圆锥曲线存在性问题

1、精心整理圆锥曲线中的存在性问题一i、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时， 通常先假定所求的要素(点, 线，图形或是参数)存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件 进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替(1 )点：坐标(xo,y° )(2)直线：斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量)(3)曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：j； ；' ' ' J(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得

2、其它情 . II 1况均成立。(2)核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要 的时候消去。(3)核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列 出关于该变量与辅助变量的方程(组)，运用方程思想求解。二、典型例题：2 2X例1 :已知椭圆Cj+4=1(a >b>0)的离心率为 阻,过右焦点F的直a b3线l与C相交于A,B两点，当l的斜率为1时，坐标原点。至心的距离为2O2(1 )求a,b的值(2) C上是否存在点 P ,使得当

3、l绕F旋转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？若存在，求出所有的p的坐标和i的方程，若不存"/X ： 弋在，说明理由1 :解：(1 ) e = c = 3 = a : b : c =向:72:1二 1'a 3则a = 6c,b = T2c,依题意可得：F(c,0),当l的斜率为1时I .尸二 do _L = -2 解得： c = 12 2J.a=6b=正 椭圆方程为：工+y- = 13 2_ X X/| I(2)设P(x0,y。)，人乂的也)当l斜率存在时，设l:y = k(x-1)广联立直线与椭圆方程：H：“'：1消去y可得：2x2+3k2(x-1 )2 = 6,

4、 2x2 3y2 =6整理可得：因为P在椭圆上J 6k2 4k p 、3k2 +2, 3k2+2 j当 k =拒时，l : y=72(x1),当 k = _ 应时，l:y = -V2(x-1),_3包当斜率不存在时，可知l：x=1,A.22,B 1,则P(2,0)不在椭圆上二综上所述：l : y = T2(x-1 ),或l : y = -T2(x-1), P2例2:过椭圆当 a2+ *(>0)的右焦点F2的直线交椭圆于A,B两点,F，为其左焦点，已知1AF1B的周长为8,椭圆的离心率为哼(1)求椭圆的方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点P,Q,且OP

5、_LOQ ?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由 解：(1)由l_AFiB的周长可得：4a = 8na = 22椭圆 : y2 =14(2)假设满足条件的圆为x2+y2 = r2,依题意，若切线与椭圆相交,则圆应含在椭圆内 若直线PQ斜率存在，设PQ:y=kx+m, P(x1, %脱区,y2)'；PQ 与圆相切 : do_u = Jm = rm2 = r2(k 2+1)、，k21OP _LOQ= OP OQ =0即 x1x2 + y1y2 =0仃工口 y = kx m222联乂方程： 1 4k x 8kmx 4m -4 = 0x2 4y2 =45m24k2 椭圆方程为：= 14

6、 =0对任意的m,k均成立将 m2 =r2(k2 +1 收入可得：5r2(k2 +1)4(k2 +1)=0,存在符合条件的圆，其方程为：x2 + y2 = 3(2)证明：设 B(x1,y1 D(x2,y2 ),线段 BD 的中点 N(x0,y0)设直线l的方程为：y = k(x + 4),联立方程：5当PQ斜率不存在时，可知切线PQ1x = ±-V55川e 2 二 国什(2近2卮)(2后 2卮右 PQ:x=.x/5 ,贝！J P , |,Q ，-5、55 J 55 ,OP OQ =0 二PQ:x=|有符合题意若PQ:x = 2、5,同理可得也符合条件5综上所述，圆的方程为：x2 y2

7、=45x221例3:已知椭圆 t+4=1(2 Ab >0)经过点(0,J3),离心率为一，左，右焦点分别为a b2|T- _ 、, I jff-%.一、>, 小!i I_、? r. "F1”,0)和 F2(c,0)(1)求椭圆C的方程(2)设椭圆C与x轴负半轴交点为 A,过点M (-4,0)作斜率为k(k#0)的直线l ,交椭圆C于B,D两点(B在M , D之间)，N为BD中点，并设直线 ON的斜率为k1证明：k k1为定值是否存在实数k ,使得FN _L AD ?如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由c 1一斛：(1)依题息可知：e=可得：a:b:c = 2:

