级数：*第二+“华贡度金杯”步年It季送请赛,决春第6题已知a-乂100,同a的整数部分是多少?11x66 4-12x67 4-13x68 + 14x694-15x7011x65+12x66+13x67 + 14x68+15x69【分析与解】11x66+12x67+13x68 4-14x69+15x70 a= x 10011x65 + 12x66+13x67+14x68 + 15x69=11x(65 + 1) + 12x(66+1)+13x(67+1)+14x(68+1)+15x(69 + 1) 乂1

29、 0。11x65 + 12x66+13x67 + 14x68+15x69乂虫 +十 15wo。11x65+12x66+13x67+14x68+15x69= 1004-xWO.11+12+13+14+1511x65+12x66 + 13x67+14x68 + 15x69中小11 + 12 + 13+14 + 1511 + 12 + 13+14+15“门 100因为x 100 V 7xlOO = 11x6 升 12x66+13x67+14x68+15x69(11+ 12 + 13+14+15)x6565所以日< 1Q0+竺 = 101史.656511+124-13+144-15_114-12

30、+13+144-15 2八 100同时 -.xl00> 胃- xlOO =-11x65+12x66+13x67+14x68+15x69(11 + 12+13+14+15)x6969所以 a> 100 + -W1 .6969综上有101三Va< 1013.所以a的整数部分为101.6965繁分数运算典型问题解析14税级数：* * *第六届“华产质金杯"少年教孕遨请赛复赛第8摩991乂二与上相比，哪个更大，为什幺?t分析与解】方法一:100 10令k八然2 4 6 810。2468100E-x xx x x- B r35791011001W0 3 5 7 9x二101

31、101而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B>A.有 AMAV4XB（ = L）101L =XJ_,所以有aXavJLx，那么4<1.100 10991士工与人相比,100 10-13 5 7雌二工 iglxrx-xlx.9710工更尢 109910 1010.X X 998 10099 99X X100 100_ lx 3x3x 5x5 x7x7x.x 97x97x99x99x12x2x4x4x6x6x8x,.rx96x98x98xl0Qxl0QnjWi 1x33x55x7显然、2x24x46x6卫乌生都是小于1的，所以有或:工，于是AL.98x98 100100繁

32、分数运算典型问题解析15的包）级数：*制二届“华亨庚金杯“少年敷用递请寡:决赛二试第1典15.下面是两个位整数相乘：111llxllLM.间上乘积的各位数字之和是多少?19334419B94-1【分析与解JSE算式中乘以乱再除以9,则结果不变.因为ILL，1能被9整除,所以将一个 m jj 1989个11非对1乘以9,另一个除以身使原算式变成999二99 X12 3456-90012345 6”1兆3个9共19点位数_ （100000-0x123456 79001234 5679=" 工=q 一19如个。共焦羲位数=11345679。1012345669 00000-1234567900123 J 5679共1兆£鬲1%9个口位数12345690.0J 23456791234568987654320998654320987654321共徵品位教数学计算公式（常用公式）工数学计算公式 常用公式1 + 2+3 -=上妇51. 2事IF、?、/里加力.2. 0"_ tfiek一3'+-4V =(1+2+升 +3 = /虫"+以3. 41 + 3 +5 +7 +-*+2>! =1) =1+2+3+*- + h1 + 照 + (>! 1)4" =-+ 3 + 2 + 1 = jf1 -FS.=q/ + 西,-