8、13:1a 222_二椭圆方程为：三+匕=1,代入(0,J3)可得：c=14c 3cy =k x 4_ 22_3x 4y =12化为:由:>0解得：k2 <14且4 x2-32k24k2 3,X1X264k2 -124k2 3222_23 4k2 x2 32k2x 64k2 -12 = 0假设存在实数k ,使得F1N _L AD ,则卜小 Ld = 1即 4k2x216k2 -：'：4k2 -1 x2 8k2 -2= x2 = -2-8k2 -2因为D在椭圆上，所以x2 w 1-2,2 ,矛盾所以不存在符合条件的直线 l例4:设F为椭圆E:x+与=1(a >b>

9、0)的右焦点，点pLE |'在椭圆E a b. 2i。上，直线l°：3x-4y-10=0与以原点为圆心，以椭圆E的长半轴长为半 径的圆相切了./ I1 J 产(1 )求椭圆E的方程(2)过点F的直线l与椭圆相交于A, B两点，过点P且平行于AB的直 线与椭圆交于另一点Q ,问是否存在直线l ,使得四边形PABQ的对角 线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由解：(1)I。与圆相切将P，,3代入椭圆方程工十七=1可得：b = Q,24 b222，椭圆方程为：土+L=143(2)由椭圆方程可得：F(1,0)3设直线 l : y = k(x-1),贝U PQ: y=k(

10、x-1)联立直线l与椭圆方程：1y 2k，1）消去 y 可得：（4k2 +3）x2-8k2x + 4k2 -12 = 03x 4y =12同理: 联立直线PQ与椭圆方程:1 +3y= （X ）+万消去 y可得：（4k2+3）x2 -（8k2 -12k ）x + 4k2 -12k-3 = 03x2 4y2 =12因为四边形PABQ的对角线互相平分 二四边形PABQ为平行四边形解得：k = 34，存在直线l :3x-4y -3 = 0时，四边形PABQ的对角线互相平分22例5:椭圆C : +，= 1(a >b >0)的左右焦点分别为EE,右顶点为A, a bP为椭圆Ci上任意一点，且P

11、F1 PF2的最大值的取值范围是c2,3c2,其中 c = a2 -b2(1)求椭圆Ci的离心率e的取值范围(2)设双曲线C2以椭圆Ci的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数九(九>0 ),使得/BAR =，2BFiA恒成立？若存在，求出 九的值；若不存 在，请说明理由解：（1）设 P（x,y）,Fi（f0）,F2（G0）22由% *=1可得：y-2b2x2代入可得:当2时，可得：”23版22二双曲线方程为 3-4=1 , A(2c,0),Fi(c,0),设 B(%,y0), % a 0, y0 a 0 c 3c当 AB_Lx轴时

12、，xo=2c,yo=3c一 3c.tanBF1A= =1, ZB F A 因为/BAF1二 3c42所以九=2,下面证明九=2对任意B点均使得/ BAR =?2BFiA成立y。X0 c考虑 tan. BAF1 - -kAB =y00 ,tan . BFiA = kBF1 x0 - 2c21=1,可得："3x2-3c22由双曲线方程X2 c二九=2 时，/ BAFi = BFiA 恒成立结论得证 例6：如图，椭圆口»0°)的离心率是多过点P3)的 动直线l与椭圆相交于A,B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为20Lt II(1 )求椭圆E的方程(

13、2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q,使得对于任意直线I, 陷=”恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不Qb| |pb|存在，请说明理由解：(1) e=c = 二 a :b :c = 22. : 1 : 1 a 222二椭圆方程为江K 由直线I被椭圆E截得的线段长为2后及椭圆的对称性可得:2精心整理点(J2,1)在椭圆上22二椭圆方程为土+匕=142榴嗡=1即QA=QB.Q在AB的中垂线上，即Q位于y轴上，设Q(0,y0)、2、2 1码=看二!可解得；P,Q不重合r0=2QaI PA国一画=若直线l的斜率存在，设l : y = kx +1 ,二只需证明 kQA - kQB =

14、 kQA *kQB =。y1-2 y2 -2x2% -2xy?-2x?%.y2-2 xx?二 %A + Qb =+=因为A(x1,y1 ),B(x2,y2 )在直线y =kx+1上，二J1 一kx1 *代入可得: y2 =kx2 1/2_ 2,联立方程可得：X V =(1+2k2 )x2+4kx-2 =0y = kx 1(2)当l与x轴平行时，由对称性可得：PA=|PB当l与x轴垂直时，则A(0,五),B(0,-右)A x,% ,B x2,y2联立方程可得:x2 + 2y2 = 4c c=(1 + 2k )x +4kx-2 = 0y = kx 1阻=拦可想到角平分线公式，即只需证明 QP平分/

15、BQAQB |PB|F面判断Q(0,2)能否对任意直线均成精心整理二 kQA +kQB =0 成立二QP平分/BQA 二由角平分线公式可得："=上AQB| | PB例7 :椭圆C :三+冬=1(a Ab0)的上顶点为A, P '-,- i是C上的一点, a b3 3以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F(1 )求椭圆C的方程(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1?若存在，求出这两个定 尸；=I-.点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：A 0,b ,F c,0J 二3,A AP为直径的圆经过F 二FA _L

16、FP由S, b 在椭圆上，代入椭圆方程可得：2，椭圆方程为± + y2=12(2)假设存在x轴上两定点Mi(%,0iM2(%,0),(九i<%)设直线l : y=kx m所以依题意:|k%+m|k%+mdM1=,du2二k2 1dM1 4，dM2 4|k4+m |k%+m| k2%+km(九 + % )+m2 .k2 1k2 1k2 1因为直线l与椭圆相切，二联立方程: 由直线l与椭圆相切可知A = (4kmf -4(2k2 +1 X 2m2 -2)=0化简可得：m2=2k2+1,代入可得:二k2仍入2 +1 )+km(兀+九2 )=0 ,依题意可得：无论k,m为何值，等式均成

17、所以存在两定点：M1 -1,0 ,M2 1,0例8：已知椭圆Ci :x2 +4y2 =1的左右焦点分别为Fi,F2,点P是Ci上任意一点，O是坐标原点，OQ = Pf1 + PF2 ,设点Q的轨迹为C2(1 )求点Q的轨迹C2的方程(2)若点T满足：OT =MN1+2OM+ON ,其中M,N是C2上的点，且直线OM,ON的斜率之积等于，是否存在两定点，使得中国 为定 41 1值？若存在，求出定点A,B的坐标；若不存在，请说明理由二1(1)设点Q的坐标为(x,y),点P的坐标为(x°,y°),则x2+4y；由椭圆方程可得:F1,0 ,F2 3 0I 2：*OQ = PF1 P

18、F2且P?而PF 1一 x0,x0, -y02Q :>2xo, -2yox = -2x。y - -2y°x0 = -9o o .2代入到x2+4y°2=1可得:(2)设点 T(x,y), M (为美)N(x2,y2 )设直线OM,ON的斜率分别为koM,%N ,由已知可得：m/N =皿x2x14x2 +4y2 =(2x2 + k f +4(2y2 +y 2 =(x2 4；M,N是C2上的点Ml2222即T的轨迹方程为土 +匕=1,由定义可知，T到椭圆±+± = 1焦点的20 520 5距离和为定值.A,B 为椭圆的焦点 ，A(r1,0B,(JL 1

19、5),0所以存在定点A,B例9：椭圆E:£ + E=1(abA0)的焦点到直线x 3y = 0的距离为叵, a2 例10 :如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:今+j=1(aAb>0)的 b25离心率为述，抛物线G:y2=2px(pA0)的焦点与椭圆E的焦点重合，5斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A,B,与G交于C,D(1)求椭圆E及抛物线G的方程(2)是否存在常数儿，使得;十:J为常数？若存在，求出九的值; |AB |CD|若不存在，请说明理由 解：(1)设E,G的公共焦点为F(c,0) I ；(2)设直线 l : y =k(x-2), A(x1,y1 ),B(X2,y

20、2),C(X3,y3),D(X4,y4)产与椭圆联立方程：7kx2 = 5k2 1 x2 - 20k2x 20k2 -5 = 0x2 5y2 =5直线与抛物线联立方程：y：k X - 2 = k2x2 . 4k2 8 x 4k2 =0y = 8x4k2 8 x3 x4 -2CD是焦点弦二 CD = x3 + x4 + 4 =28 k2 1k若%+缶为常数，则20+而=41 6一55离心率为叵,直线l与X轴交于点E,与椭圆C交于A,B两点，当直线 3l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦4/AB的长为述，3F.o/E y?（1 ）求椭圆C的方程一不、4-/（2 ）是否存在点E ,使得上+为定E

21、A EB值？若存在，请求出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明 理由解：（1）依题意可得：e=2 = -6二 a : b : c = 73:1: V2a 3当l与x轴垂直且E为右焦点时，|AB|为通径 , I I J .f（2）思路：本题若直接用用字母表示 A,E,B坐标并表示|EA，|EB| ,则 所求式子较为复杂，不易于计算定值与 E的坐标。因为E要满足所有 直线，所以考虑先利用特殊情况求出E点及定值，再取判定（或证明）="I''该点在其它直线中能否使得 1+工为定值。EA2 EB2解：（2）假设存在点E,设E（x0,0）若直线AB与x轴重合,则A（-而0

22、）,B（返0 ） I若直线|AB|与x轴垂直，则A,B关于x轴对称二设A（%,y ）B（xo,-y ）,其中y a0 ,代入椭圆方程可得：2A-x°2=6= 2（x；+6X6-x；）=6（x；-6）,可解得：x2 -66二若存在点E,则E住百0）。若E（而0）,设A（&yi）,B（x2，y2）, 22设AB:x = my +有，与椭圆C联立方程可得：Jx3 二 消去y可得:x = my + J3-J111 同理 _L 12 22 22122,1廿，2 122EA(右xQ+y： m 3i +3i (m +1 汕EB (m +1)32代入/i + A = -m , 乂丫2 = 一

23、号可得:所以言+看为定值,定值为2若E (石0卜同理可得JL工为定值2IEA 喀|综上所述：存在点E(H3,0 ),使得2+为定值2 lEAlEBl三、历年好题精选 X., s !', |"j 上二a I 1, 221、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆£:3+与=1匕4>0)过a b点P'£虫，离心率为1,过直线l：x=4上一点M引椭圆E的两条切<2 J2线，切点分别是A,B(1 )求椭圆E的方程22(2)若在椭圆 "+ A = 1(a >b A0)上的任一点N(xo,yo )处的切线方程 a b是号+呼=1,求证：

24、直线AB恒过定点C,并求出定点C的坐标 a b(3)是否存在实数九，使得AC十|bc=ac|，bc恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)，若存在，求出九的值；若不存在，请说明理由222、已知椭圆C :、+9=1匕>b>0 )的一个焦点与抛物线y2 = 4x的焦点 a b重合，D S,- 1是椭圆C上的一点,2(1 )求椭圆C的方程(2)设A,B分别是椭圆C的左右顶点，P,Q是椭圆C上异于A,B的两个动点，直线AP,AQ的斜率之积为设LIAPQ与LIBPQ的面积分别 4为S,&,请问：是否存在常数九wr),使得6=力$2恒成立？若存在，求出九的值，若不存在，请说明理由1，一、左

25、，右焦点分别为2223、已知椭圆x2 + 4 = 1(a Ab >0 )经过点(0, J3 ),离心率为 a bFV F2（c,0）(1)求椭圆C的方程(2)设椭圆C与x轴负半轴交点为 A,过点M(-4,0)作斜率为k(k#0)的直线l ,交椭圆C于B,D两点(B在M , D之间)，N为BD中点，并设直线 ON的斜率为k1 二/ I/上" I r I x "4证明：k k1为定值是否存在实数k ,使得FN _L AD ?如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明 理由4、已知圆M :仪十而2+y2 =36 ,定点N (60 ),点P为圆M上的动点, 点Q在NP上，点

26、G在MP上，且满足NP =2NQ,GQ NP = 0(1 )求点G的轨迹C的方程(2)过点(2,0 )作直线l ,与曲线C交于A,B两点，O是坐标原点，设 OS =OA+OB ,是否存在这样的直线l ,使得四边形OASB的对角线相 等(即OS| = AB ) ?若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明 理由225、(2014,福建)已知双曲线£:多-夫=1S040)的两条渐近线分 a b另U为 1i : y =2x , l2 : y = -2x(1)求双曲线E的离心率(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线I/?于A,B两点(A,B1、解析：(1) e = c = 1= a：b

27、： c = 2：V3:1 a 2椭圆过点P 33,22 J,2+2=1,再由 a : b:c=2: 6:1 可解得：a=2,b=V3a2 4b222，椭圆方程为：二十 = 1 43(2)设切点坐标为A(x1，y小区以)，直线上一点M(4,t),依题意可得: 两条切线方程为:x1x . yy .143X2Xy2y,43卜1=1,由切线均过M可得：3X y2t =1x231二 AM，% )B(X2,y2 )均在直线 x + ：y = 1 上3因为两点唯一确定一条直线，AB:x+Ly=1,即过定点(1,0),即点C的坐标为(1,0) 3(3)AC + BC = A ACAC +|bc| _ 1 |

28、AC| |bc| I ACbc|联立方程：丁+万=1= (t2 + 12)y26ty 27 = 03x2 4y2 =126t27yi y2 =石7。1丫2 =一万7 不妨设 yi 0,y2 二 0<3九=4，使得| AC + BC| ="ACBC恒成立2、解析：(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，c = 11 9 .依题意可知：a2 4b2=. a2 =4,b2 =3a2 -b2 =c2 =1| ；"" ；''2 2椭圆方程为：工十工=1 43(2)由(1)可得：A(-2,0),B(2,0),若直线PQ斜率存在设 PQ : y = kx

29、 + m , P(x1, y1 ),Q(x2, y2 )，' A到直线PQ的距离d12ktmB到直线PQ的距离d2 =gk±m1 k2、.1 k2联立方程:y 二 kx m2 223 4k2 x2 8kmx 4m2 -12 =0 3x2 4y2 =12kAP kAQYi y2x12 x2 21-4=4YiY2x12x22 =0(*22J +2 I +2 )2 +2(Xi F 一-一:含34m，代入到(*)可得:, m = 2卜或 m = k当m=2k时，PQ:y = kx+2k=k(x+2),交点与A重合，不符题意 ，m = -k,代入至U盘可得:S2& = M=3=

30、 § =3S2 ,即九=3S2kc 1 一3、解：(1)依题意可知： e = -=可得：a:b:c = 2:j3:1 a 222二椭圆方程为：2 + y2 1,代入 (0,J3)可得:c=14c 3c22一一、一 x y，椭圆方程为：+匚=143证明：设B(x1,y1 )D(x2,y2 ),线段BD的中点N(x0,y0)设直线l的方程为：y = k(x + 4),联立方程:y =k(x + 4 )_ 22_3x 4y =12化为:3 4k2 x2 32k2x 64k2 -12 = 064k2 -122-4k 31-32 k2由 a 0 斛得： k < 且 x+x2=2, x1x2 =44k2 3假设存在实数k ,使得F1N